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Exercice 9 : Dans , on définit une relation en posant pour tout ( ) : 1 Montrer que est une relation d'ordre partiel 

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Exercice 1 Dire si chacune des relations ci-dessous est réflexive, symétrique, Soit x ∈ R Par définition, la classe d'équivalence de x, notée Cl(x), est l' 

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Déterminer la classe d'équivalence de z ∈ C Exercice 2 Soit R une relation binaire sur un ensemble E, symétrique et transitive Que penser du raisonnement  

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Donc, R est réflexive et est, par conséquent, une relation d'équivalence Heumez, G Huvent, Toutes les mathématiques – Cours, exercices corrigés – MPSI,

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1 Exercice corrigé en amphi 고 est une relation binaire sur un ensemble E Ecrire ce que signifie : (a) 고 n'est 

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25 sept 2018 · 3) Montrer que R est une relation d'équivalence 4) Préciser, pour x ∈ R, le nombre d'éléments dans x, classe de x modulo R Exercice 9

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Corrigé du DST Exercice 1 Exercice 2 On consid`ere la relation binaire ≈ sur R, définie par : Montrer que la relation ≈ est une relation d'équivalence

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Exercice n◦3 Soient E un ensemble et A ∈ P(E) ; on définit sur P(E) la relation R par XRY si X ∩ A = Y ∩ A Montrer que c'est une relation d'équivalence

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2 1 6 Exercices sur les ensembles 3 2 Relation d'équivalence NOTIONS DE LOGIQUE MATHÉMATIQUE Corrigés Corrigé 1 5 1 (1) (n = 2) ∧ (n pair) 

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Déterminer la classe d'équivalence de z ∈ C Exercice 4 Soit R une relation binaire sur un ensemble E, symétrique et transitive Que penser du raisonnement  

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Biblioth`eque d"exercices

´Enonc´es

L1Feuille n◦4Relation d"´equivalence, relation d"ordre

1 Relation d"´equivalence

Exercice 1DansCon d´efinit la relationRpar :

zRz?? |z|=|z?|.

1. Montrer queRest une relation d"´equivalence.

2. D´eterminer la classe d"´equivalence dez?C.

Exercice 2SoitRune relation binaire sur un ensembleE, sym´etrique et transitive. Que penser du raisonnement suivant? "xRy?yRxcarRest sym´etrique, or (xRyetyRx)?xRxcarRest transitive, doncRest r´eflexive." Exercice 3Montrer que la relationRd´efinie surRpar : xRy??xey=yex

est une relation d"´equivalence. Pr´eciser, pourxfix´e dansR, le nombre d"´el´ements de la classe

dexmoduloR.

2 Relation d"ordre

Exercice 4Soit (E,?) un ensemble ordonn´e. On d´efinit surP(E)\ {∅}la relationRpar XRYssi (X=You?x?X?y?Y x?y). V´erifier que c"est une relation d"ordre. 1

Biblioth`eque d"exercicesIndications

L1Feuille n◦4Relation d"´equivalence, relation d"ordre Indication 1Un dessin permettra d"avoir une bonne id´ee de ce qui se passe... Indication 2Il faut trouver l"erreur dans ce raisonnement, car bien sˆur s"il y a trois axiomes pour la d´efinition d"une relation d"´equivalence, c"est que deux ne suffisent pas! Indication 31. Pour la transitivit´e on pourra calculerxyez.

2. Poser la fonctiont?→te

t, apr`es une ´etude de fonction on calculera le nombre d"ant´ec´edents possibles. 1

Biblioth`eque d"exercicesCorrections

L1Feuille n◦4Relation d"´equivalence, relation d"ordre Correction 11. Soitz,z?,z??des complexes quelconques. •Reflexivit´e :zRzcar|z|=|z|. •Sym´etrie :zRz??z?Rzcar|z|=|z?|et donc|z?|=|z|. •Transitivit´e :zRz?etz?Rz??alors|z|=|z?|=|z??|donczRz??. En fait, nous avons juste retranscrit que l"´egalit´e = est une relation d"´equivalence.

2. La classe d"´equivalence d"un pointz?Cest l"ensemble des complexes qui sont en relation

avecz,i.e.l"ensemble des complexes dont le module est ´egal `a|z|. G´eom´etriquement la classe d"´equivalence dezest le cerlceCde centre 0 et de rayon|z|.

C={|z|eiθ/ θ?R}.

Correction 2Le raisonnement est faux.

L"erreur est due au manque de quantification. En effet, rien ne prouve que pout toutxun tel

yexiste. Il peut exister un ´el´ementxqui n"est en relation avec personne (mˆeme pas avec lui).

Correction 31. - Reflexivit´e : Pour toutx?R,xex=xexdoncxRx. - Sym´etrie : Pourx,y?R, sixRyalorsxey=yexdoncyex=xeydoncyRx. - Transitivit´e : Soientx,y,z?Rtels quexRyetyRz, alorsxey=yexetyez=zey.

Calculonsxyez:

xye z=x(yez) =x(zey) =z(xey) =z(yex) =yzex. Doncxyez=yzex. Siy?= 0 alors en divisant paryon vient de montrer quexez=zex doncxRzet c"est fini. Pour le casy= 0 alorsx= 0 etz= 0 doncxRz´egalement.

2. Soitx?Rfix´e. On noteC(x) la classe d"´equivalence dexmoduloR:

C(x) :={y?R|yRx}.

Donc

C(x) ={y?R|xey=yex}.

Soit la fonctionf:R→Rd´efinie par

f(t) =te t. Alors

C(x) ={y?R|f(x) =f(y)}.

Autrement ditC(x) est l"ensemble desy?Rqui parfprennent la mˆeme valeur que f(x) : en raccourci :

C(x) =f-1(f(x)).

Etudions maintenant la fonctionfafin de d´eterminer le nombre d"ant´ec´edents : par un calcul def?on montrer quefest strictement croissante sur ]- ∞,1] puis strictement 1 d´ecroissante sur [1,+∞[. De plus en-∞la limite defest-∞,f(1) =1e , et la limite en +∞est 0.

C"est le moment de dessiner le graphe def!!

Pourx >0 alorsf(x)?]0,1e

] et alorsf(x) a deux ant´ec´edents. Pourx?0 alorsf(x)? ]- ∞,0] et alorsf(x) a un seul ant´ec´edent. Bilan : six >0 alors CardC(x) = Cardf-1(f(x)) = 2, six?0 alors CardC(x) =

Cardf-1(f(x)) = 1.

Correction 4- Reflexivit´e : pour toutX? P(E) on aXRXcarX=X. - Anti-sym´etrie : pourX,Y? P(E) tels queXRYetYRX, alors par d´efinition deRon a ?x?X?y?Y x?yety?x. Comme la relation?est une relation d"ordre alorsx?yety?ximpliquex=y. Donc ?x?X?y?Y x=y, ce qui implique queX=Y(dans ce cas en faitXest vide ou un singleton). - Transitivit´e : soitX,Y,Z? P(E) tels queXRYetYRZ. SiX=YouY=Zalors il est clair queXRZ. Supposons queX?=YetY?=Zalors ?x?X?y?Y x?yet?y?Y?z?Z y?z.

Donc on a

?x?X?y?Y?z?Z x?yety?z, alors par transitivit´e de la relation?on obtient : ?x?X?z?Z x?z.

DoncXRZ.

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