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Département de mathématiques 2019-2020

L2 Maths, UE d"Analyse numérique

Correction - Feuille de TD 2 : Méthodes d"intégration numériqueExercice 1.(Une méthode sur[-1,1]) Soientx1,x2?[-1,1],x1< x2, etλ1,λ2?R.On définit, pour toute fonctionfcontinue sur[-1,1], la méthode d"intégration numériqueTde la façon suivante :

T(f) =λ1f(x1) +λ2f(x2).

1. Mon trerque Test exacte d"ordre au moins 1 sur[-1,1]si et seulement siλ1= 2x2x

2-x1etλ2=2x1x

1-x2. Correction :D"après le cours,Test exacte d"ordre au moins1si et seulement si elle est exacte pour les polynômes d"une base deR1[X], par exemple les polynômes de la base canonique :1etX,i.e

T(1) =?

1 -1dx= 2etT(X) =? 1 -1xdx= 0. Or,

T(1) =λ1+λ2etT(X) =λ1x1+λ2x2

ce qui conduit équivaut au système suivant :

1+λ2= 2

1x1+λ2x2= 0

Ce qui donne finalementλ1=2x2x

2-x1etλ2=2x1x

1-x2. 2. P ourquelles v aleursde λ1,λ2,x1etx2,Test-elle au moins exacte d"ordre 3? Quel est alors l"ordre d"exactitude de la méthode? Correction :De même que précédemment,Test au moins d"ordre3si et seule- ment si elle est exacte pour les polynômes de la base canonique deR3[X], soit, si et seulement si elle est exacte d"ordre1et pourX2etX3, ce qui, d"après la question précédente équivaut à

1+λ2= 2

1x1+λ2x2= 0

T(X2) =λ1x21+λ2x22=?1

-1x2dx=23

T(X3) =λ1x31+λ2x32=?1

-1x3dx= 0. 1

1=2x2x

2-x1, λ2=2x1x

1-x2λ1x21+λ2x22=23

1x31+λ2x32= 0.

1=2x2x

2-x1, λ2=2x1x

1-x2x21x2-x1x22=x2-x13

1x2(x1-x2)(x1+x2) = 0.

Or, on sait par hypothèse quex1< x2. De plus, les casx1= 0etx2= 0mènent à une contradiction avecx21x2-x1x22=x2-x13 . On a doncx2=-x1et, par un calcul simple, la2-ème équation donnex1=-⎷3 3 x2=⎷3 3 , ce qui conduit finalement à

1=λ2= 1.

La méthodeTest donc de degré d"exactitude au moins3, reste à savoir siT(X4) =?1 -1x4dx. Un calcul élémentaire donne :

T(X4) = 2⎷3

43
4=29 ?=25 1 -1x4dx ce qui finit de prouver que la méthode est exacte d"ordre 3. 3. Déduire des qu estionsprécéden tesune métho ded"in tégrationd"ordre 3 sur un segment[a,b]quelconque. Correction :Pour cette question, on utilise le changement de variable affine vu en cours : ?b af(x)dx=b-a2 1 -1f?b-a2 t+a+b2 dt.

On approche alors

?b af(x)dxparb-a2 T? x?→f(b-a2 x+a+b2 , c"est-à-dire T a,b(f) =b-a2 f(-(b-a)⎷3 6 +a+b2 ) +f((b-a)⎷3 6 +a+b2 Reste à montrer que cette méthode est exacte pour les polynômes de degré63.

SoitPun tel polynôme. Il est clair que

Q(X) =b-a2

P?b-a2

X+a+b2

est aussi un polynôme de degré inférieur ou égal à3. CommeTest une méthode de degré d"exactitude3, alors

T(Q) =?

1 -1Q(x)dx=b-a2 1 -1P?b-a2 x+a+b2 dx=? b aP(x)dx. Or, par construction,T(Q) =Ta,b(P), ce qu"il fallait démontrer. 2 Exercice 2.(De l"interpolation à l"intégration numérique) Soitf: [-1,1]-→Rune fonction de classeC2et soientx0,x1?[-1,1]avecx0?=x1. 1.

In terpolationde Lagrange aux no eudsx0, x1:

a. Donner l"expression du p olynômeP1d"interpolation de Lagrange defassocié aux noeudsx0,x1dans la base de Lagrange. Correction :Comme on l"a vu au chapitre pércédent, le polynôme d"interpo- lation de Lagrange associé à ces noeuds dans la base de Lagrange est : P

1(X) =f(x0)X-x1x

0-x1+f(x1)X-x0x

1-x0. b. Donner la form uled"erre urd"appro ximationde Lagrange sup x?[-1,1]|f(x)-P1(x)| en fonction deM= sup z?[-1,1]|f??(z)|. Correction :Le résultat principal du chapitre suivant donne ?x?[-1,1],|f(x)-p1(x)|6M2 |x-x0||x-x1|. 2. On considère la métho ded"in tégrationn umériques ur[-1,1]suivante pour appro- cherI(f) =?1 -1f(t)dt:

J(f) =?

1 -1P1(x)dx. a. Mon terqu"il existe λ0,λ1?Rtels queJ(f) =λ0f(x0) +λ1f(x1).

Correction :On se sert de la question 1)a) :

J(f) =?

1 -1p1(x)dx=? 1 -1? f(x0)x-x1x

0-x1+f(x1)x-x0x

1-x0? dxJ(f) =f(x0)? 1 -1x-x1x

0-x1dx+f(x1)?

1 -1x-x0x

1-x0dx

On a doncλ0=?

1 -1x-x1x

0-x1dxetλ1=?

1 -1x-x0x

1-x0dx

b. Donner une ma jorationde l"erreur |I(f)-J(f)|en fonction deM.

Correction :Par définition deJ(f)on a :

|I(f)-J(f)|=????? 1 -1f(x)dx-? 1 -1p1(x)dx????=????? 1 -1(f(x)-p1(x))dx????6? 1 -1|f(x)-p1(x)|dx En utilisant la majoration obtenue à la question 1-b) on a alors : |I(f)-J(f)|6? 1 -1M2 |x-x0||x-x1|dx

Finalement, si on majore|x-xi|par 2, on obtient

|I(f)-J(f)|64M 3

Exercice 3.(Exam 2016)

Soitf: [0,1]?→Rune application de classeC1.

1. A l"aide d"un dév eloppementde T aylorde la fonction

F(x) =?

0f(t)dt

montrer qu"il existec?]0,1[tel que?1

0f(t)dt=f(0) +f?(c)2

Correction :La première chose à rappeler est que la définition fait deFLA PRIMITIVE DEfQUI S"ANNULE EN0. En particulier,Fvérifie Fest de classeC1,?x?[0,1], F?(x) =f(x), F(0) = 0.(1) Comme suggéré dans l"énoncé on peut donc écrire de développement de Taylor

Lagrange deFen0à l"ordre2:

?x?[0,1],?αx?[0,1], F(x) =F(0) + (x-0)F?(0) +(x-0)22

F??(αx)

ce qui donne immédiatement d"après ?x?[0,1],?αx?[0,1], F(x) =f(0)x+x22 f?(αx). En particulier enx= 1, en reprenant la définition deF(1), on a doncc?[0,1]tel que

F(1) =?

0f(x)dx=f(0) +12

f?(c) (précisément ce qu"il fallait démontrer). 2.

On prop osed "approcherl"in tégraleI(f) =?1

0f(t)dtpar une formule du type

J(f) =f(0) +f?(α)2

pourα?]0,1[à déterminer. a. Mon trerque Jest exacte pour les polynômes de degré inférieur ou égal à1 quelque soit le choix deα?]0,1[. Correction :Pour montrer queJest exacte pour les polynômes de degré inférieur ou égal à1, il faut (et il suffit) de montrer qu"elle est exacte pour la base canoniqu eueR1[X], c"est-à-dire

J(1) = 1etJ(X) =?

0xdx=12

Or, par définition deJ:

-J(1) = 1 + 0 = 1 4 -J(X) = 0 +12 =12 b. Déterminer αpour que l"approximationJ(f)soit exacte pour les polynômes de degré au plus égal à deux. Correction :Pour queJsoit de plus exacte pour les polynômes de degré2, d"après ce qui précède il suffit d"avoirJ(X2) =?1

0x2dx=13

Or,

J(X2) = 0 +2α2

La condition nécessaire et suffisante est donc queα=13 c. P ourle c hoixde αde la question 2-b), quel est l"ordre d"exactitude de la méthode? Correction :On a vu à la question précédente que le degré d"exactitude est au moins2, il faut donc tester pour3,4etc jusqu"à trouver quel est le plus au degré pour lequelJest exacte. On va vérifier siJest exacte à l"ordre 3 :

J(X3) = 03+3×α22

=3×13 22
=16 et 1

0t3dt=14

. Ainsi,J(X3)?=? 1

0t3dtdoncJest de degré d"exactitude 2.

3. On fixe p ourla suite αcomme à la question 2-b). On suppose quef?C3([0,1]). A l"aide d"un développement de Taylor deF(x), montrer qu"il existed?]0,1[tel que

I(f) =f(0) +12

f?(0) +16 f??(0) +124 f(3)(d). A l"aide d"un développement de Taylor def?(α), montrer alors que |I(f)-J(f)|6572 sup x?[0,1]|f(3)(x)|. Correction :La fonctionfest maintenant de classeC3, ce qui fait deFune fonction de classeC4. On peut donc effectuer un développement de Taylor Lagrange

à l"ordre4en0et on obtient :

?x?[0,1],?αx?[0,1], F(x) =F(0)+xF?(0)+x22

F??(0)+x36

F???(0)+x424

F(4)(αx).

En particulier, enx= 1et en utilisant les propriétés (1) deF, on obtient qu"il existed=α1?[0,1]tel que

I(f) =F(1) =f(0) +12

f?(0) +16 f??(0) +124 f???(d) ce qu"il fallait démontrer dans un premier temps. On veut maintenant évaluerI(f)-J(f). CommeJ(f)fait intervenirf?(α), il 5 paraît raisonnable de faire un développement de Taylor Lagrange def?(α)en0à l"ordre maximal (i.e2puisquef?est de classeC2) : f ?(α) =f?(0) +αf??(0) +α22 f???(e)pour un certainξ?[0,1].

Or, on sait queα=13

, ce qui donne f ?(α) =f?(0) +αf??(0) +α2f(3)(ξ)2 c"est-à -dire

J(f) =f(0) +12

f?(0) +16 f??(0) +136 f(3)(ξ).

Enfin, en réunissant tout cela :

I(f)-J(f) =124

f(3)(d)-136 f(3)(ξ) et donc, |I(f)-J(f)|6|3f(3)(d)-2f(3)(ξ)|72 6372
|f(3)(d)|+272 |f(3)(ξ)|6572 sup x?[0,1]|f(3)(x)| 4.

Soien th >0eta?Rtels que[a,a+h]?[0,1].

a. On note fhla fonction définie parfh(t) =f(a+th), montrer que : a+h af(t)dt=h? 1

0fh(t)dt.

Correction :En effectuant le changement de variablet=x-ah , c"est-à-dire x=a+ht,dx=hdt, on a : a+h af(x)dx=? 1

0hf(a+ht)dt=h?

0fh(t)dt.

b. À partir des questions précéden tes,prop oserun eform uled"appro ximationJa,h(f) pour I a,h(f) =? a+h af(t)dt qui soit exacte pour les polynômes de degré inférieur ou égal à deux. Correction :On s"inspire de ce qui a été fait en cours pour les changements d"intervalle d"intégration : on dispose dorénavant d"une méthode exacte pour les polynômes de degré inférieur ou égal à 2. Ainsi, siP?R2[X], alors 1

0P(x)dx=J(P) =P(0) +12

P?(α)avecα=13

Soit maintenantQ?R2[X],

a+h aQ(x)dx=h? 1

0Qh(t)dtavecQh(t) =Q(a+ht).

CommeQh?R2[X], alors; la question d-1) donne

h 1

0Qh(t)dt=h?

Q h(0) +12

Q?h(α)?

=h?

Q(a) +12

h Q?(a+αh)?

La méthode demandée sur[a,a+h]est donc

J a,h(f) =hf(a) +h22 f?(a+αh)avecα=13 c. Mon trerque p ourtout f?C3([0,1]), on a|Ia,h(f)-Ja,h(f)|65h472 sup x?[0,1]|f(3)(x)|.

Correction :On va utiliser le fait que

I a,h(f)-Jh(f) =h? 1

0fh(x)dx-hJ(fh)

d"après ce qui précède et l"estimation de|I(fh)-J(fh)|trouvée à la question

3. Ainsi :

|I(fh)-J(fh)|6572 sup x?[0,1]|f(3) h(x)|.

Or,?x?[0,1], f(3)

h(x) =h3f(3)(a+hx), d"oùsup x?[0,1]|f(3) h(x)|=h3sup x?[a,a+h]|f(3)(x)| ce qui fournit le résultat demandé.

Exercice 4.(Exam 2019-1)

1. Déterminer dans la base de Newton le p olynômed"in terpolationde Lagrange P2 associé aux noeudsx0= 1, x1=32 etx2= 2de la fonctionf(x) =1x Correction :En faisant un tableau de différences divisées on obtient

P(X) = 1-23

(X-1) +13 (X-1)(X-32 2. En utilisan tla form ulede l"erreur d"in terpolation,mon trerque ?x?[1,2],|f(x)-P2(x)|6(x-1)(2-x)|x-32 Correction :Il suffit ici d"appliquer le théorème du cours qui donne ?x?[1,2],?αx?]1,2[f(x)-P2(x) =f(3)(αx)6 (x-1)(x-32 )(x-2) 7 et de noter que, pour la fonctionfdonnée, pour toutt?[1,2],|f(3)(t)|=6t 466
cart>1. Soitg: [1,2]→Rune fonction continue. On cherche à approcher l"intégrale

I(g) =?2

1g(x)dxpar la formule d"intégration numériqueJ2(g)suivante :

2(g) =λ0g(1) +λ1g(32

) +λ2g(2). 3. Donner le s ystèmelinéaire v érifiépar (λ0,λ1,λ2)pour que la méthodeJ2soit exacte pour les polynômes de degré inférieur ou égal à2. Correction :En écrivant queJest exacte pour les 3 polynômes de la base cano- nique, on obtient le système

0+λ1+λ2= 1,

0+32

λ1+ 2λ2=32

0+94

λ1+ 4λ2=73

En déduire les v aleursde λ0, λ1etλ2.

Correction :Les valeurs correspondantes sont :

0=λ2=16

, λ1=23 C"est normal, il s"agit de la méthode de Simpson. 5. Quel est le degré d"exactitude de la métho de? Correction :Cette méthode est de degré d"exactitude 3 (vu en cours) 6. Déduire de cette étude une v aleurappro chéede ln(2). Que pourrait-on faire pour avoir une approximation aussi fine que l"on souhaite? Correction :On aln2 =I(f)≈J2(f), c"est à dire : ln2 = 2 1dxxquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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Département de mathématiques 2019-2020

L2 Maths, UE d"Analyse numérique

T(f) =λ1f(x1) +λ2f(x2).

2-x1etλ2=2x1x

T(1) =?

T(1) =λ1+λ2etT(X) =λ1x1+λ2x2

1+λ2= 2

1x1+λ2x2= 0

Ce qui donne finalementλ1=2x2x

2-x1etλ2=2x1x

1+λ2= 2

1x1+λ2x2= 0

T(X2) =λ1x21+λ2x22=?1

T(X3) =λ1x31+λ2x32=?1

1=2x2x

2-x1, λ2=2x1x

1-x2λ1x21+λ2x22=23

1x31+λ2x32= 0.

1=2x2x

2-x1, λ2=2x1x

1-x2x21x2-x1x22=x2-x13

1x2(x1-x2)(x1+x2) = 0.

1=λ2= 1.

T(X4) = 2⎷3

On approche alors

SoitPun tel polynôme. Il est clair que

Q(X) =b-a2

P?b-a2

X+a+b2

T(Q) =?

In terpolationde Lagrange aux no eudsx0, x1:

1(X) =f(x0)X-x1x

0-x1+f(x1)X-x0x

J(f) =?

Correction :On se sert de la question 1)a) :

J(f) =?

0-x1+f(x1)x-x0x

0-x1dx+f(x1)?

1-x0dx

On a doncλ0=?

0-x1dxetλ1=?

1-x0dx

Correction :Par définition deJ(f)on a :

Finalement, si on majore|x-xi|par 2, on obtient

Exercice 3.(Exam 2016)

Soitf: [0,1]?→Rune application de classeC1.

F(x) =?

0f(t)dt

0f(t)dt=f(0) +f?(c)2

Lagrange deFen0à l"ordre2:

F??(αx)

F(1) =?

0f(x)dx=f(0) +12

On prop osed "approcherl"in tégraleI(f) =?1

0f(t)dtpar une formule du type

J(f) =f(0) +f?(α)2

J(1) = 1etJ(X) =?

0xdx=12

Or, par définition deJ:

0x2dx=13

J(X2) = 0 +2α2

J(X3) = 03+3×α22

0t3dt=14

0t3dtdoncJest de degré d"exactitude 2.

I(f) =f(0) +12

à l"ordre4en0et on obtient :

F??(0)+x36

F???(0)+x424

F(4)(αx).

I(f) =F(1) =f(0) +12

Or, on sait queα=13

J(f) =f(0) +12

Enfin, en réunissant tout cela :

I(f)-J(f) =124

Soien th >0eta?Rtels que[a,a+h]?[0,1].

0fh(t)dt.

0hf(a+ht)dt=h?

0fh(t)dt.

0P(x)dx=J(P) =P(0) +12