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Applications linéaires, matrices, déterminants - Licence de

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MAT 201

Exercice corrigé Applications linéaires et sous-espaces, noyau et image

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L1, algebre lineaire

2011/2012

MathematiquesUniversite

Paris 13TD 5: Applications lineaires

D efinition, noyau, image Exercice 1.Les applications suivantes deEdansFsont elles lineaires? Si oui, determiner une base du noyau et une base de l'image.

1.E=F=R2;8(x;y)2R2; f(x;y) = (2x+ 3y;x):

2.E=F=R2;8(x;y)2R2; f(x;y) = (y;x+y+ 1):

3.E=R3; F=R;8(x;y;z)2R3; f(x;y;z) =x+ 2yz:

4.E=F=R2;8(x;y)2R2; f(x;y) = (x+y;xy):

5.E=F=R;8x2R; f(x) =x2:

Exercice 2.

a)Donner une base du noyau et une base de l'image des applications lineaires suivantes: f1:R3!R,f1(x;y;z) = 3x+ 2yz; f2:R2!R3,f2(x;y) = (2x+y;2xy;x+y); f3:R3!R3,f3(x;y;z) = (x+ 2y+z;2xz;x+ 2y+ 2z). b)SoitEla droite vectorielle deR3engendree par le vecteur (1;1;1). Donner, quand cela a un sens, une base de l'image et de l'image reciproque deEpar les applications lineaires f

1,f2etf3.

Exercice 3.

a)Montrer que toute application lineaire deR3dansRnon nulle est de la formef(x;y;z) = ax+by+cz, avec (a;b;c)6= (0;0;0). (On pourra partir de l'egalite (x;y;z) =x(1;0;0) + y(0;1;0) +z(0;0;1).) b)Quelle est la forme d'une application lineaire deR3dansR2? c)De m^eme quelle est la forme d'une application lineaire deRdansR, deR2dansRet de R

2dansR2?

Exercice 4.Soitfl'application deR3dansR3denie parf(x;y;z) = (x+ 2y+z;y+

3z;2x2y+ 4z).

a)Donner une base de l'image et une base du noyau def. Decrire l'image defpar un systeme d'equations lineaires. b)SoitEle sous-espace vectoriel deR3d'equationx=y. Quelle est la dimension deE?

Donner une base def(E) et une base def1(E).

Exercice 5.On considere l'espace vectorielR3muni de sa base canonique notee (e1;e2;e3). On denit un endomorphisme deR3parf(e1) =e1e2,f(e2) = 2e1+e3etf(e3) =3e3. Pourquoifest-il bien deni? Quelle est la matrice defdans la base (e1;e2;e3)? 1 Exercice 6.Soit l'endomorphisme deR3dont la matrice dans la base canonique est A=2 411a
1ab a11b ab b13 5 ;oua;b6= 0:

Determiner le noyau et l'image def.

Rang, injectivit

e et surjectivite Exercice 7.Donner dans chaque cas la dimension du noyau def, puis le rang def. L'applicationfest-elle injective? surjective? bijective? a)f:R3!R3,f(x;y;z) = (y;z;x). b)f:R3!R3,f(x;y;z) = (x+y;y+z;xz). c)f:C3!C4,f(x;y;z) = (x+y+z)(1;i;1;i). d)f:C2!C4,f(x;y) = (xy;x+iy;(2 +i)x+y;3ix+y). e)f:R3!R3,f(x;y;z) = (2x+myz;2x+ 2y;x2z), selon la valeur du parametre m2R. Exercice 8.Soitfl'application lineaire deR4dansR3dont la matrice relativement aux bases canoniques deR4et deR3est:A=2

41 2 0 1

2 1 3 1

2 4 0 23

5 a)DeterminerKer(f) et une base deKer(f). b)DeterminerIm(f) et une base deIm(f). c)Quel est le rang def? Exercice 9.Soitfl'application lineaire deR4dans lui-m^eme, dont la matrice dans la base canonique est :2 6

6411 1 0

m11 0 11m0

0 0 0 13

7

75oum2R.

a)Discuter l'injectivite defsuivantm. b)Donner dans tous les cas le rang def, une base deKer(f) et deIm(f). Exercice 10.SoitEun espace vectoriel de dimension nie etf:E!Eune application lineaire. a)Montrer dimE= dim(Imf+ Kerf) + dim(Imf\Kerf). b)Montrer KerfImf=E()Imf\Kerf=f0g. c)Montrer KerfImf=E()Imf= Imf2. d)En utilisantb), dire si Imfet Kerfsont supplementaires dansE=R3dans les deux cas suivants: i)f(x;y;z) = (x2y+z;xz;x2y+z). ii)f(x;y;z) = (2(x+y+z);0;x+y+z). Exercice 11.SoitR4[X] l'ensemble des polyn^omes a coecients reels de degre inferieur ou egal a 4. Montrer que l'applicationfdeR4[X] dans lui m^eme, denie parf(P) =PP0est lineaire.

L'application f est-elle injective? surjective?

Projecteurs

Exercice 12.Dans chaque cas, montrer que les sous-espacesF1etF2de l'espace vectorielE sont supplementaires, puis calculer la projectionpsurF1parallelement aF2et la projection qsurF2parallelement aF1. a)E=R2,F1= vectf(1;0)g,F2= vectf(0;1)g. b)E=R2,F1= vectf(1;0)g,F2= vectf(1;1)g. c)E=R3,F1=f(x;y;z)2R3; x+y=zg,F2= vectf(1;1;1)g. d)E=R3,F1= vectf(1;1;0)g,F2= vectf(0;1;1);(1;0;3)g

Composition des applications lin

eaires, matrices et changements de bases Exercice 13.Soientfetgdeux applications lineaires deR3denies par :f(x;y;z) = (2x2y3z;xy2z;x+y+ 2z) etg(x;y;z) = (x2y;xy+z;yz): a)Determinerfgetgfen utilisant le calcul matriciel. b)Determiner les rangs defetg. Exercice 14.SoitEun espace vectoriel de dimension 3,B= (~a1;~a2;~a3) une base deE, et2R. Soitfl'application lineaire deEdans lui-m^eme denie par:f(~a1) =~a1+~a2, f(~a2) =~a1~a2etf(~a3) =~a1+~a3. a)Ecrire la matrice defdans la baseB. b)Determiner le noyau defet en donner une base, suivant les valeurs du parametre.

Determiner dans tous les cas le rang def.

c)Comment choisirpour quefsoit un automorphisme1deE? Dans ce cas, calculer la matrice def1dans la baseB. Exercice 15.SoitBla base canonique deR2. SoitB0= (~u;~v), ou~u= (1;1),~v= (1;2). a)Verier queB0est une base deR2. b)Soitfl'endomorphisme deR2de matriceM=11 22
dans la base canonique. Calculer f(~u),f(~v). Determiner les matrices A

1= MatB0;B(f) etA2= MatB0;B0(f):

c)Calculer la matrice de passage deBaB0et la matrice de passage deB0aB. Retrouver A

1etA2en utilisant la formule de changement de bases.

Exercice 16.

~u=2 41
0 23
5 ; ~v=2 41
1 03 5 ; ~w=2 41
2 33
5 ; ~u0=2 42
0 13 5 ; ~v0=2 43
2 43
5 ; ~w02 42
3 43
5 SoitBetB0les familles deR3,B= (~u;~v; ~w) etB0= (~u0;~v0; ~w0). a)Verier queBetB0sont des bases deR3. b)Calculer la matrice de passagePdeBaB0, puis la matrice de passage deB0aB. c)Soitfl'endomorphisme deR3dont la matrice dans la baseBest: A=2

41 0 1

0 1 0

2 0 13

5 :1

C'est a dire un isomorphisme deEdans lui-m^eme

Calculer la matrice defdans la baseB0.

Exercice 17.Soitfune application lineaire deR3dans lui-m^eme, denie par:f(x;y;z) = (17x28y+ 4z;12x20y+ 3z;16x28y+ 5z). a)Ecrire la matrice defdans la base canonique. b)Determiner une baseB1du noyau def. c)SoitF=n ~v2R3t.q.f(~v) =~vo le sous-espace des vecteurs invariants parf. Justier queFest un espace vectoriel et determiner une baseB2deF. d)Montrer que les deux espaces precedents sont supplementaires dansR3. e)Ecrire la matrice defdans la baseB=B1[ B2.

Exercice 18.Soit:R3[X]!R3[X];P7!X:P0:

a)Verier queest lineaire et quef1;X;X2;X3gconstitue une base deR3[X]. b)

Ecrire la matrice dedans cette base.

Exercices suppl

ementaires

Exercice 19.SoitA=a b

c d une matrice deM2(R) et soitf:M2(R)! M2(R) l'application denie parf(M) =AMMApour toute matriceM2 M2(R). Posons E

11=1 0

0 0 ;E

12=0 1

0 0 ;E

21=0 0

0 1 ;E

22=0 0

0 1 a)Montrer quefest une application lineaire. b)Ecrire la matrice defdans la base canoniqueB1= (E11;E12;E21;E22) deM2(R). c)On suppose quea=d,c=betb6= 0. i) Determiner le noyau et l'image def. ii) Montrer queKer(f)TIm(f) =f0g. En deduire queM2(R) =Ker(f)LIm(f). iii) Montrer quefff=f. Exercice 20.SoientEun espace vectoriel de dimensionnetfun endomorphisme deE tels quefn= 0 etfn16= 0. Montrer qu'il existe une base deEtelle que la matrice defdans cette base soit de la forme2 6

6666640 1 00

0 0 1...........................1

0 0 03

7

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