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Montrez que l'ellipse d'équation x2/a2 + y2/b2 = 1 peut être paramétrée par le Montrez que ces champs satisfont aux équations de Maxwell et calculez les

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Exercices d"électromagnétisme 2019-2020 1/60

Fascicule d"exercices

d"électromagnétisme John Martin, Dorian Baguette, Alexandre Cesa, Jérôme DenisI.P.N.A.S., bât. B15

Tél. : 04/366 28 64

email : jmartin@uliege.be

2019-2020

Exercices d"électromagnétisme 2019-2020 2/60 I

Calcul vectoriel

Exercices d"électromagnétisme 2019-2020 3/60

Calcul vectoriel

Rappels sur les intégrales curviligne et superficielle Une courbeCest paramétrée par un cheminr(t) = (x(t);y(t);z(t)). L"intégrale curviligne (ou circulation) d"un champ vectorielAle long d"une courbe orientéeC=fr(t) :t2[tA;tB]gest notée C

Ad`et est par définitionégale à

tB t

AA(r(t))drdt

dt Une surfaceSest paramétrée par une couverture(r(u;v);K)où r(u;v) = (x(u;v);y(u;v);z(u;v))et(u;v)2K= [umin;umax][vmin;vmax]. L"intégrale superficielle (ou flux) d"un champ vectorielAsur (au travers de) la surface orientéeSest notée C

AndSet est par définitionégale à

K

A(r(u;v))(@ur@vr)dudv

Exercices d"électromagnétisme 2019-2020 4/60

Calcul vectoriel

Rappels de calcul intégral

Quelques primitives à connaître...

1x dx= ln(x)(1)

11 +x2dx= arctan(x)(2)

x(1 +x2)3=2dx=1p1 +x2(3)

1p1 +x2dx= arcsinh(x)(4)

xp1 +x2dx=p1 +x2(5)

1(1 +x2)3=2dx=xp1 +x2(6)

Changement de variable régulierx=x(y)

b a f(x)dx= b0 a

0f(x(y))dxdy

(y)dy

aveca0= limx!ay(x)etb0= limx!by(x)Remarque :Toutes les primitives sont définies à une constante additive près.

arcsinh(x) = ln(x+p1 +x2). Exercices d"électromagnétisme 2019-2020 5/60

Calcul vectoriel

Théorèmes de Gauss et de Stokes

Formule de Gauss (du flux ou d"Ostrogradsky)

Pour tout volume donnéVdont la frontière est une surfaceSrégulière, c"est-à-dire admettant une normale extérieurenpresque partout, on a S AndS= V (rA)dV

Formule de Stokes(-Ampère)

Pourvu queAetr Asoient continus dans un domaine contenant la surfaceS ouverte, limitée par le contourC, on a C Ad`= S (r A)ndS avec les règles de signes habituelles concernantnet le sens de parcours deC. Exercices d"électromagnétisme 2019-2020 6/60

Calcul vectoriel

Scalaire, pseudoscalaire, vecteurs polaire et axial C1. Démontrez que le produit scalaire entre deux vecteurs polaires (resp. axiaux) est un scalaire (qui ne change donc pas de signe sous l"action d"une réflexion). C2. Démontrez que le produit vectoriel entre deux vecteurs polaires définit un vecteur axial. C3. Démontrez que le produit mixte entre trois vecteurs polaires est un pseudosca- laire. C4. Justifiez le fait que la position, la vitesse et la quantité de mouvement d"une particule sont des vecteurs polaires, tandis que le moment cinétique est un vecteur axial. C5. Démontrez que le produit scalaire entre un vecteur polaire et un vecteur axial définit un pseudoscalaire. C6. Démontrez que le produit vectoriel entre un vecteur polaire et un vecteur axial définit un vecteur polaire. Exercices d"électromagnétisme 2019-2020 7/60

Calcul vectoriel

Dérivées de champs scalaires et vectoriels

C7. Calculez la dérivée du champ scalaireV(r) =xe(y2+x2)dans les directions n=1p3 (1;1;1)etn0= cos'ex+ sin'ey. C8. Dans une région de l"espace règne le potentiel électrostatique

V(x;y) = 10(2xy3x24y218x+ 28y+ 12):

Déterminez la position et la hauteur du maximum de potentiel. Déterminez ensuite la direction et le module de la plus grande pente au point(1;1). C9 . Effectuez le développement en série dejrr0j1aux alentours der0= 0 jusqu"à l"ordre 2 inclus. Exercices d"électromagnétisme 2019-2020 8/60

Calcul vectoriel

Divergence et rotationnel

C10. Montrez que la divergence et le rotationnel du champA=r=r3sont nuls

8r6= 0mais que le flux au travers d"une surface sphérique de rayonRentourant

l"origine est non nul.Remarque : le champ coulombien en est un cas particulier. Formellement, on obtient le même résultat par application de la formule de Gauss avec rA= 4(r). C11. Montrez que le champ inhomogèneA= (x;y;0)est simultanément indiver- gentiel et irrotationnel.

C12. Montrez que le champ

A=e' =yx

2+y2;xx

2+y2;0

est simultanément indivergentiel et irrotationnel86= 0, mais que la circulation le long d"une boucle entourant l"axeezest non nulle. Calculez celle-ci pour un tour complet dans le sens trigonométrique autour deez.

Solution:

u CAd`= 2.Remarque : Formellement, on obtient le même résultat par application de la formule de Stokes avecr A=

2()(')ez== 2(x)(y)ez.

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Calcul vectoriel

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