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Simplifier les expressions suivantes en utilisant la relation de Chasles : 1) AB AC CB 3) Démontrer la relation de colinéarité entre les vecteurs CD et AB
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et CD , définis à l'aide des segments [AB] Michel Chasles (Fr, 1793-1880) : La relation n'est pas de lui, mais nommée ainsi en hommage à ses Simplifier les écritures : a) AM Représenter les vecteurs suivants : 2 u , - v
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deux vecteurs ; relation de Chasles ; Simplifier au maximum les expressions suivantes (sans faire de dessin), en utilisant Compléter les égalités suivantes Deux vecteurs sont colinéaires peut nous aider à montrer que deux droites sont
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(non détaillées) aux questions sont disponibles à la fin du document Exercice 1 : Simplifier les expressions suivantes en utilisant la relation de Chasles : 1)
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Calcul vectoriel
Dossier N
◦5Première S2Pour bien démarrer
Intro 1 : Somme de vecteurs
1Dans le repère (O,I,J) ci-dessous on considère les vec-
teurs?u;?vet?w123456 -4-3-2-101234 IJ ?u?v?w Vrai ou faux?:?w=?u+?vJustifier la réponse.2On considère les vecteurs?u;?vet?w?u?v ?w Cette fois on ne dispose ni d"un repère ni d"un qua- drillage.Vrai ou faux?:?w=?u+?vJustifier la réponse.
Intro 2 : Vecteurk?u1Dans le repère(O,?i,?j)ci-dessous on considère les vec- teurs?u;?vet?w.? i? j123456 -4-3-2-101234 ?u?v ?wVrai ou faux?: Les vecteurs?wet?vsontcolinéairesau vecteur?u Justifier la réponse.2Construire, dans le repère ci-contre un représentant d"origine le pointA(4,-4)des vecteurs :?s?-5 6? et ?t?2 4? 1Entraînement et apprentissage
Exercice 3 :
1Lire graphiquement les coordonnées des vecteurs?u,?vet
?wdans le repère ci-dessous.2Déterminer les coordonnées du vecteur?u+?v+?w. Construire alors un représentant de?u+?v+?w3Déterminer les coordonnées du vecteur2?u+?w. Construire alors un représentant de2?u+?wExercice 4 : Dans un repère ( à construire) , on considère les points A(-1 ; 2),B(6 ; 0)etC(5 ;-3).1Placer les points dans le repère choisi2Déterminer les coordonnées des vecteurs
--→AB,-→ACet--→ BC.3Déterminer les coordonnées des vecteurs-3--→ABet--→AB-2-→AC.4Démontrer que
--→ABest colinéaire au vecteur?v?-10,5 3? .Exercice 5 : Relation de Chasles On considère la figure ci-dessous oùABDGFEet DGLKJIsont des hexagones réguliers de centre respectifC etH. À l"aide de points de la figure, écrire ces sommes de vec- teurs sous la forme d"un seul vecteur. Les vecteurs devront parfois être remplacés par des vecteurs égaux de façon à faire apparaître de manière explicite la re- lation de Chasles. Il ne sera pas utile de justifier l"égalité des vecteurs que vous utilisez. L"objectif de l"exercice est d"utiliser efficacement la relation de Chasles.1--→FH+--→HC2--→
CD+-→IJ3--→
CG---→HD+-→IJ41
3 -→FJ+--→GD+--→KGExercice 6 : Sans support géométrique En regroupant adroitement les vecteurs et à l"aide de la relation de Chasles, simplifier les expressions suivantes :1--→AB--→AC+--→BC2--→
AB+ 2--→BD--→CA+--→CB
2Exercice 7 :
Indiquer, en justifiant votre réponse, si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.1?u ?0 1? et?v?-3 0? sont colinéaires.2Si --→AB= 2--→CD, alorsABCDest un parallélogramme.3Si --→EF=56 --→FG, alorsEest un point de[FG].4Pour tout réelx,?u? ⎷2 x? et?v? ⎷18 3x? sont colinéaires.Exercice 8 : On considère deux pointsAetBdans le plan et le pointRtel que :
2 -→AR= 2--→RB+--→AB.1Exprimer le vecteur -→ARen fonction de--→AB.2Que peut-on en déduire concernant les pointsA,BetR?Exercice 9 :
On considère un triangle quelconqueABC.1Faire une figure.2On considère le pointMtel que :
AM---→BM+ 2--→MC=--→AB+-→AC.(a)En util isantla relation de Chasles, e xprimerle v ec-
teur--→AMà l"aide de vecteurs formés des pointsA,BetCuniquement.
(b)Que p eut-ondire des p ointsA,CetM?
(c)Placer le p ointMsur la figure.Exercice 10 :
Dans un carréABCDde centreO, on considère les pointsEetFtels que--→DE=14
--→DCet--→DF=-12 --→DA.DBAC×F
×E O Démontrer que les pointsO,EetFsont alignés.Exercice 11 : Dans un parallélogrammeABCD, on considère les pointsEetFdéfinis par--→CE=13
--→CBet-→AF=32 -→AE.1Déterminer les coordonnées de tous les points dans unrepère bien choisi.2Démontrer que les pointsD,CetFsont alignés.Outil informatique - Programmation
3Activité 12 :
Construire un programme sur votre calculatrice qui : demande en e ntréeles co ordonnéesxA,yA,xB,yB,xCetyCde trois points dans un repère du plan; indique en sortie s "ilsson talignés ou non .ApprofondissementExercice 13 : Utilisation en géométrie
On considère un triangleABCet les pointsIetJtels que :-→AI=13 --→ABet-→AJ= 3-→AC.1Montrer, à l"aide de la relation de Chasles que -→BJ=3-→IC.
Que peut-on en déduire pour les droites(BJ)et(IC)?2On se place dans le repère(A;--→AB ,-→AC).
(a) Déterminer les co ordonnéesde l"ensem bledes points. (b)Calculer les co ordonnéesdes v ecteurs
-→BJet-→IC.(c)Retrouv erles ré sultatsde la question (a).ABC IJExercice 14 : Alignement
ABCDest un parallélogramme.Iest le milieu de[AB].Eest le point tel que--→DE=23
-→DI.1Représenter graphiquement cette configuration2Déterminer les coordonnées des points de la figure dans
le repère(A;--→AB,--→AD).3Les pointsA,EetCsont-ils alignés?Exercice 15 : L es pointsP,QetRsont-ils alignés?ABC RPQ