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Cet exercice est un questionnaire à choix multiples La courbe de Bézier C1 est obtenue à partir des quatre points de définition A, B, C et O dans cet ordre

Section technicien supérieurCours de mathématiquesChapitre 16Courbes de Bézier Les courbes de Bézier sont utilisées dans de très nombreusesapplications : •commandes de machines numériques; •programmes de dessin vectoriel (segments courbes); •polices True-type; •morphing : déformation d'images.

Le concept a été développé initialement dans le cadre de la construction automobile en France

à partir des années 60, par des ingénieurs (Bézier chez Renault, de Casteljau chez Citroën) qui

cherchaient à définir de la manière la plus concise les courbes des carrosseries.

Aymar de Saint-Seine

Année scolaire 2011-2012

Cours de mathématiquesSTS

1.INTRODUCTION

1.1.Historique

Au début des années 60, les machines numériques ne savaient usiner de façon précise que

des courbes simples comme des paraboles ou des ellipses. Uneseconde catégorie d'objets,

au contraire, offrait une forme a priori peu précise, déterminée expérimentalement. Les hélices

d'avions, les coques de bateaux et les carrosseries de voitures étaient tracées à main levée, sans

que l'on puisse décrire leurs formes par une formule mathématique.

Pierre Bézier, ingénieur français diplômé du Conservatoire national des arts et métiers, pour-

suivait, une carrière à la Régie Renault, atteignant le poste de directeur des méthodes mé-

caniques. Les machines à commande numérique de cette époque offraientune programmation limitée.

Il fallait les alimenter avec des nombres, ce que l'on savaitfaire pour des déplacements élé-

mentaires comme des droites, des arcs de cercle, et à la rigueur des ellipses. Mais il n'était

pas question de programmer des courbes quelconques, tracées à la main, faute d'une définition

numérique de celles-ci. Pierre Bézier chercha donc commenttraduire mathématiquement une

courbe, puis une surface, dessinées à main levée. Il lui fallait concevoir un système capable

de gérer des courbes gauches, c'est-à-dire de manipuler dessurfaces en 3D, d'où la nécessité

de définir un modèle mathématique qui ne soit pas limité à des courbes en deux dimensions.

Enfin, l'ingénieur entendait inventer un système complet pour créer un objet en volume à par-

tird'un dessin, le tout avec une rapiditéd'exécution suffisante, et compréhensibleintuitivement.

Mais ses recherches n'étaient pas entièrement originales.Dès 1958, un mathématicien employé

par Citroen, Paul de Casteljau, s'était attaqué au même problème. Paul de Casteljau était chargé

de numériser une courbe, une fois celle-ci tracée, sans se poser la question d'une correction a

posteriori. Il définissait ses courbes comme caractériséespar des pôles, d'une façon nettement

moins parlante que les points de contrôle de Bézier.

L'aventure de Pierre Bézier aurait pu s'arrêter là. Mais un groupe de développeurs liés à Apple

créa un langage adapté à la future imprimante laser conçue pour le Mac. Il s'agissait de trou-

ver un moyen de définir mathématiquement une courbe, comme letracé d'un caractère, avant

de l'envoyer à l'imprimante. L'un de ces développeurs connaissait le travail du Français. Tout

naturellement, il choisit les courbes de Bézier comme base du langage PostScript et fonda la

société Adobe. Microsoft adopta à son tour les polices true-type à partir de Windows 3.1. Ces

polices utilisent les courbes de Bézier pour définir les caractères aux formes arrondies.

1.2.Exemples progressifs de courbes de Bézier

1.2.i) Courbe de Bézier de degré 1

On considère deux pointsAetBet soitM(t)le barycentre de(A,1-t)(B,t). •sit= 0alorsMest enA; 1

Chapitre 16Courbes de Bézier

•sit= 0,5alorsMest au milieu de[AB]; •sit= 1alorsMest enB. Quandtparcourt l'intervalle[0,1], il est clair que le pointM(t)décrit tout le segment[AB]. A M(t)B

Définition 1 :

Le segment[AB]est lacourbe de Bézierde degré 1 avecpoints de contrôleAetB. Les polynômes1-tettsont les polynômes oupoids de Bernsteinde degré 1.

1.2.ii) Courbe de Bézier de degré 2

Construisons une autre courbe en rajoutant une 2ème étape à ce qui précède :

1ère étape : 2 courbes de Bézier de degré 1 :

•SoitM1(t)le barycentre de(A,1-t)(B,t);M1(t)décrit[AB]. •SoitM2(t)le barycentre de(B,1-t)(C,t);M2(t)décrit[BC].

2ème étape :

•SoitM(t)le barycentre de(M1,1-t)(M2,t). On fait décrire àtle segment[0;1].M1parcourt alors[AB]etM2parcourt alors[BC]. Le point

Mdécrit lui la courbe ci-dessous.

On remarque que :

•M(t)décrit alors une courbe de degré 2 qui, par définition, commence enAet se finit enC,

et a pour tangentes(AB)enAet(BC)enC. •En tout pointM, la tangente à la courbe est le segment[M1M2]. •M(t)se situe à la même proportiondu segment[M1M2]queM1par rapport au segment[AB] ouM2par rapport au segment[BC]. http://lyceeenligne.free.fr2

Cours de mathématiquesSTS

Leschémaci-dessous,appeléschémapyramidaldeCasteljau,permetderésumerlaconstruction itérative des barycentres qui a été faite. CBA N 1(t) N

2(t)M(t)

1-t t 1-t t 1-t t

À partir de celui-ci et en utilisantles propriétés d'associationdu barycentre, on établit leschéma

condensé de Bernstein : CBA M(t) (1-t)2= 1-2t+t2

2(1-t)t= 2t-2t2

t2 Ainsi, en prenant le pointOcomme origine, on obtient : OM= (1-t)2-----→OA+ 2t(1-t)-----→OB+t2-----→OC; ce qui se traduit sur les coordonnées par : ?xM(t) = (1-t)2xA+ 2t(1-t)xB+t2xC y

M(t) = (1-t)2yA+ 2t(1-t)yB+t2yC

Définition 2 :

M(t)décrit la courbe de Bézier de degré2avec3points de contrôleA,BetC. Les polynômes(1-t)2,2t(1-t)ett2sont les polynômes - poids de Bernstein de degré 2.

1.2.iii) Courbe de Bézier de degré 3

Construisons une autre courbe en rajoutant une 3ème étape à ce qui précède :

1ère étape : 3 courbes de Bézier de degré 1 :

•SoitM1(t)le barycentre de(A,1-t)(B,t); •SoitM2(t)le barycentre de(B,1-t)(C,t); 3

Chapitre 16Courbes de Bézier

•SoitM3(t)le barycentre de(C,1-t)(D,t).

2ème étape : 2 courbes de Bézier de degré 2 :

•SoitN1(t)le barycentre de(M1,1-t)(M2,t); •SoitN2(t)le barycentre de(M2,1-t)(M3,t).

3ème étape : 1 courbe de Bézier de degré 3 :

•SoitM(t)le barycentre de(N1,1-t)(N2,t);

Schéma pyramidal de Casteljau

DCBA M 1(t) M 2(t) M 3(t)N 1(t) N

2(t)M(t)

1-t t 1-tquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

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