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Correctionexamenth´eoriedes jeux2009-2 010
July13,201 0
Exercice1
1)jeus ousfor meextensive(`a gauche)et formenormale(`adroite):
Nature
Joueur2
Joueur1
0.50.5
NoireRouge
CDCD cdcd (1;-1)(2;-2)(1;-1)(-2;2) (-1;1)(-1;1) ensembled'info cd C R C N (-1;1)(-1;1) C R D N (0;0)(-1.5;1.5) D R C N (0;0)(0.5;-0.5) D R D N (1;-1)(0;0) Danslejeusous formenormal e,lanot ationdel astrat´egieC R D N signifiequelejoueur1 apr`esavoirvuun ecarteRouge(indi ceR)ch oisitdeseCoucher(C)etap r`es avoirvuune carteNoire(in diceN)ch oisitdeDoublersamise(D). Lepai ement(-1.5;1.5)estobtenu enremarquantqu'avecp robab ilit´e0.5lacart eest Rouge,doncl ejoueur1 secoucheest lepaiementest(-1;1)et av ecpr obabilit´e0.5la carte estNoire,lejoueu r1Doublesamise,lejoueu r2au ssi,doncl epaiement est(-2;2). L'esp´erancedupaiementestdonc0 .5?(-1,1)+0 .5?(-2;2)=(-1.5,1.5). Vuqu'i lestsp´ecifi´equelejeu est` asommenulle,onauraitpu´ecrir euniquementl es paiementsdujoueur1(aul ieuducoup ledespaiements). 2)EquilibresdeNashetstrat´egiesop timales:
a)Dan sunjeu`ad euxjoueur s`asommenu lle,uncou pledestrat ´egiesoptimalesest un´equi libredeNash.R´eciproquement,tout´equ ilibre deNashestun coupledestrat´egies optimales. b)Lepaiemen td' un´equilibred eNashestdonc´egal`al avaleurdujeu`asommenulle.3)Str at´egiesdomin´ees
Lesstr at´egiesC
R C N etC R D N sontstrict ementdomin´eesparlastrat´egieD R D N .Il n'yapasd'au tres strat´egies faiblementoustrictementdomin´ ees.Onpeutremarquerque C R D N estaussi faiblement domin´eeparD R C N 14)Valeu rdujeuetstrat´ egiesoptimalesApr`es´elimination desstrat´egiesstrictement
domin´ees,lejeuseram`en e`a: cd D R C N (0;0)(0.5;-0.5) D R D N (1;-1)(0;0) Iln' yapasd'´eq uili bresenstr at´egiespures,onvadoncchercherun´equilib red eNash (d'apr`eslaquestionpr´ec´eden te,´equ ilibredeNashetstrat´egies optimalescoincident)en strat´egiemixte. Lastr at´egiemixte(x,1-x)du joueur1r endlejoueur2ind iff´erententrecetd`ala conditionque:x?0+( 1-x)?-1=x?-0.5+( 1-x)?0don csix=2/3.D elamˆeme fa¸conlastrat´egi emix te(y,1-y)du joueur2r endlejoueur1in diff´erententreD R C N et D R D N siy?0+( 1-y)?0.5=y?1+( 1-y)?0don csiy=1/3.Lesstr at´egiesoptimalessontdonc
2 3 D R C N 1 3 D R D N pourlejoueur1 et 1 3 c+ 2 3 dpourle joueur2.Lavaleurdu jeuest obten ueencalculantlep aiementduj oueur1`a cet´ equilibre, quiest´egal`a1 /3?0+2 /3?0.5=1 /3.Exercice2
Eliminerdesstrat´ egiesfaiblementdomin ´eespeut´eliminerdes´equilib res:Danslejeu
GDH(0;0)(0;0)
B(0;0)(1;0)
(H,G)estu n´eq uilibr edeNash,maislastrat´egieHestfai blementdomin´eeparlastrat´ egieB.L'´ eliminationdesstrat´egiesfaiblementdomin´ee