Ce problème fait partie de la théorie de l'estimation Souvent on s'intéresse à la valeur d'un paramètre bien précis de la loi de X, espérance, variance, proportion
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EXERCICE 1 normale de moyenne 12 mois et d'écart-type 2, 5 mois 2 3) Donner une estimation de cette proportion par un intervalle de confiance à 90 4 3) Quelle est la probabilité d'observer sur un échantillon de taille 75 un score
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Admettons que l'on veuille estimer la proportion de personnes qui remplissent leur déclaration fiscale de manière (d'après P Ardilly et Y Tillé, Exercices corrigés de méthode de sondage, Ellipses, 2003 ) On veut d'échantillonnage pdf
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On dispose d'un échantillon de taille 50 1) Quelle est la probabilité que la moyenne de l'échantillon fournisse une estimation de la moyenne de la population qui
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variance (écart-type) est faible d'où une plus grande précision dans l'estimation ( cf tableau ci-dessous colonnes 3 et 4) distribution de la variance empirique
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Ce problème fait partie de la théorie de l'estimation Souvent on s'intéresse à la valeur d'un paramètre bien précis de la loi de X, espérance, variance, proportion
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Échantillonnage et Estimation Faculté de Droit Quelle est la probabilité que la moyenne d'échantillon soit supérieur Exercices corrigés du TD 3 Solution de
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On prend un échantillon de n = 36 oeufs que l'on p`ese Exercice 2 – On suppose que le poids d'un nouveau né est une variable normale d'écart-type
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X, qui est donc admissible dans cette classe d'estimateur Exercice 4 On souhaite estimer par échantillonnage la proportion de ménages de plus de 75 ans
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connaître une estimation sans biais de l'espérance µ de la variable taille des gly- Exercice 3 Estimateur d'une proportion, pages 244 et 245 du livre « Initiation b) Calculer la moyenne empirique et l'écart-type empirique corrigé de cette
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![[PDF] Échantillonnage et estimation - LMPA [PDF] Échantillonnage et estimation - LMPA](https://pdfprof.com/Listes/27/23267-27probas-chapitre3.pdf.pdf.jpg)
Chapitre3
Échantillonnageetestimation
3.1Introduc tion
Lathéoriedel'éch antillonnageétudielesliensent reunepopu lationetdeséch antillonsdecet tepopu-
lation.Àpartird'inform at ionsrelativesàlaloi d'unevariableXpourunepopu lationdon née,onendéduit
lecompo rtementd'échantillonsaléatoir essimplesrelatifsàcettevariable.Danslaprati quec'est leproblèmeinversequisepos e.Engénéralo nnecon naîtpaslaloideX,on neconna ît
pastouss esparamètreseto nsouha iteobtenirdesinformationsàpa rt irdel' observationd'unéchantillo n.
Cepr oblèmefaitpartiedelathéoriedel'es timation.Souventons'intéresse àlaval eurd'unparamètrebienprécisdelal oid eX,esp érance,variance,propor tion.
Cepa ramètrenoté!estappel éparamètred'intérêt,c'es tunnombre dontla valeurestinconnue.On
chercheàévaluercenomb reà partirdel'obser vat iond'unéchantillon. Àp artirdesdonnéesdel'ob servat ion
d'unéchantil lon,ondétermineunevaleurnumérique !qu'onappelleestimationponctu elledupara- mètred' intérêt. Onpeuta ussidéfini runintervalledeconfianc ec'est-à-diredéterminerunintervalle[! 1 2 ]quicontien t lavrai evaleurduparamèt re!inconnuavecunegrand eprobabil itéfixéeàp riori.Exemple3.1.1 Onveutes timerl'esp érancemathématique delavariableX,"n otedesétudiantsà l'exa-
men",vérifiant X!N(m,").On prélève 50copiesdanslapop ulatio n,onlescorrig e,onobtient50n otes
x 1 ,x 2 ,...,x 50eton détermin elamoyennedecetéchantill onx= x 1 +x 2 +...+x 50
50
,on obtient 9,1.Intui- tivementonpeutestimermpar9,1.On ditq ue9,1estunees timation ponctuelledem.On remarq uequesi onavai tprisunautreéch antillon,l' estimat ionseraitdi
érente.Onpourr aitaus siconclurequelamoyenne
mappartiendraitàl'intervalle[8,4;9,8]avecunepr obabilité de0,9parexemple.L'intervalle[8,4;9,8]est
alorsunintervall edecon fianceaurisqued'erreur0,1.3.2Estima tionponctuelle
3.2.1In troduction
L'ensembledeshypothèsesrelati vesaupr oblèmed'estimationdepara mètreestappelémodèlestatis-
tique.Cel ui-cicomprend: - deshypo thèsesrelativesàlaloidelava riableX,pa rexempleX!N(m,"),met"étantinconnus , ouXsuituneloiin connue.Lep aramètre!doitêtredéfini ,parexemple !=E(X),!="(X),!=p. Onécrira X!l(x,!)oùxestlaréa lisat iondeX. 4142CHAPITRE3.ÉCHANTILLONN AGEETE STIMATION
- Lamétho dedeconstructionde l'échan tillondoitêtreprécisée,échantillonaléa toires impleparexemple.
Onn'ut iliseradanscecoursquedeséchantill onsaléatoires sim ples.Rappelsurlechoi xd'unéchan tillon :Les échant illonsétudiéssonttousaléatoires,lehasar dintervientdans
lechoi xdeleurséléments.Cepen dantd euxprocéduresson tpossiblespourconst ruireunéchantillon aléatoire:
- échantillonnonexhaustif:pourcons truireunéc hantillondetaillen,on procède parntiragesau hasardavecremise(rem isedel'i ndividudanslapopul ationaprèschaqueti rage),- échantillonexhaustif:pourconstru ireunéchantillondetaille n,on procèd eparntiragesauhasard
sansremiseoup arletiragesimu ltanéd enindividus. Silapo pulati onesttrèsgrande,onpeutconsidérerunéch antil lonexhaust ifcommenonexhaustif. Rappelsurleséchan tillonsa léatoiresi mples:On considèr el'exemplesuivant.Exemple3.2.1Considéronsunéconomistechargéd eréali serunétudedemarchépourune entreprisequi
souhaitelancerunenouvelle marquedefromage. Ilcommencepa ranalyserlaconsommatio ndefromageenFrance.Ildoitréali seruns ondageetdemand erauxpersonnesinterro géescomb iendefoisellesontconsommé
defroma gelasemainedernière.L aconsom mationdefromageestex trêmementvariableetin certaine. Cer-
tainesn'enmangent jamais,d'a utresenmangentplusieu rsfoisparjour.Onado ncungrandnombrederéalisationspossibles.Àchacunedecesr éalisationspotentiellesestassoci éeun eprobabilité,lacons ommati on
hebdomadairedefromageestdoncunevari ableal éatoire.NotonsXlaquan titéconsomméeetplusprécisé-
mentlenom bredefo isparsemainequ'uni ndivid umangedufr omage.Cett evariableXaunedistributiondeprob abilité,uneloiqu'onnotel(x).L' espéranceetlavariancedeXsontdeuxpara mètresdecette loi.
X!l(x,m,")avecm=E(X)et"="(X).Àpriori,laloideX,met"sontinconnus. Considéronsunprélévementauhasarddenindividusavecremisedanslapop ulation.O bserverlesquantit ésconsommées
defroma gepourcesnindividusrevientàobserverlaréal isationdelavar iab leXpourcesnindividus, choisisauhasard,indépen dammen tlesunsdesautresetavecrem ise.Lesconsommationsdecesnindividus peuventêtreconsidéréescom menvariablesaléatoiresX 1 ,X 2 ,...,X n indépendantesetdemêmeloiqueX c'est-à-direl(x,m,").Lesnvariablesaléatoiresindépendant esX
1 ,X 2 ,...,X n constituentunéchantillonaléato iresim pledela variableXsietseu lements i E(X 1 )=E(X 2 )=...=E(X n )=E(X)=m, "(X 1 )="(X 2 )=...="(X n )="(X)=". Unefoiscesnpersonnesinterrogées,ond isposedenvaleursnumériquesdesq uantitésconsommées.Onappellecesnvaleursnumériquesobser vationsouencoreréalisation s.Cesontdesnombresréelsqu'onnotera
x 1 ,x 2 ,...,x n Onconsi dèredoncunmodèlestatis tiqueX!l(x,!)etun échanti llonaléatoiresimpleX 1 ,X 2 ,...,X nOnrecher cheunestatistiquefonct iondesvari ablesX
1 ,X 2 ,...,X n susceptibledefournirlameilleure esti- mationpossibledup aramètred'intérêt.Cettestat istiqu eestappeléeestimateur.X!l(x,m)
X 1 ,X 2 ,...,X n x 1 ,x 2 ,...,x n Remarque3.2.1Danslecasdela variab le"no te",onp ourrai tprendrecommeestimationdem: x 1 +x 50quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3