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Année universitaire 2016/2017.

U.E. 2P021

TD n o13-14. Équations de Maxwell

Éléments de correction

JohannesBraathen(LPTHE), CédricEnesa(LKB), AndreaMogini(LPNHE)

Exercice IV. Onde plane, notation complexe

Soient

?A(?r,t) =?A0ei(ωt-?k·?r)etV(?r,t) =V0ei(ωt-?k·?r)les potentiels complexes d"une onde plane de

pulsationωet vecteur d"onde?k.

1. Établir le rotationnel et la divergence de

?Aet le gradient et la dérivé temporelle deV.On a : ? ·?A=-i(kxAx+kyAy+kzAz) =-i?k·?A, ? ??A=? xêyêz x∂y∂z A xAyAz? (-ikyAz+ikzAy -ikzAx+ikxAz -ikxAy+ikyAx) )=-i?k??A, ?V=( xV yV zV) (-ikxV -ikyV -ikzV) )=-i?kV, tV=iωV.2. Écrire la jauge de Lorentz en termes de

?ketωet en déduire que?E??B.On applique les résultats précédents à la jauge de Lorentz et on utilise la relation de dispersion

pour l"onde plane (ck=ω) : ? ·?A+1c

2∂tV= 0

?k·?A+kc V= 0. Par ailleurs, et indépendamment de la jauge choisie :

B=?? ??A=-i?k??A,

E=-??V-∂t?A=-i(?kV+ω?A)

?E·?B= 0 ?E??B.1

Exercice V. Onde dans un conducteur ohmique

3. Résoudre l"équation∂tρ(?r,t)+γ?-10ρ(?r,t) = 0dans l"hypothèse d"une distribution de chargesρ0(?r)

pourt= 0. Quel est le temps caractéristique au delà duquel le conducteur est localement neutre?On a :

tρ(?r,t) =-γ?

0ρ(?r,t)

?ρ(?r,t) =ρ0(?r)e-γt? 0. Le temps caractéristique du système est doncτ=?0γ

devant à celui des charges la pulsation de l"onde satisfait à la conditionω?0γ-1?1.On a :

0??j? ?1c

2∂t??E?

?μ0γE?μ0?0ωE

ω?0γ

?1.Exercice VI. Potentiels

1. Rappeler les relations liant le potentiel scalaireVet le potentiel vectoriel?Aaux champs?Eet?B.?

E=-??V-∂t?A,

B=?? ??A.2. Montrer que la transformationV→V?=V-∂tf,?A→?A?=?A+??flaisse les champs

électrique et magnétique invariants.?

B?=?? ??A?=?? ??A+?? ???f=?? ??A=?B.3. Montrer que si les potentiels satisfont la condition dejauge de Lorenzle champ scalairefest

solution d"une équation d"onde.La condition dejauge de Lorenzs"écrit : ? ·?A+1c

2∂tV= 0.

En imposant la condition de jauge à (

?A,V) et (?A?,V?) on a : ? ·?A?+c-2∂tV?= 0 ?? ·(?A+??f) +c-2∂t(V-∂tf) ?? ·?A+c-2∂tV+Δf-c-2∂2tf =Δf-c-2∂2tf. Le champ scalairefest bien solution d"une équation d"onde.2

4. En utilisant l"identité opératorielle

???() =??(??·??)-Δ??et en imposant lajauge de Lorenzquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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