[PDF] 15 - Fonctions vectorielles, courbes et surfaces Exercices Corrigés PDF 15_-_fonctions_vectorielles_courbes_et_surfaces_exercices

Chapitre 15 : Fonctions vectorielles, courbes et surfaces – Corrigé des exercices - 2 - En effet, en notant C1, , Cn ces colonnes, elles sont toutes dérivables

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Dans cette perspective, nous avons également inclus les exercices traités dans les TD du cours et leurs corrigés, ainsi qu'un formulaire de rappels sur la

Chapitre 15 : Fonctions vectorielles, courbes et surfaces - Corrigé des exercices. - 1 -

Fonctions vectorielles, courbes et surfaces (corrigés). Continuité, dérivabilité de fonctions vectorielles de variable réelle.

1. a. Il suffit ici de proposer une fonction qui répond au problème, par exemple :

" t Î [0,1],

10001000.21

LOOMMOL

t tf

Elle est bien continue de [0,1] dans M

n() car ses n2 fonctions composantes le sont de [0,1] dans . De plus les valeurs en 0 et 1 sont bien celles attendues. b. Ici la réponse est non. En effet, si une telle fonction existait on pourrait définir j, de [0,1] dans en posant : " t Î [0,1], ))(det()(tft=j. j serait alors continue, par composition de f avec det, elle-même continue de Mn() dans .

De plus on aurait :

1))1(det()1(-=-=-fj, et : 1))1(det()1(=-=-fj.

Donc le théorème des valeurs intermédiaires garantirait l"existence d"une valeur : a Î [0,1], telle que :

0)(=aj, autrement dit une valeur où la matrice )(af ne serait pas inversible.

2. Notons tout d"abord : " t Î I,

)(.)()(tyitxtf+=, où x et y sont respectivement les parties réelle et imaginaire de f. f étant supposée dérivable sur I, x et y le sont aussi.

De plus : " t Î I,

22)()()(tytxtf+=, et cette fonction est dérivable sur I par opérations.

En effet : t a

22)()(tytx+, est dérivable de I dans +* comme somme de produits de fonctions de I dans

dérivable, et f ne s"annulant pas, les valeurs obtenues sont bien dans

De plus

est dérivable sur +*, donc par opérations f est bien dérivable sur I.

Puis : " t Î I,

22)()()(").()(").()("

tytxtytytxtxtf

Par ailleurs : " t Î I,

tftftftf tftf, et donc : " t Î I,

22)()())(").()(").((

)()("Retytxtytytxtx tftf

Il est alors clair que : (

f est croissante) Û (" t Î I, 0)(").()(").(³+tytytxtx) Û (0"Re³ ff

3. · Toutes les fonctions composantes de la fonction : t a

)()(.)(tBtAtC+=a, sont dérivables sur I, et : " t Î I, )(")(".)(",,,tbtatcjijiji+=a, autrement dit : "".)".(BABA+=+aa. · De même, toutes les fonctions composantes de la fonction : t a ))().(()(tBtAtC=, sont dérivables sur I et : " t Î I, n k jkkijkkin k jkkiji tbtatbtatbatc 1,,,,

1,,,))(").()().("()(".)(",

autrement dit : ".".)".(BABaBA+=.

· On montre de la même façon que :

")"(AAtt=, que : )"())"((AtrAtr=, et que : ")"(AA=.

On peut aussi dans ces trois cas indiquer qu"on compose une fonction dérivable j de I dans avec une

application -linéaire u et que donc dans chaque cas : ")"(jjuouo=.

· Pour cette dernière fonction, on peut utiliser des développements limités de chaque colonne de la

fonction matricielle A.

Chapitre 15 : Fonctions vectorielles, courbes et surfaces - Corrigé des exercices. - 2 -

En effet, en notant C1, ..., Cn ces colonnes, elles sont toutes dérivables de I dans Mn,1() ou Mn()

puisque leurs composantes sont elles-mêmes dérivables sur I du fait de la dérivabilité de A sur I.

Puis : " t Î I, " h Î , tel que :

)(ht+ Î I, on a : Si on développe alors cette expression, on obtient plusieurs termes :

· on conserve tous les termes C

i : ))(det())(),...,(det(1tAtCtCn=,

· on conserve tous les termes C

i sauf 1 : ∑ n i niiii tCtChhtChtCtC

1111))(),...,(),(.)(".),(),...,(det(e,

ou : n i niiin i niii tCtCttCtChtCtCtCtCtCh 1111
et la deuxième somme tend vers 0 quand h tend vers 0 du fait des fonctions e i,

· on conserve moins de (n - 2) termes C

Dans toutes les expressions qui apparaissent il y a alors au moins deux places où on peut factoriser par h.

Une fois factorisées par h

2, les expressions restantes (soit q(h)) tendent vers 0 ou ont une limite finie.

Donc :

111hhhhtCtCtCtCtChtAhtA

n i niiiqe+++=+∑ Si enfin, on calcule la limite du taux d"accroissement, on aboutit à : n i niiih tCtCtCtCtChtAhtA autrement dit la fonction )det(A est dérivable sur I et : " t Î I, ∑ n i niii

CCCCCA

1111),...,,",,...,det())"(det(.

4. Raisonnons par l"absurde.

Si f s"annule une infinité de fois sur [a,b], alors on peut construire une suite de valeurs, toutes distinctes,

incluse dans [a,b].

De cette suite, on peut en extraire une suite (x

n) convergente et cette suite vérifie donc :

· " n ¹ p,

pnxx¹,

· " n Î ,

0)(=nxf,

· $ a Î [a,b],

nnx+¥®=lima, et :

· a est distinct de tous les termes de la suite (et peut être égal à un seul d"entre eux).

Puisque f est continue sur [a,b], elle l"est en particulier en a, et : )()(lim0afxfnn==+¥®.

De plus : $ n

0 Î , " n ³ n0, nx¹a, et : 0)()(=--aannxfxf.

Or puisque f est dérivable en a, on a aussi :

)(")()(limaaa afx fxf x=--

Donc comme (x

n) tend vers a, on en déduit que : 0)()(lim)("=--=+¥®aaann nxfxff.

Finalement, on a donc :

0)(")(

22=+aaff, ce qui est impossible.

f ne s"annule donc au plus qu"un nombre fini de fois sur [a,b].

5. Notons g la fonction proposée, définie donc par : " x ³ a,

)().(.)(.)(..22..2xfxfexfexgxxll--==. Par opérations, g est alors dérivable sur [a,+¥), et : " x ³ a, ))(").()().(".()(...2)("..22..2xfxfxfxfexfexgxx++-=--lll, car l"application : zza, est - linéaire dans vu comme -espace vectoriel de dimension 2. On peut aussi regarder à la main la dérivée de : x a )(xf, à l"aide des parties réelle et imaginaire.

On en déduit donc que :

" x ³ a, ))().(")(..(.2))().("Re(..2)(...2)("

2..2..22..2xfxfxfexfxfexfexgxxx+-£+-=---lllll, ce qui

Chapitre 15 : Fonctions vectorielles, courbes et surfaces - Corrigé des exercices. - 3 -

entraîne : " x ³ a, ))(.)("()(..2)("..2xfxfxfexgxll-£-, puisque : " x ³ a, )()(xfxf=.

Finalement : " x ³ a,

0)("£xg.

g est donc décroissante sur [a,+¥), et puisque :

0)(.)(

2..2==-afeagal, elle reste négative sur [a,+¥).

Comme il est de plus immédiat que g est positive sur cet intervalle, g est donc nulle.

Conclusion : " x ³ a,

0)(.

2..2=-xfexl, soit : 0)(=xf.

6. Puisque le mouvement est circulaire on a : " t Î I,

0)(¹tOM, sinon le point est immobile en O.

Donc : " t Î I, $ l(t) Î ,

)().()(tOMttal=.

Puis : $ C Î , " t Î I,

CtOMtOMtOM==))()(()(

2, et en dérivant : 0))()(.(2=tOMtv.

Si alors

)(ta est non nulle, alors l(t) aussi et on en déduit : 0))()(.()(2=tatvtl, donc : 0))()((=tatv, et si

)(ta est nulle, cette dernière relation est encore vérifiée.

Donc : " t Î I,

0))()((=tatv.

On en déduit que la dérivée de la fonction : t a

2)(tv, est nulle puisqu"elle vaut ))()(.(2tatv.

Donc cette dernière fonction est constante, tout comme )(tv et le mouvement est uniforme.

Courbes en cartésiennes.

7. a. Cette première courbe correspond à la fonction f définie sur par : " x Î ,

32)6.()(-=xxxf.

Elle y est continue et elle est dérivable sur \ {0,6}.

De plus : " x Î \ {0,6},

2322
32

2)6.()4.().12.3.())6.(.(31)("

xxxxxxxxxf f est donc croissante sur -, décroissante sur ]0,4[, puis à nouveau croissante sur ]4,+¥). En 4, f présente un minimum local où elle vaut :

34.2)4(-=f.

Pour x tendant vers ±¥, f(x) tend vers ±¥, donc la courbe G présente deux branches infinies.

De plus on a en ±¥ :

Autrement dit la courbe admet pour asymptote la droite D d"équation :

2-=xy, et la courbe se situe au-dessous

(respectivement au-dessus) de D en +¥ (respectivement. -¥). Enfin aux points où f n"est pas dérivable, on constate que :

¥=±®m)("lim

0xf x, et la courbe présente en ce point une tangente verticale, +¥=±®)("lim 6xf x, et la courbe présente encore en ce point une tangente verticale.quotesdbs_dbs21.pdfusesText_27

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1. a. Il suffit ici de proposer une fonction qui répond au problème, par exemple :

10001000.21

LOOMMOL

Elle est bien continue de [0,1] dans M

De plus on aurait :

1))1(det()1(-=-=-fj, et : 1))1(det()1(=-=-fj.

0)(=aj, autrement dit une valeur où la matrice )(af ne serait pas inversible.

2. Notons tout d"abord : " t Î I,

De plus : " t Î I,

22)()()(tytxtf+=, et cette fonction est dérivable sur I par opérations.

En effet : t a

22)()(tytx+, est dérivable de I dans +* comme somme de produits de fonctions de I dans

De plus

Puis : " t Î I,

22)()()(").()(").()("

Par ailleurs : " t Î I,

22)()())(").()(").((

Il est alors clair que : (

3. · Toutes les fonctions composantes de la fonction : t a

1,,,))(").()().("()(".)(",

· On montre de la même façon que :

Puis : " t Î I, " h Î , tel que :

· on conserve tous les termes C

· on conserve tous les termes C

1111))(),...,(),(.)(".),(),...,(det(e,

· on conserve moins de (n - 2) termes C

Une fois factorisées par h

2, les expressions restantes (soit q(h)) tendent vers 0 ou ont une limite finie.

Donc :

111hhhhtCtCtCtCtChtAhtA

CCCCCA

1111),...,,",,...,det())"(det(.

4. Raisonnons par l"absurde.

De cette suite, on peut en extraire une suite (x

· " n ¹ p,

· " n Î ,

0)(=nxf,

· $ a Î [a,b],

De plus : $ n

0 Î , " n ³ n0, nx¹a, et : 0)()(=--aannxfxf.

Or puisque f est dérivable en a, on a aussi :

Donc comme (x

Finalement, on a donc :

0)(")(

22=+aaff, ce qui est impossible.

5. Notons g la fonction proposée, définie donc par : " x ³ a,

On en déduit donc que :

2..2..22..2xfxfxfexfxfexfexgxxx+-£+-=---lllll, ce qui

Finalement : " x ³ a,

0)("£xg.

0)(.)(

2..2==-afeagal, elle reste négative sur [a,+¥).

Conclusion : " x ³ a,

2..2=-xfexl, soit : 0)(=xf.

6. Puisque le mouvement est circulaire on a : " t Î I,

0)(¹tOM, sinon le point est immobile en O.

Donc : " t Î I, $ l(t) Î ,

Puis : $ C Î , " t Î I,

CtOMtOMtOM==))()(()(

2, et en dérivant : 0))()(.(2=tOMtv.

Si alors

Donc : " t Î I,

0))()((=tatv.

2)(tv, est nulle puisqu"elle vaut ))()(.(2tatv.

Courbes en cartésiennes.

7. a. Cette première courbe correspond à la fonction f définie sur par : " x Î ,

32)6.()(-=xxxf.

De plus : " x Î \ {0,6},

2)6.()4.().12.3.())6.(.(31)("

34.2)4(-=f.

De plus on a en ±¥ :

2-=xy, et la courbe se situe au-dessous

¥=±®m)("lim