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3, dont par exemple (v2, v3, v4) est une base, avec v2 = (1, 4, 0, 0) comme somme d'une matrice diagonalisable et d'une matrice nilpotente Autrement dit 

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PARTIE I : Exemples de matrices nilpotentes a) On vérifie facilement que A2 = B2 = 0, de sorte que A et B sont nilpotentes d'indice 2 b) On obtient facilement :

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2 avr 2019 · nilpotente est semblable à une matrice triangulaire à diagonale nulle Q 17 Démontrer que, si est une matrice nilpotente d'indice , alors 

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On peut par exemple prendre une base dans laquelle la matrice de u est tri- Si une matrice est nilpotente, sa seule valeur propre est 0, quel que soit le corps

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exemples), il faut donner des caractérisations (polynôme caractéristique, polynôme minimal, 0 est la seule valeur propre, dans une base sa matrice est 

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3 jui 2017 · Def : On définit J (E) l'ensemble des endomorphismes nilpotents de E – Exemple de matrice nilpotente – Pro : Si f est nilpotent d'indice r alors 

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Réciproquementv : Toute matrice nilpotente est semblable à une matrice triangulaire stricte - Exemple : Calculer les puissances successives de T =

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c Donner un exemple de deux matrices nilpotentes de taille 2 dont la somme n' est pas nilpotente A 5 Montrer que exp(J) − In est une matrice nilpotente de 

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3°) Construction d'une base adaptée à un endomorphisme nilpotent : cas où n=3a) Si f est nilpotent d'indice p=3 et si f2He1L¹0, il résulte de la question 2 que la familleIf2He1L,fHe1L,e1M est libre, et donc forme une base de R3.Dans cette base, la matrice de f est la suivante, triangulaire avec des zéros sur la diagonale :M=010001000.b) Si f est nilpotent d'indice 2, on a f2=fÎf=0, donc ImHfLÕKerHfL. Il en résulte que dimHImHfLL§dimHKerHfLL, et comme f est non nul (sinon il serait nilpotentd'indice 1), on a plus précisément 1§dimHImHfLL§dimHKerHfLL. Comme le théorème du rang donne dimHImHfLL+dimHKerHfLL=3, l'unique possibilité estd'avoir dimHImHfLL=1 et dimHKerHfLL=2.Comme f2He1L=0, on voit que fHe1L eKerHfL et comme c'est un vecteur non nul de KerHfLon peut compléter fHe1L en base de KerHfL à l'aide d'un second vecteur e3.Montrons maintenant que la famille HfHe1L,e1,e3L est libre.Partons d'une combinaison linéaire nulle : afHe1L+be1+ge3=0.Comme f2=0, on a bfHe1L=0 en composant par f, et comme fHe1L¹0, on a b=0.Il reste donc afHe1L+ge3=0 et comme il s'agit d'une base de KerHfL, donc d'une famillelibre, on obtient a=g=0.Ainsi, la famille HfHe1L,e1,e3L est libre, et donc forme une base de R3.Dans cette base, la matrice de f est la suivante, triangulaire avec des zéros sur la diagonale :M=010000000.4°) Construction d'une base adaptée à un endomorphisme nilpotent : cas généralOn considère dans cette question un endomorphisme nilpotent f d'indice p de Rn. a) Lorsque xeKerIfk-1M, on a fk-1HxL=0, donc fkHxL=0, donc xeKerIfkM.Pour 1§k§p, on a donc l'inclusion KerIfk-1MÕKerIfkM.De plus, le vecteur fp-kHe1L appartient à KerIfkM car fkIfp-kHe1LM=fpHe1L=0.Mais il n'appartient pas à KerIfk-1M car fk-1Ifp-kHe1LM=fp-1He1L¹0.Ainsi, l'inclusion du sous-espace KerIfkM dans le sous-espace KerIfk-1M est stricte.b) Si xeKerIfkM, on a fkHxL=0, donc fk-1HfHxLL=0, donc fHxL eKerIfk-1M.Ainsi, l'image par f du sous-espace KerIfkM est incluse dans KerIfk-1M.c) On considère une base 1 de KerHfL. Comme KerHfL est strictement inclus dans KerIf2Mon peut compléter la famille libre 1 en base de KerIf2M à l'aide d'une famille 2.Plus généralement, supposons que 1'...'k-1 est une base de KerIfk-1M. CommeKerIfk-1M est strictement inclus dans KerIfkM, on peut compléter de même la famille libre1'...'k-1 en base de KerIfkM à l'aide d'une famille k.Ainsi donc, 1'2'...'p forme une base de KerHfpL=Rn.d) Comme l'image par f du sous-espace KerIfkM est incluse dans le sous-espace KerIfk-1M,les vecteurs de 1 ont une image nulle, ceux de 2 ont une image dans KerHfL=VectH1L,et à la fin, ceux de p ont une image dans KerIfp-1M=VectI1'...'p-1M, de sorteque la matrice par blocs de f dans la base 1'2'...'p s'écrit comme suit :6

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