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Pˆole Universitaire L´eonard de Vinci S5 - Ann´ee 2003-2004 PR 291 - Analyse Num´erique en C Promotion ESILV 2006

Feuille d"exercices

Interpolation, moindres carr´es et courbes de B´ezier

Exercice I

On consid`ere la fonctionf(x) = cosx, et on donne le tableau suivant : x i 0:1 0:2 0:3 0:4 cosxi

0:99500

0:98007

0:95534

0:92106

1.Calculer une valeur approch´ee def(0:23) en utilisant le polynˆome d"interpolation de Lagrange

de degr´e 1, puis celui de degr´e 2.

2.Calculer l"erreur d"interpolation commise pour chacun des cas.

Exercice II

1.Calculer une valeur approximative def(9) avec le polynˆome d"interpolation de Newton bas´e

surf(2) = 3,f(3) = 8,f(10) = 12.

2.La valeurf(10) = 12 est erron´ee ; la valeur corrig´ee def(10) est 12 +², avec²proche de 0.

De combien cela modifie-t-il l"approximation def(9)? Une petite erreur def(10) influe-t-elle peu ou beaucoup sur l"approximation def(9)?

Exercice III

Tracer l"allure g´en´erale de la courbe de B´ezier

1passant par les points de contrˆole donn´es, dans les

cas suivants 1

Pierre B´ezier, math´ematicien fran¸cais contemporain, fit sa carri`ere `a la r´egie Renault o`u il entre en 1933. Les

ann´ees 50 voient l"av´enement de la fabrication des automobiles par des machines-outils perfectionn´ees (c"est la

grande ´epoque des 4cv vendues `a un million d"exemplaires) et il fallait mettre au point des processus fiables et

pr´ecis dans l"´elaboration des carrosseries. Les courbes et surfaces de B´ezier, permettant l"usage de machines `a

commande num´erique, virent le jour en 1960. Cette ann´ee-la marque le d´ebut de ce que l"on appelle aujourd"hui la

CAO (Conception Assit´ee par Ordinateur). A la base, l"id´ee fut de lisser par une m´ethode math´ematique simple,

une courbe trac´ee `a main-lev´ee par les dessinateurs industriels. On notera une pol´emique sur la paternit´e de ces

courbes que certains attribuent `a Paul de Casteljau. Il travaillait `a la mˆeme ´epoque chez Citro¨en mais la peur de

l"espionage chez ce dernier constructeur fit que ce sont les r´esultats de B´ezier qui furent diffus´es. Les courbes de

B´ezier sont aussi utilis´ees dans beaucoup d"autres domaines, y compris dans les fontes vectorielles de caract`eres.

Pierre Etienne B´ezier (1910-1999)

PP P P P PP P P P P PP PPP P P PP 11 11 0 0 0 02 2 2 23
3 3 3 4 4 5 6

Exercice IV

On consid`ere les points de contrˆoleP0;P1;P2;P3dont les coordonn´ees dans le plan sont (0;0), (0;1), (1;1), (1;0).

1.Construire `a l"aide de l"algorithme de Casteljau les points de la courbe de B´ezier°(t) corre-

spondant aux param`etrest=1 4 ,t=1 2 ,t=3 4 . En d´eduire l"allure de la courbe.

2.Donner une repr´esentation param´etrique de°(t) `a l"aide des polynˆomes de Bernstein. Retrou-

vez la repr´esentation graphique obtenue au 1.

Exercice V

Refaire l"exercice IV avec les points de contrˆoleP0;P1;P2;P3dont les coordonn´ees sont (0;0), (1;0), (0;1), (1;1).

Exercice VI

Trouver le polynˆome de degr´e 2 qui satisfait les moindre carr´es pour le nuage (¡1;0), (0;1), (1;1),

(2;0).

Exercice VII

Refaire l"exercice VI avec un polynˆome de degr´e 3 puis 4.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

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