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Université Joseph Fourier, Grenoble I

Mathématiques, Informatique et Mathématiques Appliquées Licence Sciences et Technologies1eannéeCalcul matriciel

Bernard Ycart

Ce chapitre est essentiellement technique et ne requiert pas d"autre connaissance théorique que celle des espaces vectoriels de dimension finie. Vous y apprendrez les manipulations élémentaires de matrices, qui ne devraient pas vous poser de problème si vous avez bien compris la résolution des systèmes linéaires.

Table des matières

1 Cours 2

1.1 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Matrices et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Rang d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Calcul de l"inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Entraînement 17

2.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Compléments 30

3.1 Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Décomposition LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Maths en L

1gneCalcul matricielUJF Grenoble1 Cours

1.1 Opérations sur les matrices

Etant donnés deux entiersmetnstrictement positifs, unematrice àmlignes etn colonnesest un tableau rectangulaire de réelsA= (ai,j). L"indice de ligneiva de1à m, l"indice de colonnejva de1àn.

A= (ai,j) =(

(((((((a a a m,1···am,j···am,n) Les entiersmetnsont lesdimensionsde la matrice,ai,jest soncoefficient d"ordre (i,j). L"ensemble des matrices àmlignes etncolonnes et à coefficients réels est noté M m,n(R). Ce qui suit s"applique aussi, si on remplaceRparC, à l"ensemble des matrices

à coefficients complexes.

L"ensembleMm,n(R)est naturellement muni d"une addition interne (on peut ajou- ter deux matrices de mêmes dimensions terme à terme) et d"une multiplication externe (on peut multiplier une matrice par un réel terme à terme). •Addition :SiA= (ai,j)etB= (bi,j)sont deux matrices deMm,n(R), leur somme

A+Best la matrice(ai,j+bi,j). Par exemple :

(1 1 2 3 1-1) (-3 1 5-3 0 2) (-2 2 7 0 1 1) •Multiplication externe :SiA= (ai,j)est une matrice deMm,n(R), etλest un réel, le produitλAest la matrice(λai,j). Par exemple : -2( (1 1 2 3 1-1) (-2-2 -4-6 -2 2) Observons que les opérations auraient le même effet si les matrices étaient disposées comme desmn-uplets de réels (toutes les lignes étant concaténées par exemple). Donc M m,n(R), muni de son addition et de sa multiplication externe, est un espace vectoriel, isomorphe àRmn. Labase canoniquedeMm,n(R)est formée des matrices dont tous les coefficients sont nuls, sauf un qui vaut1. L"opération la plus importante est leproduit matriciel. 2

Maths en L

1gneCalcul matricielUJF GrenobleDéfinition 1.Soientm,n,ptrois entiers strictement positifs. SoitA= (ai,j)une

matrice deMm,n(R)et soitB= (bj,k)une matrice deMn,p(R). On appelleproduit matricieldeAparBla matriceC? Mm,p(R)dont le terme généralci,kest défini, pour touti= 1,...,met pour toutk?1,...,ppar : c i,k=nquotesdbs_dbs7.pdfusesText_5