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Cet exercice est un questionnaire à choix multiples La courbe de Bézier C1 est obtenue à partir des quatre points de définition A, B, C et O dans cet ordre

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Universit

´e du Littoral Ann´ee 2011-2012

Licence 2

`eme ann´ee Informatique

Courbes et Surfaces

Courbes de B

´ezierCe devoir consiste

`a coder un programme permettant de tracer de mani`ere int´eractive une courbe de B´ezier`a l"aide

de la librairie SDL.

1. CE QU"IL FAUT FAIRE

Ce projet est

`a faire en binˆome ou trinˆome et`a rendre au plus tard le dimanche 6 mai`a 23h59. Vous trouverez sur mon site une archivebezier.tar.gaz. Elle contient - un fichierEnonce.pdfqui n"est autre que cet´enonc´e; - un r ´epertoireLibrairiecontentant les sous-r´epertoiresLinux,MacetWindows. Le code source contenu dans ces r

´epertoires est votre trousse`a outils, plusieurs classes et fonctions y sont d´efinies. La premi`ere´etape

technique consiste `a compiler et`a faire fonctionner le programme contenu dans ce r´epertoire en fonction de votre plateforme. Les fichiersReadme.txtcontiennent quelques instructions. - un r

´epertoireCopiesEcranqui contient des copies d"´ecran illustrant le rendu`a obtenir`a la section portant

sur l"algorithme de De Casteljau Vous me rendrez avant la date limite, une archive.zipou.tar.gzcontenant - un fichierinfo.txtpr´ecisant les noms, pr´enoms et adresses email des membres - un r

´epertoireTesteDeCasteljauqui contiendra plusieurs sous-r´epertoires. Dans chacun de ces sous-r´ep-

ertoires, vous mettrez le code source d"un programme dessinant une courbe de B

´ezier ainsi qu"une copie d"´ecran

de ce que vous avez obtenu chez vous. Evidemment les courbes de B

´ezier seront diff´erentes.

- un r

´epertoireInteractionsqui contiendra le code source des diff´erents programmes demand´e`a la derni`ere

section.

- un fichierrapport.pdfcontenant la r´eponse aux diff´erents exercices ainsi qu"une description des probl`emes

rencontr ´es et des solutions trouv´ees et/ou test´ees.

Les diff

´erentes fonctions demand´ees sont`a mettre au choix dans les fichiers main.cpp,bezier.hetbezier.cpp.

Pour rappel, un fichier.hne doit pas contenir le code de la fonction mais juste sa d´eclaration sous forme de

prototype. Si vous avez des questions ou que vous souhaitez communiquer entre vous, j"ai mis un forum `a votre disposition.

2. PRIMITIVES DE DESSIN

Nous rappelons que leyde l"´ecran SDL est invers´e par rapport`a la direction math´ematique. Ainsi, si l"´ecran est de

largeur640et de hauteur480alors le point en bas`a gauche a pour coordonn´ees(0;480)tandis que celui en haut`a

droite a pour coordonn

´ees(640;0).

Pour cette section, vous aurez besoin des classesPoint,Couleur,EcranSDLd´efinies dans la librairie.

La classePointpermet de repr´esenter les points. L"instructionPoint P(x,y)cr´ee le pointPd"abscissexet

d"ordonn

´eey. SiPest une variable de typePointalorsP.xd´esigne l"abscisse dePtandis queP.yd´esigne son

ordonn ´ee. La commandecout<et255cr´ee une couleur grise. La valeurn=0donne un noir tandis quen=255donne un blanc. L"instruction

2 Couleur c(r,g,b)o`ur,getbsont compris entre0et255cr´ee une couleur ayant une composante rouge

egale`ar, une composante verte´egale`aget une composante bleue´egale`ab. N"h´esitez pas`a tester diff´erentes

valeurs der,g,bpour comprendre le principe.

La classeEcranSDLpermet de g´erer l"affichage SDL. L"instructionEcranSDL(w,h)cr´ee un´ecran de lar-

geurwet de hauteurh. Si´ecranest une variable de typeEcranSDLalors la commande -ecran.effacer()efface l"´ecran; -ecran.rafraichir()rafraichit l"´ecran et provoque l"affichage des modifications; -ecran.dessinepoint(P,c)colorie le pixel correspondant auPoint Pavec laCouleur C.

Exercice 1.Ecrire une fonction

void dessinelignehorizontale(EcranSDL ecran, Point P,usint l,Couleur c)

qui dessine la ligne horizontale de longueurlet de couleurcayant le pointPcomme extr´emit´e gauche.

Exercice 2.Ecrire une fonction

void dessineligneverticale(EcranSDL ecran, Point P,usint l,Couleur c)

qui dessine la ligne verticale de longueurlet de couleurcayant le pointPcomme extr´emit´e basse.

Dans la librairie vous trouverez une classeCarre. Cette classe permet´evidemment de repr´esenter des carr´es. Un

carr

´e est donn´e par son centre et la longueur de ces arrˆetes. L"instructionCarre c(P,6)cr´ee le carr´e centr´e en

Pet de longueur6. Sicarreest une variable de typeCarrealors la commande -carre.Cretourne lePointcentre decarre, -carre.lretourne la longueur des arrˆetes decarre.

Exercice 3.A l"aide des fonctions permettant de tracer des lignes horizontales et des lignes verticales,´ecrire une

fonction void dessinecarre(EcranSDL ecran,Carre carre,Couleur c) qui dessine en couleurcle contour du carr´ecarre.

3. POLYNˆOMES DEBERNSTEIN

Soitnun entier. Pour toutk2 f0;:::;ng, on appelle coefficient binomial et on noten kl"entiern!k!(nk)!. Il existen+ 1polynˆomes de Bernstein de degr´en, not´eBn0;:::;Bnnet d´efinie sur[0;1]par B nk(x) =n k x k(1x)nkpourk= 0;:::;n Exercice 4.Calculer,`a la main, les polynˆomes de Bernstein de degr´e3.

Exercice 5.A partir de la relationn

k =n1 k1 +n1 k montrer que l"on a B ni(t) = (1t)Bn1 i(t) +tBn1 i1(t);8t2[0;1]: pouri= 1;:::;n1ainsi queBn0(t) = (1t)Bn10(t)etBnn(t) =tBn1n1(t).

Exercice 6.Soientnun entier>1. Montrer,`a l"aide de l"exercice pr´ec´edent, que pour tout0;:::;non a

nX k=0 kBnk12 =n1X k=0 0kBn1 k12 o `u0k=12 k+12 k+1. 3

4. COURBE DEB´EZIER DE DEGR´E3

SoientA= (xA;yA),B= (xB;yB)deux points du plan et,deux r´eels, alorsA+Bd´esigne le point de coordonn

´ees(xA+xB;yA+yB).

Definition 1.SoientA,B,CetDquatre points du plan. On d´efinit la courbe de B´ezierCA;B;C;Dcomme l"en-

semble des points C

A;B;C;D(t) =B30(t)A+B31(t)B+B32(t)C+B33(t)D

pourt2[0;1].

Exercice 7.SoientA,B,CetDquatre points du plan. Calculer les points deCA;B;C;Dassoci´es aux valeurs0et1

du param `etret. En d´eduire que les pointsAetDappartiennent`aCA;B;C;D. SoientA,B,CetDquatre points du plan. On noteABle point12 A+12

B. De cette mani`ere, on pose

-AB=12 A+12 B; -BC=12 B+12 C; -CD=12 C+12 D; -ABC=12 AB+12 BC; -BCD=12 BC+12 CD; -ABCD=12

ABC+12

BCD. Exercice 8.Repr´esenter les pointsAB,BC,CD,ABC,BCD,ABCDsur un dessin lorsque les pointsA;B;C

etDd´ecrivent un quadrilat`ere quelconque non crois´e. Avant de dessiner le pointAB, par exemple, on tracera le

segment[A;B]. De mˆeme pour tous les autres points. Exercice 9.Montrer`a l"aide de l"exercice 6 qu"on aquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

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