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4) En déduire la matrice d'inertie du cône tronqué dans le repère (O ; x ; y ; z) (2 points) 5) En appliquant le théorème d'Huygens, en déduire les trois moments 

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En déduire les moments d'inertie principaux J1, J2 et J3 de la plaque (P) au point O en Écrire cette matrice en fonction de Mc, la masse du double cône G #»

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moment d'inertie du solide, à savoir la géométrie des masses, et ce dans un esprit cône sphère demi tot y tot G 506,0 16 3 4 2 4 3 2 3 1 3 4 2 1 2 _

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Exprimer en coordonnées polaires le moment d'inertie par rapport `a 0x de la solide homog`ene S de masse M est obtenu en perçant dans le cône tronqué de

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2.4 Exercices17

2.4 Exercices

Exercice 1- Quart de disque

Adapté du Concours National DEUG - CCPCorrigé page 20 Soit une plaque (P) en forme d"un quart de disque de μla masse surfacique du matériau constituant la plaque (P).

Le référentiel terrestreR

0 est considéré comme galiléen; il est rapporté au repère?O, x 0, y 0 z 0 Q1.Déterminer la masse M de la plaque (P) en fonction deμ eta.

Q2.Déterminer l"opérateur d"inertie

I O (P) de la plaque (P) au point O dans?O, x 0 y 0 z0 ?en fonction de M eta. O x 0 y 0

FIGURE2.11 - Quart de disque

Q3.Déterminer les axes principaux d"inertie de la plaque (P), préciser les vecteurs de la base principale.

Q4.En déduire les moments d"inertie principaux J1 ,J 2 et J 3 de la plaque (P) au point O en fonction de M eta.

Exercice 2- Hélice tripaleCorrigé page 20

Soit l"hélice tripale définie sur la figure 2.12. O y x #»z (a) Hélice O z x y O 1 P1P2 P3 (b) Masses ponctuelles réparties F

IGURE2.12 - Hélice tripale

R est diagonale.

P 1 (a 1 =R·cos(θ) b 1 =R·sin(θ) c1 =z) ,P 2 (a 2 =R·cos?θ+ 2π 3 b 2 =R·sin?θ+ 2π 3 c 2 =z) et P 3=( (a 3 =R·cos?θ- 2π 3 b 3 =R·sin?θ- 2π 3 c 3 =z)

Q2.En déduire que la matrice d"inertie d"une hélice tripale est diagonale en tout point de l"axe.

182 Cinétique

Exercice 3- Volant d"inertieCorrigé page 21

Un volant d"inertie en acier (7800kgm

-3 ) est constitué : - d"une couronne circulaire à base carrée (coté 2c) et de rayon extérieur R e =10·c, - d"un moyeu central de rayon R m =cde hauteur 2c, - de trois bras à 120° de section carrée (cotéc).

Q1.Déterminer la masse du volant d"inertie en

fonction dec.

Q2.Déterminer le moment d"inertie du volant

autour de l"axe de rotation en fonction dec.

Nota : les bras seront modélisés par des

parallélépipèdes tangents à la couronne et au moyeu.

Q3.A.N.c=5cm.

Q4.Déterminer la masse du disque d"épaisseur

2cayant le même moment d"inertie. Conclure.

FIGURE2.13 - Volant d"inertie

Exercice 4- SphériconeCorrigé page 22

On obtient un sphéricône (figure 2.14) à partir d"un double - cône de 90° d"angle au sommet coupé en deux

par un plan passant par l"axe puis recollé après une rotation de 90°. (a) double cône(b) découpe et rotation de90°(c) sphéricône F

IGURE2.14 - Du double cône au sphéricône

On se propose de déterminer les caractéristiques cinétiques du sphéricône et de les comparer à celle du

double-cône.

Le sphéricône peut se décomposer en 4 demi - cônes de rayon R et de demi - angle au sommet 45° .

2.4 Exercices19

Q1.Déterminer par des considérations géométriques la position du centre d"inertie G et la forme de la matrice

d"inertie du sphéricône en G (préciser la base). Q2.Précisez la forme de la matrice d"inertie d"un demi - cône en O dans la base.

Q3.En déduire celle du sphéricône.

Q4.Déterminez la matrice d"inertie du demi-cône en ne calculant que les termes utiles pour la matrice du

sphéricône puis celle du celle du sphéricône. Écrire cette matrice en fonction de M c , la masse du double cône. G x y z r z P y x

FIGURE2.15 - Paramétrage du sphéricône

202 Cinétique

2.4.1 Corrigés

Cor. 1: Quart de disqueSujet page 17

Q1.M= 4 ·a 2 Q2.L"épaisseur est négligeable, donc les deux produits d"inertie contenantzsont nuls. I O (p)=( (J x -P xy 0 -P xy J y 0 00J z 0? x0, y0, z0? Avec J x T y 2 +z 2 dm,J y T x 2 +z 2 dm,J z T x 2 +y 2 dmetP xy T x·ydm l"épaisseur étant négligeable (z=0) J x T y 2 dm,J y T x 2 dmetJ z T x 2 +y 2 dm=J x +J y

On se place en coordonnées polaires

?x=r·cosθ y=r·sinθ avec dm=μ·r·dθdret 2 J x T y 2 dm= 2 0 a 0 r 2

·sin

2 4

16=M·a

2 4 J y T x 2 dm= 2 0 a 0 r 2

·cos

2 4

16=M·a

2 4=J x J z =J x +J y =M·a 2 2 P xy T x·ydm= 2 0 a 0 r 2 4

8=M·a

2

2·π

Q3.Le plan perpendiculaire au plan (

?O, x 0 y 0 passant par la droite(O, x 1 )avec x 0 x 1 ?=45 ° est plan de symétrie du quart de disque, dans la base x 1 y 1 z 1 la matrice d"inertie est diagonale, les axes, x 1 y 1 et z 0 sont les axes principaux d"inertie. d"inertie par rapport aux axes de la nouvelle base. Nous savons que : J 1 x 1

·?I

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