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Université Paris-Sud XI
COURBES ET SURFACES
Amaury Freslon
2018 - 2019
AVANT-PROPOS
Ce document a été le support d"un course intituléCourbes et surfacesdonné à l"Université
Paris-Sud de 2015 à 2019. La présente version est le fruit de ces quatre années d"élaboration, et
nous le rendons publiquement disponible dans l"espoir qu"elle pourra être utile à un enseignant
ou à un étudiant. Dans cette perspective, nous avons également inclus les exercices traités dans
les TD du cours et leurs corrigés, ainsi qu"un formulaire de rappels sur la trigonométrie circulaire
et la trigonométrie hyperbolique qui était distribué à tous les étudiants. Toutes les figures planes
ont été réalisées à l"aide deGeoGebra. Quant aux surfaces, elles sont issues de la bibliothèque
3D-XploreMath.
TABLE DES MATIÈRES
Table des matièresiii
Chapitre 1 Courbes planes1
1.1 Arcs paramétrés
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.1 Définition
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Changement de paramétrage
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Branches infinies
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1 Asymptotes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 Branches paraboliques
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Étude locale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.1 Tangente
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.2 Points singuliers
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Plan d"étude d"une courbe paramétrée
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Courbure
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.1 Cercle osculateur
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.2 Propriétés de la courbure
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6 Longueur d"une courbe
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6.1 Approximation polygonale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6.2 Propriétés de la longueur
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.6.3 Paramétrage par longueur d"arc
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.6.4 Courbes régulières isométriques
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.7 Autres types de paramétrisations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.7.1 Paramétrisation polaire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.7.2 Graphes d"une fonction
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Chapitre 2 Coniques27
2.1 Définition par foyer et directrice
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.1 Définition
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.2 Classification
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.1.3 Coniques à centre
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2 Courbes du second degré
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2.1 Réduction de l"équation quadratique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2.2 Cas dégénérés
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.2.3 Cas non-dégénérés
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.2.4 Discriminant et trace
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3 Sections coniques
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3.1 Équation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.3.2 Classification
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.3.3 Foyer et directrice
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Table des matières
Chapitre 3 Surfaces47
3.1 Nappes paramétrées
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.1.1 Rappels sur les fonctions de deux variables
. . . . . . . . . . . . . . . . . 473.1.2 Définition
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.1.3 Changement de paramétrage
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2 Étude locale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2.1 Plan tangent
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2.2 Vecteur normal
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2.3 Nappes régulières
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.3 Courbes sur une surface
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.3.1 Vecteurs tangents
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3.2 Courbure normale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.4 Courbure
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.4.1 Courbure de Gauss
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.4.2 Position par rapport au plan tangent
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.4.3 Exemples
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.4.4 Courbure et déterminant
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.5 Aire d"une surface
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.5.1 Approximation par des parallélogrammes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.5.2 Exemples
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.5.3 Lien avec la première forme fondamentale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.6 Surfaces définies par une équation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.6.1 Graphe d"une fonction
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.6.2 Paramétrage local
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.6.3 Exemple
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.7 Variétés différentielles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.7.1 Cartes et atlas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.7.2 Qu"est-ce qu"une surface?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Chapitre 4 Exercices81
4.1 Courbes planes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.1.1 Études de courbes en coordonnées cartésiennes
. . . . . . . . . . . . . . . 814.1.2 Études de courbes en coordonnées polaires
. . . . . . . . . . . . . . . . . 824.1.3 Exercices complémentaires
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.2 Coniques
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.2.1 Définitions des coniques
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.2.2 Études géométriques de coniques
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.2.3 Exercices complémentaires
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.3 Surfaces
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.3.1 Plan tangent
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.3.2 Courbure
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.3.3 Exercices complémentaires
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Chapitre 5 Correction des exercices91
5.1 Courbes planes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.1.1 Études de courbes en coordonnées cartésiennes
. . . . . . . . . . . . . . . 915.1.2 Études de courbes en coordonnées polaires
. . . . . . . . . . . . . . . . . 965.1.3 Exercices complémentaires
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.2 Coniques
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.2.1 Définitions des coniques
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.2.2 Études géométriques de coniques
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.2.3 Exercices complémentaires
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.3 Surfaces
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.3.1 Plan tangent
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.3.2 Courbure
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 -iv-Table des matières
5.3.3 Exercices complémentaires
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120Appendice : Formulaire de trigonométrie123
-v-CHAPITRE1COURBES PLANES
Dans ce premier chapitre nous allons étudier les courbes planes, c"est-à-dire les courbes tracées dans un plan. La géométrie affine est donc le cadre naturel dans lequel nous allons travailler. C"est la raison pour laquelle nous rappelons quelques éléments concernant le planaffine. L"ensembleR2peut être considéré comme un espace vectoriel de dimension2appeléplan
vectoriel, ses éléments étant alors desvecteurs. Cependant, on peut également le voir comme
un espace affine appeléplan affine. Dans ce cas, les éléments deR2sont despoints. À deuxpointsAetBdu plan affine est associé un vecteur du plan vectoriel noté--→AB. Réciproquement,
siAest un point du plan affine et si?uun vecteur du plan vectoriel, il existe un unique pointB du plan affine tel que--→AB=?u. On pourra alors écrireB=A+?u.
Pour décrire un vecteur, il suffit d"unebasede l"espace vectoriel, qui sera constituée de deux vecteurs ?iet?jnon colinéaires. Pour repérer un point dans le plan affine, nous aurons besoind"unrepèreconstitué d"un pointOet d"une base(?i,?j)de l"espace vectoriel. Un tel repère sera
en général notéR= (O,?i,?j). SiAest un point du plan, ses coordonnées(x,y)dans le repèreR
vérifient-→OA=x?i+y?j. Dans le plan vectoriel, on dispose de la norme euclidienne? · ?pour mesurer les vecteurs. Dans le plan affine, on utilise la distance euclidienne pour mesurer la distance entre deux points selon la formule suivante : d(A,B) =???--→AB???.Si un repère orthonormé est fixé, la distance entre le point de coordonnées(x1,y1)et le point
de coordonnées(x2,y2)est donc ?(x1-x2)2+ (y1-y2)2. Dans la suite, nous utiliserons la notationR2pour désigner indifféremment le plan vectoriel et le plan affine (qui sera simplement appelé plan). Si une base et un repère correspondant sontfixés, tout couple de réels peut désigner un vecteur ou un point. Afin d"éviter les confusions,
nous noterons en général les vecteurs avec une flèche. De plus, les coordonnées d"un point seront
écrites en ligne, par exemple
M= (x,y),
tandis que les coordonnées d"un vecteur seront écrites en colonnes, par exemple ?v=?x y?Chapitre 1. Courbes planes
1.1.1Définition
Définir mathématiquement ce qu"est une courbe n"est pas évident. Il s"agit bien sûr d"une
partie du plan, mais comment décrire le fait qu"elle un objet "à une dimension"? Commentcaractériser son caractère lisse ou régulier? L"idée fondamentale de la géométrie différentielle
qui va nous guider ici est d"aborder les courbes d"un point de vue analytique, en les voyant comme des images de fonctions deRandR2. C"est pourquoi la notion fondamentale qui va nous intéresser est la suivante : Définition1.1.1.Unarc paramétréde classeCkest une applicationγ:I-→R2
de classeCk, oùIest un intervalle deRetR2désigne le plan affine. L"image deγest appeléesupportdeγ(ou parfoissupport géométriquedeγ). On appellecourbe(oucourbe paramétrée)
du plan de classeCktout support d"un arc paramétré de classeCk. Étant donnée une courbeC du plan, on appelleparamétragedeCtout arc paramétré dont le support estC. Remarque1.1.2.Cette définition peut s"interpréter "physiquement" de la façon suivante : onconsidère un point se déplaçant dans le plan au cours du temps. À l"instantt, sa position est
γ(t)et le support de l"arc est la trajectoire complète du point. Remarque1.1.3.Pour des raisons de simplicité, nous supposons dans la Définition1.1.1 quel"ensemble de définition deγest un intervalle. Il pourrait être plus naturel d"autoriser des
ensembles de définition plus généraux, par exemple pour étudier l"arc paramétré défini par
γ:t?→?11-t,11 +t?
Cependant, il suffira dans ce cas d"écrire l"ensemble de définition comme réunion disjointe d"in-
tervalles et d"étudier l"arc paramétré sur chacun de ces intervalles. Exemple 1.1.4.Soienta,b?Ret?vun vecteur. On définit un arc paramétréγ:R→R2parγ(t) = (a,b) +t?v.
Il s"agit d"un arc de classeC∞dont le support est la droite dirigée par?vet passant par le point
de coordonnées(a,b). Notons que(a,b) =γ(0), doncγ(t) =γ(0) +t?v. Plus généralement, pour
toutt0dansRon aγ(t) = (a,b) +t0?v+ (t-t0)?v
=γ(t0) + (t-t0)?v.Fixons un repèreR= (O,?i,?j)du plan. Alors, un arc paramétré est donné par deux fonctions
x,y:I→Rvia la décompositionγ(t) = (x(t),y(t)).
De plus,γest de classeCksi et seulement sixetysont de classeCk. Les fonctionsxetyserontappeléescoordonnées cartésiennesdeγ. Nous utiliserons souvent cette description dans la suite,
la plupart du temps en ne précisant pas le repèreR, qui sera alors le repère canonique deR2,
à savoir
R can=? (0,0),?1 0? ,?0 1?? = (O,?i,?j). Exemple 1.1.5.Soienta,b?RetR >0. On définit un arc paramétréγ:R→R2parγ(t) = (a+Rcos(t),b+Rsin(t))
= (a,b) +Rcos(t)?i+Rsin(t)?j. Il s"agit d"un arc de classeC∞dont le support est le cercle de centre(a,b)et de rayonR. -2-1.1. Arcs paramétrés
Dans l"exemple précédent, la fonctionγest2π-périodique. Elle repasse donc plusieurs fois
par le même point du plan. Il s"agit là d"un phénomène important. Définition1.1.6.Soitγ:I→R2un arc paramétré. Un pointMdu support deγest dit multiples"il existet,t??Itels quet?=t?etγ(t) =M=γ(t?).quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23