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connaître une estimation sans biais de l'espérance µ de la variable taille des gly- Exercice 3 Estimateur d'une proportion, pages 244 et 245 du livre « Initiation b) Calculer la moyenne empirique et l'écart-type empirique corrigé de cette

EXERCICE 1 normale de moyenne 12 mois et d'écart-type 2, 5 mois 2 3) Donner une estimation de cette proportion par un intervalle de confiance à 90 4 3) Quelle est la probabilité d'observer sur un échantillon de taille 75 un score

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Admettons que l'on veuille estimer la proportion de personnes qui remplissent leur déclaration fiscale de manière (d'après P Ardilly et Y Tillé, Exercices corrigés de méthode de sondage, Ellipses, 2003 ) On veut d'échantillonnage pdf

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On dispose d'un échantillon de taille 50 1) Quelle est la probabilité que la moyenne de l'échantillon fournisse une estimation de la moyenne de la population qui

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exercices résolus» par M ELHAFIDI et D TOUIJAR; • «Théorie des sondage: échantillonnage et estimation en populations finies» par Yves Tillé; • « Méthodes

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variance (écart-type) est faible d'où une plus grande précision dans l'estimation ( cf tableau ci-dessous colonnes 3 et 4) distribution de la variance empirique

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Ce problème fait partie de la théorie de l'estimation Souvent on s'intéresse à la valeur d'un paramètre bien précis de la loi de X, espérance, variance, proportion

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Échantillonnage et Estimation Faculté de Droit Quelle est la probabilité que la moyenne d'échantillon soit supérieur Exercices corrigés du TD 3 Solution de

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On prend un échantillon de n = 36 oeufs que l'on p`ese Exercice 2 – On suppose que le poids d'un nouveau né est une variable normale d'écart-type

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X, qui est donc admissible dans cette classe d'estimateur Exercice 4 On souhaite estimer par échantillonnage la proportion de ménages de plus de 75 ans

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Myriam Maumy-BertrandL3 Mathématiques - Étude de cas - 2014/2015T. D. n o4

Échantillonnage. Estimation d"unparamètre.

Exercice 1 Estimateur de l"espérance, page 242 du livre " Initiation à la sta- tistique avecR». Considérons le fichierMesuresqui est dans le packageBioStatR. Nous voulons connaître une estimation sans biais de l"espérancede la variabletailledes gly- cines blanches. Pour cela, suivre la démarche suivante. a) Extraire les 54 données des glycines blanches des 252 données des quatre espèces en vous servant de la commandesubset. Si vous ne savez pas vous servir de la commandesubset, alors consultez l"aide en ligne. N"oubliez pas de donner un nom à votre jeu de données qui provient de l"extraction. b) Calculer une estimation de l"espérance de la variabletailledes glycines blanches en vous servant de la commandemean. c) Conclure. Exercice 2 Estimateurs de la variance, pages 243 et 244 du livre " Initiation à la statistique avecR». Considérons le fichierMesuresqui est dans le packageBioStatR. Nous voulons connaître une estimation de la variance2de la variabletailledes glycines blanches dont l"espérance est inconnue. Pour cela, suivre la démarche suivante. a) Extraire les 54 données des glycines blanches des 252 données des quatre espèces en vous servant de la commandesubset. Si vous ne savez pas vous servir de la commandesubset, alors consultez l"aide en ligne. N"oubliez pas de donner un nom à votre jeu de données qui provient de l"extraction. b) Calculer une estimation biaisée de la variance de la variabletailledes gly- cines blanches en vous servant de la commandevaretlength. c) Calculer une estimation non biaisée de la variance de la variabletailledes glycines blanches en vous servant de la commandevar. d) Conclure. Exercice 3 Estimateur d"une proportion, pages 244 et 245 du livre " Initiation

à la statistique avecR».

Considérons le fichierMesuresqui est dans le packageBioStatR. Nous voulons connaître une estimation sans biais de la proportion des gousses de glycine blanche qui ont moins de trois graines présentes dans une gousse. Pour cela, suivre la dé- marche suivante. 1

Myriam Maumy-BertrandL3 Mathématiques - Étude de cas - 2014/2015a) Extraire les 54 données des glycines blanches des 252 données des quatre

espèces en vous servant de la commandesubset. Si vous ne savez pas vous servir de la commandesubset, alors consultez l"aide en ligne. N"oubliez pas de donner un nom à votre jeu de données qui provient de l"extraction. b) Calculer une estimation de la proportion des gousses de glycine blanche qui ont moins de trois graines présentes dans une gousse en vous servant de la commandecumsumettable. c) Conclure.

Exercice 4La masse d"un oeeuf.

Dans un centre avicole, des études antérieures ont montré que la masse d"un oeuf choisi au hasard peut être considérée comme la réalisation d"une variable aléatoire normaleX, de moyenneet de variance2. Nous admettons que les masses des oeufs sont indépendantes les unes des autres. Nous prenons un échantillon den= 36oeufs que nous pesons. Les mesures sont données (par ordre croissant) dans le tableau suivant :

50;34 52;62 53;79 54;99 55;82 57;67

51;41 53;13 53;89 55;04 55;91 57;99

51;51 53;28 54;63 55;12 55;95 58;10

52;07 53;30 54;76 55;24 57;05 59;30

52;22 53;32 54;78 55;28 57;18 60;58

52;38 53;39 54;93 55;56 57;31 63;15

a) Tracer la boîte à moustaches et l"histogramme correspondant à cette série de mesures. b) Calculer la moyenne empirique et l"écart-type empirique corrigé de cette série statistique. c) Donner une estimation des paramètreset2. Exercice 5 Les fêtes de fin d"année et les kilos en trop. D"après un exa- men. Monsieur A vient de passer les fêtes de fin d"année et souhaite se peser pour voir son poids. Pour cela, Monsieur A dispose de trois balances : a) La première balance fournit un poids, notéX, sans biais mais avec une erreur de mesure de variance4kg2. b) La deuxième balance a été récemment déréglée, et elle fournit un résultat biaisé, notéY: elle surévalue le vrai poids deBkg en moyenne. La variance de son résultat est de 1 kg 2. c) La troisième balance fournit un résultat sans biais, notéZ, de variance 10 kg 2. 2

Myriam Maumy-BertrandL3 Mathématiques - Étude de cas - 2014/2015Monsieur A se pèse une fois sur chaque balance. Nous supposons que les trois ba-

lances donnent des résultats indépendants.

SoitPle vrai poids de Monsieur A.

Nous notonsEQM(T)l"erreur quadratique moyenne obtenue avec un estimateurT, et nous dirons qu"un estimateurFest meilleur qu"un estimateurGsi

EQM(F)< EQM(G):

a) Quelle(s) est (sont) la (les) proposition(s) ou expression(s) exacte(s)? (i)EQM(X) = 16 (ii)EQM(Y) =B2+ 1 (iii)EQM(Z) = 100 (iv)Xest meilleur queZpour estimerP, le vrai poids de Monsieur A. (v) SiB <1;5alorsYest meilleur queX. b) Nous supposons pour la suite de l"exercice queB= 2.

Nous construisons de nouveaux estimateurs :

(i)Y0=Y2 (ii)T1= 0;5X+ 0;5Y0 (iii)T2= 0;4X+ 0;4Y0+ 0;2Z. Si nous ordonnons les estimateurs du meilleur au moins bon, quel est le bon ordre pour ces estimateurs? c) Nous cherchons à construire le meilleur estimateur possible avecXetY0, c"est-à-dire celui qui aura la plus petite erreur quadratique moyenne, parmi les estimateurs de la forme : T

3=aX+ (1a)Y0;

avec0< a <1. Est-ce queT3est un estimateur sans biais deP? Que vaut l"EQMdeT3? d) Pour trouverT3, nous allons chercher le minimum deEQM(T3)en fonction dea, en dérivantEQM(T3)par rapport àa. Soit~ala valeur deatelle queEQM0(T3) = 0. En se pesant avec les deux premières balances, Monsieur A a observé les poids suivants : x= 85kg; y= 82kg:

Pour ces deux valeurs, que valent~aett3?

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