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3, dont par exemple (v2, v3, v4) est une base, avec v2 = (1, 4, 0, 0) comme somme d'une matrice diagonalisable et d'une matrice nilpotente Autrement dit
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PARTIE I : Exemples de matrices nilpotentes a) On vérifie facilement que A2 = B2 = 0, de sorte que A et B sont nilpotentes d'indice 2 b) On obtient facilement :
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2 avr 2019 · nilpotente est semblable à une matrice triangulaire à diagonale nulle Q 17 Démontrer que, si est une matrice nilpotente d'indice , alors
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On peut par exemple prendre une base dans laquelle la matrice de u est tri- Si une matrice est nilpotente, sa seule valeur propre est 0, quel que soit le corps
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exemples), il faut donner des caractérisations (polynôme caractéristique, polynôme minimal, 0 est la seule valeur propre, dans une base sa matrice est
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3 jui 2017 · Def : On définit J (E) l'ensemble des endomorphismes nilpotents de E – Exemple de matrice nilpotente – Pro : Si f est nilpotent d'indice r alors
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Réciproquementv : Toute matrice nilpotente est semblable à une matrice triangulaire stricte - Exemple : Calculer les puissances successives de T =
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DM de MPSI2
Devoir non surveille
Probleme { D'apres E3A PSI 2007
Dans tout le probleme,nest un entier naturel superieur ou egal a 2 etMn(C) designe l'espace vectoriel des
matrices carrees d'ordrena coecients complexes. GLn(C) est le groupe des matrices inversibles deMn(C). La matrice unite de cet espace sera noteeInet la
matrice nulle 0 n.On note (e1;:::;en) la base canonique deE=Cn.
Sivest un endomorphisme deE, on rappelle que :
{v0est l'endomorphisme unite (i.e.v0= IdE). {8m2N; vm+1=vvm. L'endomorphismevsera ditnilpotents'il existe un entierr2Ntel quevr= 0 (endomorphisme nul deE).On denit de m^eme une matrice nilpotente.
On noteJla matrice carree d'ordrendont tous les coecients sont nuls, sauf ceux en position (i;i+1), qui
valent 1 (i2[[1;n1]]). Etant donne une matrice nilpotenteN, on appelleexponentielledeNet on note exp(N) la matriceX k>0N kk!.Partie A { Quelques proprietes deJ
A.1Determiner le rang deJ.
A.2 aDeterminerJkpourk2N. bVerier que toutes les puissances deJ{ sauf celle d'exposant 0 { sont nilpotentes.A.3Calculer exp(J).
A.4 aMontrer que toute combinaison lineaire de deux matrices nilpotentes qui commutent est encore une matrice nilpotente. bGeneraliser (rapidement) ce dernier resultat. cDonner un exemple de deux matrices nilpotentes de taille 2 dont la somme n'est pas nilpotente. A.5Montrer que exp(J)Inest une matrice nilpotente de rangn1. Partie B { Quelques resultats sur les noyaux iteres d'un endomorphismeSoituun endomorphisme deE.
B.1Prouver que pour tous entiers naturelsietj, Ker(ui)Ker(ui+j). B.2Pour toutm2N, on notetm= dim(Ker(um)). Prouver l'existence de r= inffm2N;tm=tm+1g:B.3Montrer que :
aPour tout entier naturelm, tel quem < r, Ker(um) est strictement inclus dans Ker(um+1). bKer(ur) = Ker(ur+1). cPour tout entierm>r, Ker(um) = Ker(um+1). Partie C { Recherche des endomorphismes nilpotents de rangn1 SoitVune matrice deMn(C) de rangn1 et veriantVn= 0n. On notevl'endomorphisme deE canoniquement associe aV. C.1Soientpetqdeux entiers naturels etwla restriction devqa=(vp). aDeterminer=(w). bProuver que Ker(w)Ker(vq). cVerier alors que l'on a dim(Ker(vp+q))6dim(Ker(vp)) + dim(Ker(vq)): dEn deduire que pour touti2[[1;n]], dim(Ker(vi))6i. eDemontrer qu'en fait dim(Ker(vi)) =i, pour touti2[[1;n]].C.2Prouver alors quevn16= 0.
C.3En deduire qu'il existe un vecteuredeEtel que
B1= (vn1(e);:::;v(e);e)
soit une base deE. C.4Ecrire la matrice devdans cette base.
C.5Montrer que siuetvsont deux endomorphismes nilpotents deCnde rangn1,BetCsont des bases deCn, alorsMB(u) etMC(v) sont semblables. Partie D { Exponentielles des matrices nilpotentes en basse dimension On dit qu'une matriceM2 Mn(C) estunipotentesiMInest nilpotente. D.1Montrer que l'exponentielle d'une matrice nilpotente est unipotente. D.2SoitN2 Mn(C) une matrice nilpotente etP2GLn(C). Montrer queP1NPest nilpotente, et que exp(P1NP) =P1exp(N)P:D.3SoitM2 M2(C). Montrer queMest unipotente si et seulement si elle est l'exponentielle d'une matrice
nilpotente. Indication :discuter selon le rang de la matrice nilpotenteMI2.