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Exercice 9 : Dans , on définit une relation en posant pour tout ( ) : 1 Montrer que est une relation d'ordre partiel 

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Exercice 1 Dire si chacune des relations ci-dessous est réflexive, symétrique, Soit x ∈ R Par définition, la classe d'équivalence de x, notée Cl(x), est l' 

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Déterminer la classe d'équivalence de z ∈ C Exercice 2 Soit R une relation binaire sur un ensemble E, symétrique et transitive Que penser du raisonnement  

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Donc, R est réflexive et est, par conséquent, une relation d'équivalence Heumez, G Huvent, Toutes les mathématiques – Cours, exercices corrigés – MPSI,

[PDF] Feuille 3 - Relations binaires sur E Relations d´equivalence

1 Exercice corrigé en amphi 고 est une relation binaire sur un ensemble E Ecrire ce que signifie : (a) 고 n'est 

[PDF] Relations déquivalence Exercice 1 ˇ “) Exercice 2 ˇ “) Exercice 3 ˇ

25 sept 2018 · 3) Montrer que R est une relation d'équivalence 4) Préciser, pour x ∈ R, le nombre d'éléments dans x, classe de x modulo R Exercice 9

[PDF] Corrigé du DST - Institut de Mathématiques de Bordeaux

Corrigé du DST Exercice 1 Exercice 2 On consid`ere la relation binaire ≈ sur R, définie par : Montrer que la relation ≈ est une relation d'équivalence

[PDF] Relations binaires - Université de Rennes 1

Exercice n◦3 Soient E un ensemble et A ∈ P(E) ; on définit sur P(E) la relation R par XRY si X ∩ A = Y ∩ A Montrer que c'est une relation d'équivalence

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2 1 6 Exercices sur les ensembles 3 2 Relation d'équivalence NOTIONS DE LOGIQUE MATHÉMATIQUE Corrigés Corrigé 1 5 1 (1) (n = 2) ∧ (n pair) 

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Déterminer la classe d'équivalence de z ∈ C Exercice 4 Soit R une relation binaire sur un ensemble E, symétrique et transitive Que penser du raisonnement  

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IUT d"Orsay 2012-20013

D

´epartement Informatique DUT 1A - S1

Exercices de math

´ematiques

Feuille 3 - Relations binaires surE

Relations d"

´equivalenceRelations d"ordre

1 Relations binaires deEdansE: repr´esentations, propri´et´es

1.Exercice corrig´e en amphi

Rest une relation binaire sur un ensembleE. Ecrire ce que signifie : (a)Rn"est pas r´eflexive. (b)Rn"est pas sym´etrique. (c)Rn"est pas antisym´etrique. (d)Rn"est pas transitive.

2.Exercice corrig´e en amphi

(a) i. Repr

´esenterRpar

son graphe sa matrice d"adj acence ii. D ´eterminer siRest r´eflexive, sym´etrique, antisym´etrique, transitive. (b) D ´eterminerR1,R \ R1,R [ R1,R R1et leurs propri´et´es. 3. Soit Rune relation binaire surE:D´emontrer queR [ R1est sym´etrique. 4. Soit E=f1;2;3;4getRla relation binaire d´efinie surEparxRysi et seulement six+2y est impair. (a) Repr

´esenterRpar

son graphe sa matrice d"adj acence (b) D ´eterminer siRest r´eflexive, sym´etrique, antisym´etrique, transitive. 1

5.Dans chacundescas,d

antisym

´etrique, transitive.

(a)xRysi et seulement six+yest pair (b)xRysi et seulement six+yest impair (c)xRysi et seulement sixyest impair 6. Soit Eun ensemble fini`an´el´ements o`unest un entier strictement positif. (a)

Combien y a-t- ilde relations binaires sur E?

(b)

Combien y a-t-il de rel ationsbinaires r

´eflexives surE?

(c)

Combien y a-t -ilde relations binaires sym

´etriques surE?

7.Exercice suppl´ementaire

Danschacundescas,d

est r ´eflexive, sym´etrique, antisym´etrique, transitive. (a)xRysi et seulement sixest parent dey (b)xRysi et seulement sixa le mˆeme parent quey (c)xRysi et seulement sixest plus jeune quey

2 Relations d"

´equivalence

1.Exercice corrig´e en amphi

siabest pair. (a)

Montrer que c"es tune relation d"

´equivalence.

(b) D ´eterminer toutes ses classes d"´equivalence. On noteZ=2Zl"ensemble des classes d"

´equivalence deR:

2.Exercice corrig´e en amphi

(a) Soit E=f0;1;2;3;4;5g,A=f0;2;4g,B=f1;5g, etC=f3;5g. Justifier queA,BetCne peuvent pasˆetre les classes d"´equivalence d"une relation d"

´equivalence surE:

(b)

Soit E=f0;1;2;3;4;5g,A=f0;2;4g,B=f1;5g, etC=f3g.

i.

Justifier que A,BetCforment une partition deE:

ii. D ´ecrire la relation d"´equivalence d´efinie surEdont les classes d"´equivalence sont les trois ensemblesA,BetCpar son graphe, par sa matrice d"adjacence, par sa repr

´esentation sagittale.

2 3.D ´emontrer que siRest une relation d"´equivalence surE, alorsR1est aussi une relation d"

´equivalence surE:.

4.

Soit EetFdeux ensembles etf2FE:

SoitRla relation d´efinie surEpar :xRysi et seulement sif(x) =f(y): (a) Montrer que Rest une relation d"´equivalence surE: (b) Soit a2E:D´eterminer la classe deasifest injective. (c) D ´emontrer que sifn"est pas injective, il existe au moins une classe qui contient deux el´ements ou plus. (d)

Ex emplesd"applications f:

i.

Soit fd´efinie deRdansRparf(x) =x2x.

D

´emontrer quefn"est pas injective.

Soit a2R:D´ecrire la classe d"´equivalence deaselon la valeur dea: ii.

Soit fd´efinie deR2dansRparf((x;y)) =xy:

-fest-elle injective? Soit (a;b)2R2:D´eterminer la classe d"´equivalence de(a;b)puis en donner une interpr

´etation g´eom´etrique.

iii. Soit Eun ensemble non vide etAune partie deE. Soitfl"application d´efinie surP(E)parf(X) =X[A: D

´eterminer la classe de;et la classe deA.

Soit A0A. D´eterminer la classe deA0. En d´eduire la classe d"une partie quelconqueBdeE:

5.Exercice suppl´ementaire

(a) D ´emontrer que l"intersection de deux relations d"´equivalence surEest une relation d"

´equivalence.

(b) D ´emontrer que la r´eunion de deux relations d"´equivalence surEn"est pas en g´en´eral une relation d"

´equivalence.

6.Exercice suppl´ementaire

SoitRla relation binaire d´efinie sur l"ensemble des entiers relatifs par : aRbsi et seulement siabest divisible par3. (a)

Montrer que c"est une relation d"

´equivalence.

(b) D ´emontrer que l"ensemble des classes d"´equivalence deR, not´eZ=3Z, est´egal`a f0;1;2g:

7.Exercice suppl´ementaire

SoitRla relation binaire d´efinie sur l"ensemble des entiers relatifs par : aRbsi et seulement sia2b2est divisible par3. (a)

Montrer que Rest une relation d"´equivalence.

(b) D ´emontrer que l"ensemble des classes d"´equivalence deRest´egal`af0;1g: 3

3 Relations d"ordre

1.Exercice corrig´e en amphi

(a) Montrer que la r elationest une relation d"ordre total surR: (b)Rposs`ede-t-il un plus petit´el´ement? un plus grand´el´ement?

2.Exercice corrig´e en amphi

(a) Montrer que la r elationest une relation d"ordre total surE=f1n ;n2Ng. (b)Eposs`ede-t-il un plus petit´el´ement? un plus grand´el´ement? 3. D ´emontrer que siRest une relation d"ordre surE, alorsR1est aussi une relation d"ordre surE: 4. On d ´efinit surE=f1;2;3;5;6;10;15;30gla relationRpar :xRysi et seulement six divisey: (a)

Montrer que Rest une relation d"ordre.

(b)

Est-ce une relation d"or dretotal ?

(c)Eposs`ede-t-il un plus petit´el´ement? un plus grand´el´ement?

5.Exercice suppl´ementaire

On d ´efinit surNla relationRpar :xRysi et seulement sixdivisey: (a)

Montrer que Rest une relation d"ordre surN.

(b)

Est-ce une relation d"ord retotal ?

(c) D

´ecrirefx2E; xR5getfx2E;5Rxg.

(d)Nposs`ede-t-il un plus petit´el´ement? un plus grand´el´ement?

6.Exercice suppl´ementaire

On d ´efinit surZla relationRpar :xRysi et seulement sixdivisey: Justifier queRn"est pas une relation d"ordre surZ: 7. Soit Eun ensemble et la relation d"inclusion dansP(E), l"ensemble des parties deE. (a) Est-ce une rela tiond"ordre ?Si oui est-ce une relation d"ordre total ? (b) D ´eterminer le plus petit´el´ement et le plus grand´el´ement deP(E). (c) Si AetBsont deux parties deE, quels sont les minorants et majorants du sous- ensemble deP(E):fA; Bg? Donner le plus grand des minorants et le plus petit des majorants defA; Bg: 4quotesdbs_dbs6.pdfusesText_12