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MATRICES

EXERCICES CORRIGES

Exercice n°1.

On considère la matrice

1 6 8 4

0 7 3 11

22 17 0,1 8

A-

1) Donner le format de A

2) Donner la valeur de chacun des éléments

14a , 23a , 33a et 32a

3) Ecrire la matrice transposée

tA de A et donner son format

Exercice n°

2.

Soit la matrice

5 ... 7

... 9 ...

8 ... 0

7 1 3 A

1) Compléter l"écriture de A de format

4 3´ avec : 325a= , 234a= - , 218a= et 1211a=

2) Ecrire la matrice transposée tA de A et donner son format

Exercice n°

3.

1) Donner une matrice dont la transposée est égale à son opposée.

2) Donnez la matrice A telle que pour tout indice i et j avec, 1 3i£ £ et 1 3j£ £, le terme ija soit donné par la

formule

2ija i j= -

Exercice n°

4.

On donne

2 5

3 1A( )=( )-( )

et 7 2

1 3B( )=( )- -( )

Calculez

A B+ , A B- , 3A , 4B , 3 4A B-

Exercice n°

5.

On donne

5 0 2 xA x et 7 1 3 yB y

1) Trouver x et y pour que 4 12

1 17A B( )+ =( )-( )

2) Trouver x et y pour que 5 182 44 16A B- -( )- =( )-( )

Exercice n°

6. On considère les matrices A, B et C définies par 1 3 4 2 0 7 A 2 0 2 1 8 1 B- et 4 6 14 7 24 17
C-

Trouver deux réels x et y tels que

xA yB C+ =.

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Exercice n°7.

Effectuer les produits suivants lorsque c"est possible. Lorsque c"est impossible, dire pourquoi. a)

2 52 53 64 64 7( )

b)

2 52 53 64 64 7

c) 0 1 6

1 4 5 2 4 2

3 5 3 d)

2 5 0 1 1

3 6 3 2 0

4 1 2 3 5

e)

1 1 2 5

2 0 3 6

3 5 4 1

f)

1 0 5 2 7 8

2 1 6 0 2 3

3 4 7 4 5 6

Exercice n°8.

Calculer, puis comparer les produits

A B´ et B A´

a) 1 8

2 11A-( )=( )( )

et 4 2

5 8B( )=( )-( )

b) 4 8

1 2A( )=( )( )

et 3 9

1 1B( )=( )( )

c) 2 1

1 1A( )=( )( )

et 5 2

2 3B( )=( )( )

Exercice n°9.

Dans chacun des cas, calculer les produits

A B´ et B A´. Quelle particularité présente-t-il ? a) 6 12

3 6A-( )=( )-( )

et 12 6

6 3B( )=( )( )

b) 2 4

1 2A( )=( )- -( )

et 0 2

0 1B( )=( )-( )

Exercice n°10.

On considère la matrice A définie par

1 2 3 xA( )( )( )= où x est un réel.

Déterminer x pour que

26 1

2 11A( )( )( )( )=

Exercice n°11.

Calculez et comparez

2 22A AB B+ + et ( )

2A B+ avec : 4 8

1 2A( )=( )( )

et 3 9

1 1B( )=( )( )

Exercice n°12.

Soit les deux matrices

1 1

5 6A( )=( )( )

et 21 0

0 1I( )=( )( )

On se propose de rechercher s"il existe une matrice a b c d telle que 2a bA Ic d

1) Traduire cette égalité par un système de quatre équations à quatre inconnues

2) Résoudre ce système

3) Pour les valeurs trouvées

a,b,c, et d , on pose 1a bAc d

Vérifier que

1 1

2A A A A I- -´ = ´ =

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Exercice n°13.

Définir pour chaque système la matrice A et le vecteur colonne C tels que le système donné soit équivalent à

l"égalité matricielle

A X C´ =

1) 5 3 2 5 x y x y- + =?

2) 2,23 5,5 12

0,2 7 x y x y- =? 3) 3 2 7 5 8

3 7 22

x y z x y z x y z- + = 4) 3 15 7 12 25
x y y z x y- =? 5) 5 2 x y z y z+ + = -?

6) 3 6 31

7 2 27

x y x z y z x y+ = + +?

Exercice n°14.

On considère la matrice

3 10

2 8A-( )=( )-( )

1) A l"aide de la calculatrice, donner la matrice inverse

1A- (mettre les coefficients sous forme fractionnaire)

2) En déduire la résolution des systèmes suivants :

a)

3 10 4

2 8 7 x y x y- =? b) 3 10 1,5

2 8 0,4

x y x y- =? c) 3 10 15 2 8 5 x y x y- =? d) 3 10 1,25

2 8 0,5

x y x y- =?

Exercice n°

15.

1) On considère le système

2 3 2 x y z a x y z b x y z c où x,y,z,a,b et c sont des nombres réels. Exprimer les nombres réels x,y et z en fonction de a,b et c

2) On considère la matrice

1 1 1 2 1 3 1 1 2 A Montrer que la matrice A ,est inversible et donner l"expression de 1A-

Exercice n°

16.

On suppose que

a bAc d où a,b,c et d sont des réels tels que 0ad bc- ¹

1) Trouver en fonction de a,b,c et d les réels x,y,t et t tels que : 1 0

0 1 x yAz t( ) ( )´ =( ) ( )( ) ( )

2) Vérifier que A admet pour matrice inverse : 11d bAc aad bc

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