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CHAPITRE 4. GÉOMÉTRIE DES MASSES.........................................- 4.1 -

4.1. Description d'un système matériel.............................................- 4.1 -

4.1.1. Notion de point matériel ............................................- 4.1 -

4.1.2. Systèmes matériels.................................................- 4.1 -

4.1.3. Utilité de la géométrie des masses.....................................- 4.1 -

4.2. Centre de masse...........................................................- 4.2 -

4.2.1. Définition du centre de masse........................................- 4.2 -

A) Expression vectorielle..........................................- 4.2 - B) Coordonnées du centre de masse..................................- 4.4 -

4.2.2. Centre de masse et centre de gravité...................................- 4.4 -

A) Champ gravifique uniforme......................................- 4.4 - B) Solide homogène..............................................- 4.6 -

4.2.3. Systèmes à symétrie matérielle........................................- 4.7 -

4.2.4. Cas particuliers : les systèmes rectilignes et les systèmes plans.............- 4.10 -

4.2.5. Théorèmes de Guldin..............................................- 4.13 -

A) Premier théorème.............................................- 4.13 - B) Second théorème.............................................- 4.15 -

4.2.6. Principe de subdivision............................................- 4.17 -

4.3. Moments d'inertie........................................................- 4.20 -

4.3.1. Introduction.....................................................- 4.20 -

4.3.2. Définition du moment d'inertie......................................- 4.20 -

4.3.3. Moment d'inertie d'un corps de révolution.............................- 4.24 -

4.3.5. Rayon de giration.................................................- 4.27 -

4.3.6. Moment d'inertie polaire...........................................- 4.27 -

4.3.7. Produit d'inertie (moment d'inertie centrifuge) .........................- 4.27 -

4.3.8. Moments d'inertie par rapport à toutes les droites issues d'un point.........- 4.28 -

4.3.9. Cas particuliers : les systèmes plans..................................- 4.29 -

A) Moments de surface (moment d'inertie statique ou quadratique)........- 4.30 - C) Produit d'inertie..............................................- 4.35 - D) Inertie polaire...............................................- 4.36 - E) Rayon de giration.............................................- 4.37 -

4.3.10. Ordre de calcul.................................................- 4.38 -Version du 17 juillet 2023 (21h34)

Description d'un système matériel

dans certaines circonstances points matériels point matériel système de points matérielssystème matériel mm i n mm i in (éq. 4.1.) dȍ dm d=

ȡlongueursurface

volume S mdm d SS (éq. 4.3.) centre de masse moments produits d'inertie situation confirmation J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanique - Géométries des masses- 4.1 - fig. 4.1. - Définition du centre de masse.

Centre de masse

$Expression vectorielle m i positive définir mOG m OA ii in (éq. 4.5.) OGmOA mmOA m ii in i inii in (éq. 4.6.) OO mOG m O A mOO OG m OO OA mO O mOG m O O m OA ii i iii mOG m OA mOG ii J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanique - Géométries des masses- 4.2 - fig. 4.2. - Position du centre de masse. centre de massecentre d'inertiebarycentre

Remarques

négative non nulm mm i in

Définition dynamique

éq.4.5.

mGA ii mOG OAdm OA d SS dȍfig. 4.2.afig. 4.2.b fig. 4.2.cȡ dȍ OA J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanique - Géométries des masses- 4.3 -

Coordonnées du centre de masse

n xmx mymy mzmz m GiA GiA GiA iii (éq. 4.14.) S xxdm m yydm m zzdm m GGdm S GGdm S GGdm S (éq. 4.15.)

Remarque importante

x G dm y G dm z G dm dm $Champ gravifique uniforme n m i p i P p i Pp i in fig. 4.3.ad d fig. 4.3.bchamp gravifique uniforme grandeurdirectiond d g d

Définition

centre de gravité quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34