[PDF] Un corrigé du partiel du 12 novembre 2010, “Courbes et surfaces PDF PartielCS32010cor.pdf

12 nov 2010 · 36 donc un tel domaine n'existe pas Exercice 2 La courbe plane suivante est connue sous le nom de cardioıde : M(t) := ((1 − cos t) cos

4 6 Courbe sur une surface 23 4 7* Extrusion généralisée « Surfaces tubes » 27 4 8* Nœuds Gordiens 35 4 9 Corrections des exercices 39

[PDF] Polycopié de géométrie - université 8 Mai 1945 Guelma

2 Exercices corrigés sur les courbes paramétrées 18 2 1 Exercice 1 3 1 3 Plan tangent et droite normale à la surface définie par une équation explicite

[PDF] Un corrigé du partiel du 12 novembre 2010, “Courbes et surfaces

12 nov 2010 · 36 donc un tel domaine n'existe pas Exercice 2 La courbe plane suivante est connue sous le nom de cardioıde : M(t) := ((1 − cos t) cos

[PDF] Courbes et surfaces

1 2 EXEMPLES 9 Exercice 2 Donner une courbe paramétrée C∞, réguli`ere fermée et simple dont la trace est le cercle de centre P0 et de rayon a Exercice 3

[PDF] 15 - Fonctions vectorielles, courbes et surfaces Exercices Corrigés

Chapitre 15 : Fonctions vectorielles, courbes et surfaces – Corrigé des exercices - 2 - En effet, en notant C1, , Cn ces colonnes, elles sont toutes dérivables

[PDF] Corrigé

Exercice 1 (points) 1 Calculer la torsion de la courbe de R3 paramétrée par : ↦→ (4 cos ,5 − 5 sin ,−3 Soit la courbe tracée sur la surface d'équation 3 = + 3 et dont la projection orthogonale

[PDF] Géométrie Riemannienne : exercices du chapitre 1

Solution de l'exercice 2 Paramétrisation de la surface d'égale pente α s'appuy- ant sur une courbe plane Par hypoth`ese, la courbe plane donnée c est

[PDF] M1R – Géométrie : Courbes et surfaces - Université Claude Bernard

Corrigé du contrôle partiel du XX octobre 2010 Les documents sont autorisés Exercice – Soit ρ : [0,π] −→ R2 la courbe polaire donnée par ρ(θ) = cos3 θ 2

[PDF] COURBES ET SURFACES - Département de Mathématiques dOrsay

Dans cette perspective, nous avons également inclus les exercices traités dans les TD du cours et leurs corrigés, ainsi qu'un formulaire de rappels sur la

Solution :

Supposons qu'il existe un tel domaine. L'inegalite isoperimetrique entra^nerait alors \4Aire(Longueur)2, c'est-a-dire ici 1262= 36. Mais 12=

12(3;14:::)>36 donc un tel domaine n'existe pas.

Exercice 2La courbe plane suivante est connue sous le nom de cardiode :

M(t) := ((1cost)cost;(1cost)sint):

Determiner les points ou la courbe est reguliere et calculer sa fonction courbure.

Solution :

On calculeM0(t) = (sint+ sin2t;costcos2t) puisM00(t) = (cost+

2cos2t;sint+ 2sin2t). On en deduit

jjM0(t)jj2= 22cost: Ainsi la courbe est reguliere sauf aux pointst22Z. On calcule ensuite det(M0(t);M00(t)) = (sint+sin2t)(sint+2sin2t)(costcos2t)(cost+2cos2t) = 3(1cost):

On obtient ainsi le calcul de la courbure :

(t) =det(M0(t);M00(t))jjM0(t)jj3=32

3=2p1cost:

Remarque. On peut aussi calculer la longueur de la courbe L:=Z 2

0p22costdt=Z

0r4sin

2t2 dt= 2Z 2 0 sint2 dt= 4Z 0 sint2 dt= 8: 1 Exercice 3On denit la courbe dans l'espaceM: [1=2;1=2]!R3:

M(t) =13

(1 +t)3=2;13 (1t)3=2;tp2 Determiner les points ou elle est reguliere, bireguliere, calculer le triedre de Frenet \T,N,B" ainsi que sa courbure et sa torsion. [On pourra commencer par verier si la courbe est parametree par sa longueur]

Solution :

On calculeM0(t) =

12 (1 +t)1=2;12 (1t)1=2;1p2 . Ainsi on a jjM0(t)jj2=14 (1t) +14 (1 +t) +12 = 1: La courbe est donc parametree par la longueur de son arc etT=M0. On continue le calcul des derivees : T

0=M00=14

(1 +t)1=2;14 (1t)1=2;0 donc =jjT0jj=116(1 +t)+116(1t) 1=2 =12 p2(1t2); et

N=T0jjT0jj=

p1tp2 ;p1 +tp2 ;0

On peut ensuite calculer

B:=T^N=

p1 +t2 ;p1t2 ;1p2 etB0= 14 p1 +t;14 p1t;0 On peut calculer la torsion d'apres la denitionB0=N; on trouve= 12 p2(1t2). Exercice 4SoitCune courbe simple fermee, parametree par sa longueurM: [0;L]!R2; on noteM(s) = (x(s);y(s))et on supposeMest reguliere de classeC3; on note(s)sa courbure.

1. Verier quex00=y0ety00=x0.

2. Montrer queRL

0x(s)0(s)ds=RL

0(s)x0(s)ds; enoncer et demontrer

une formule analogue avecy(s).

3. En deduire que, pour touta;b;c2Ron a

Z L 0 (ax+by+c)0(s)ds= 0: 2

4. Montrer que

0(s)ds= 2. [On pourra utiliser l'interpretation de

comme la variation de l'angle de la tangente.]

5. On denit la courbe \decalee d'un rayonr" par la formule

M r(s) =M(s)rN(s): Indiquer a quelle conditionMrest reguliere et montrer en particulier que la condition est satisfaite pourrassez petit.

6. On suppose maintenant0r <1=maxj(s)j. Montrer que la longueur

L rde la courbe denie parMret l'aireArdu domaine delimite verient : L r=L+ 2retAr=A+rL+r2:

Solution :

1. On aT=M0= (x0;y0) doncN= (y0;x0) puisT0=M00= (x00;y00) =N

doncx00=y0ety00=x0.

2. On eectue une integration par parties :

Z L 0 x(s)0(s)ds= [x(s)(s)]L 0Z L 0 (s)x0(s)ds=Z L 0 (s)x0(s)ds; puisque les fonctionx(s),y(s) et donc(s) etc sont toutesL-periodiques. On montre de m^eme queRL

0y(s)0(s)ds=RL

0(s)y0(s)ds

3. On a clairementRL

00(s)ds= [(s)]L

0= 0 puis

Z L 0 x0(s)ds=Z L 0 (s)x0(s)ds=Z L 0 y00(s)ds= [y0(s)]L 0= 0 et de m^eme Z L 0 y0(s)ds=Z L 0 (s)y0(s)ds=Z L 0 x00(s)ds= [x0(s)]L 0= 0 d'ou l'enonce voulu. 4. Ecrivons comme le suggere l'enonceT= (cos(s);sin(s)), alors(s) =0(s). Comme la courbe est simple et fermee, l'angle de la tangente subit une variation de 2. DoncZL 0 (s)ds=Z L 0

0(s)ds=(L)(0) = 2:

5. On aM0r=M0(s)rN0(s) = (1 +r(s))T(s) donc la courbe est reguliere si

et seulement si 1 +r(s)6= 0. Commeest bornee, cette condition est veriee pourrsusamment petit (en faitjrj<1=maxj(s)jsut).

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Solution :

12(3;14:::)>36 donc un tel domaine n'existe pas.

M(t) := ((1cost)cost;(1cost)sint):

Solution :

2cos2t;sint+ 2sin2t). On en deduit

On obtient ainsi le calcul de la courbure :

3=2p1cost:

0p22costdt=Z

0r4sin

M(t) =13

Solution :

On calculeM0(t) =

0=M00=14

N=T0jjT0jj=

On peut ensuite calculer

B:=T^N=

1. Verier quex00=y0ety00=x0.

2. Montrer queRL

0x(s)0(s)ds=RL

0(s)x0(s)ds; enoncer et demontrer

3. En deduire que, pour touta;b;c2Ron a

4. Montrer que

0(s)ds= 2. [On pourra utiliser l'interpretation de

5. On denit la courbe \decalee d'un rayonr" par la formule

6. On suppose maintenant0r <1=maxj(s)j. Montrer que la longueur

Solution :

1. On aT=M0= (x0;y0) doncN= (y0;x0) puisT0=M00= (x00;y00) =N

2. On eectue une integration par parties :

0y(s)0(s)ds=RL

0(s)y0(s)ds

3. On a clairementRL

00(s)ds= [(s)]L

0= 0 puis

0(s)ds=(L)(0) = 2:

5. On aM0r=M0(s)rN0(s) = (1 +r(s))T(s) donc la courbe est reguliere si

6. On ajjM0(s)jj=j1 +r(s)j= 1 +r(s) donc

Ensuitexr=x+ry0,yr=yrx0ety0r=y0rx00donc

Ensuite on calcule par integration par partiesRL

0xx00ds=RL

0x02dsdonc

Par ailleursRL

0y0x00ds=RL

0y00x0dset

On en tire :

On a donc bien les deux formules demandees.