Cité 1 fois — Définition 1 9 : complexité d'un algorithme La complexité d'un algorithme est le 47 définitions, 86 figures, 39 exemples, 79 remarques, 128 exercices et 5 contrôles types corrigés
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AlgorithmiqueI-CoursetTravauxDiri g´es
L3,Ecol eNormaleSup´er ieuredeLyon
Cours
AnneBe noit
TravauxDirig´es(200 8-2009)
BenjaminDepardon,Chris topheMouilleron,Cl´ement Resvoy
Septembre2009
2
Tabledesmati` eres
1In troduction:calculdex
n 9 1.1 Enonc´eduprobl`eme.. ..... ....................... ... .9
1.2Algorit hmena¨ıf............ ............... ... .. ... ..9
1.3M´et hodebinaire............. ................. ... ... 9
1.4M´et hodedesfacteurs......... ......... ................10
1.5Arbre deKnuth.... ...... .............. ... ... ... ... .10
1.6R´es ultatssurlacomplexit´e...... ......... ...... .........11
1.7Exe rcices.................... ... ... ... ... ... .. ... 12
1.8R´ef ´erencesbibliographiques.............. ................14
2D iviserpourr´egner15
2.1Algorit hmedeStrassen........ ...... ..................15
2.2Prod uitdedeuxpolynˆomes... ...... ............ .........17
2.3Maste rtheorem....... .................. ... .. ... ... .18
2.4R´es olutiondesr´ecurrences...... ........ ................19
2.4.1R´esol utiondesr´ecurrenceshomog`ene s........ ............19
2.4.2R´esolu tiondesr´ecurrencesavecsecon dmembre.. .............19
2.5Mult iplicationetinversiondematrices....... ...... ...........20
2.6Exer cices..................... .. ... ... ... ... ... ..21
2.7R´ef ´erencesbibliographiques.............. ................23
3P rogrammationdynamique25
3.1Pi`e cesdeMonnaies......... ...... .................. .. 25
3.2Leprob l`e medusac`ados............. ...... ..... ...... .26
3.2.1Englouton ...... ........... ... ... ... ... ... .. .26
3.2.2Parprogr ammationd ynamique................ ........26
3.3Quel quesexemplesdeprogrammationd ynamique................ ..27
3.3.1Chaˆın esdematrices............ ...... ............27
3.3.2Pluslon guesous-suite. ........... .................28
3.3.3Locationd eskis.......... ..... ............ ... ..30
3.4Exe rcices.................... ... ... ... ... ... ... .. 32
3.5R´ef ´erencesbibliographiques.............. ................34
4A lgorithmesgloutons35
4.1Exem pledugymnase.......... ...... .............. ... .35
4.2Route `asuivrepourl eglouton. ................. ........ ..36
4.3Colori aged'ungraphe...... ........... ............ ... .37
4.3.1Algorithm eglouton1.............. ............ ... 38
4.3.2Algorithm eglouton2.............. ............ .. .38
3
4.3.3Graphed 'intervalles.... ..........................39
4.3.4Algorithm edeBrelaz............ ...... ...........39
4.4Th´ eoriedesmatro¨ıdes..... ........ ....................41
4.4.1Matro¨ ıdes...................... ... ... ... ... ..41
4.4.2Algorith meglouton............... ........... ... ..42
4.5Ordon nancement........................... ... .. ... .42
4.6Exer cices..................... ... ... ... .. ... ... ..44
4.7R´ef ´erencesbibliographiques............. .................45
5Tri47
5.1Trif usion.... ............... .. ... ... ... ... ... ... .47
5.2Trip artas:Heapsort ...... ..... ... ............... .. ..47
5.2.1D´efini tions......................... ... ... ... .47
5.2.2Tripart as........ ..... ...... ... ... ... ... .. ..48
5.2.3Inser tiond'unnouvel´el´ement.. ............ ...........48
5.2.4Suppre ssiond'un´el´ementdutas........ ........... ....49
5.2.5Comple xit´edutripartas............... ...... ......49
5.3Trir apide.... ............... .. ... ... ... ... ... ... .49
5.3.1Coˆut. ............... .. ... ... ... ... ... ... .. .50
5.3.2M´edian eentempslin´eaire.... ...... .............. ...50
5.4Compl exit´edutri.................. ...... ........ ... .51
5.4.1Lesgrands th´eor` emes....... ......................51
5.4.2D´emons trationdesth´eor`emes.............. ........ ...52
5.4.3Peut-on atteindrelaborne?.. ....................... .54
5.5Exer cices..................... ... ... ... ... ... .. ..55
5.6R´ef ´erencesbibliographiques.............. ................57
6G raphes59
6.1D´efi nitions....................... ... ... ... ... .. ... 59
6.2Arbre s............. ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... 59
6.2.1Caract´e risation............................. ... .59
6.2.2Parcours d'arbresbinaires... ..................... ...60
6.2.3Arbresb inairesderecherc he.................. ...... ..63
6.3Stru cturesdedonn´eespourlesgraphes... ...... ...............65
6.4Acce ssibilit´e............................ ... ... .. ... 69
6.4.1Rappel ssurlesrelationsbinai res..... ......... .........69
6.4.2Chemin sdanslesgraphes........ ......... ......... .70
6.4.3Fermet uretransitive.............. ................70
6.5Plus courtschemins .............. .................... 73
6.5.1D´efin itions........................ ... ... ... ..73
6.5.2Pr´es entationdespluscourtschemins....... ......... .....74
6.5.3Avecdes poidspositi fs...... ............ ...........74
6.5.4Chemin salg´ebriquesdanslesse mi-anneaux.................75
6.5.5Algorithm edeDijkstra......... ...... .............76
6.6Parcou rsenlargeur......... ..... ............... ... .. .78
6.7Parcou rsenprofondeur...... ..... .....................80
6.7.1Premi` ereversion................. ...............80
6.7.2Analysefi neduparcoursenprof ondeur... ...... ..........81
6.8Trit opologique.. .................... ... ... ... ... ... 82
6.9Forte connexit´e... .......................... ... .. ... 83
4
6.10Exer cices..................... ... ... ... ... .. ... ..83
6.11R´ef ´erencesbibliographiques............. .................88
7Tab lesdehachage89
7.1Rech ercheentable............... ...... ............ .. 89
7.2Table sdehachage....... ...... ............ ... .. ... ..89
7.3Colli sionss´epar´ees.......... .........................90
7.4Adre ssageouvert.......... .............. ... ... ... .. .91
7.5R´ef ´erencesbibliographiques.............. ................92
8A nalyseamortie93
8.1Compt eur................. ... ... ... ... ... .. ... ... 93
8.1.1M´etho dedesacomptes............ ......... ........93
8.1.2M´etho dedupotentiel........... ...... ............94
8.2Mallo cprimaire....... .................... ... ... .. ..94
8.2.1M´etho deglobale................. ............ .. .94
8.2.2M´etho dedesacomptes............ ......... ........94
8.2.3M´etho dedupotentiel........... ...... ............94
8.3Inse rtionETsuppression....... ...... ...................95
8.4Gest iondespartitions.... ........ .....................95
8.4.1Repr´e sentationenlisteschaˆın´ees............. ..... .....95
8.4.2Repr´ esentationenarbres....................... ....95
8.5R´ef ´erencesbibliographiques.............. ................96
9NP-Compl´etude97
9.1Probl `emesdeP.....................................97
9.1.1Pens´e edujour(PJ).......... ...... ......... .....97
9.1.2D´efini tion....................... ... ... ... ... .97
9.1.3Exempl es..................... ... ... ... ... .. .98
9.1.4Solution d'unprobl`eme..... ............ ...........99
9.2Probl `emesdeNP...................................99
9.2.1D´efini tion....................... ... ... .. ... ..99
9.2.2Probl`e mesNP-complets.............. ..............99
9.2.3Exempl esdeprobl`emesdansNP.......................100
9.2.4Probl`e mesded´ecisionvsoptimisation.. ...... ............100
9.2.5Exempl edeprobl`emesn'´etantp asforc´e mentdansNP...........100
9.2.6Probl` emespolynomiaux.............. ..............101
9.3M´e thodeder´eduction....... ...... ....................102
9.43-SAT ........... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ..102
9.5Cliq ue................ .. ... ... ... ... ... ... .. ... .104
9.6Couve rtureparlessommets.......... ...... ........ ......105
9.7Cycl ehamiltonien.... .......................... ... ..106
9.8Colorat iondegraphes......... ..... ............... ... .106
9.8.1COLOR.. ............ .. ... ... ... ... ... ... .. .107
9.8.23-COLOR ............... ... .. ... ... ... ... ... .109
9.8.33-COLOR- PLAN..................... ... ... ... .. 110
9.9Exer cices..................... .. ... ... ... ... ... ..112
9.10R´ef ´erencesbibliographiques.............. ................114
5
10A lgorithmesd'approximation115
10.1D´efi nition..................... ... ... ... ... .. ... ..115
10.2Vert excover.......... .............. ... ... ... ... ... 115
10.2.1Version classique......... ....................... 115
10.2.2Version pond´er´ee........ ........................116
10.3Voyage urdecommerce:TSP... ..... .................... .116
10.3.1D´efini tion....................... ... ... ... ... .116
10.3.2Inappro ximabilit´edeTSP...........................117
10.3.32-approx imationdanslecaso`ucv´erifiel'in´egalit ´etriangul aire... ...117
10.4BinP acking:BP ................. ... ...... ... ... ... .118
10.4.1D´efini tion....................... ... ... ... ... .118
10.4.2NextFit ......... ........ ... ... ... ... ... .. ... 119
10.4.3DecFir stFit(DFF )............. ......... ........119
10.52-Part ition................... ... ... ... ... ... .. ... 120
10.5.1NP-compl ´etudeausensfaibleetausensfort......... ... ....120
10.5.2Approxi mationgloutonnes.................. .........120
10.5.3Une(1+ ?)-approximation....................... ... .121
10.5.4FPTASpou r2-Partition... ........ .................123
10.6Exe rcices.................... ... ... ... ... ... .. ... 125
10.7R´ef ´erencesbibliographiques.............. ................127
6
Pr´eface
Lestradi tionschangentetlecoursd'algon 'estplustoujourslem ercred i`alam ˆemeheure, lesensei gnantsrajeunissent,etlepolyse d´eboguegrˆaceauxgentils´etudiants,TD-menet enseignants. Doncvoicila nouvelleversi ondupol yremis`aneuf,toujourspou rsatisfairevotreenvi ede savoir.Biensˆurilr estesansnuld outedenombreus eserre ursgliss´eesdans cespages,me rcide mefaire partdevostrouvai llesparcou rrier´ electr onique`aAnne.Benoit@ens-lyon.fr.
Lyon,Juille t2007
AnneBenoit
Pr´efaced'YvesRobert
Cepolyc opi´erassemblelescoursettr avauxdirig´es(aveccorrig´ es)dumod uleAlgorithmique del'ENS Lyon.Al'origine pr´evupour lap remi`ereann´eeduMagist` ered'Informatique,l emodule s'int`egred´esormaisdanslatrois i`emeann´eedelaLicenced'In formatique .Etdir equepersonne nes'es trenducompteduc hangement! Celafait`ape inedixansq uej'en seignececours.Ad ´efautdech angerle contenu(pou r fairequoid'autr e?)oud'uti liserautrechosequeletableau et lacraie(idem?),jechangeles irr´esistiblestraitsd'humourquifonttoutlecharm edecess´eancesd uMercredi(l'horairene changepasnonplu s).Etj 'usetou teunebatteriedeTD- menandw omen,lesquelsont apport´e leurcontribut ionaufildesans,construisantouam´elioran tde ss´ean cesdetrav auxdirig´e s. Jelesr emercietou ssinc`erement,parordred'ap parition:Od ileMillet-Botta,TanguyRisset, AlainDarte,B runoDurand,Fr´e d´ericVivien,Jean -ChristopheDubacq,O livierBodini,Daniel
Hirschko
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