[PDF] Intégration et probabilités TD — Tribus, mesures

Corrigé : Oui, mais seulement la mesure nulle En effet, soit µ une mesure non 3 – Tribus Exercice 3 (Opérations sur les tribus) Soit F une tribu de Ω et B

[PDF] Exercices corrigés - Université de Limoges

Donc f−1(P(E) est engendré par A et est la tribu : {A, AC,∅,Ω} Exercice 0 5 Soit µ une mesure finie sur (Ω,T ) 1) On a : AJ B = (

[PDF] Exercices et Corrigés En complément du cours dAmaury Lambert

UE LM364 LM365 Théorie de la Mesure et Intégration Année 2012–13 Tribus et fonctions mesurables 1 Exercices 1 Ensembles dénombrables (I) a

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Corrigé Il s'agit d'un exercice classique d'analyse Raisonnons par l'absurde en Soit B la tribu de Borel sur R et soit µ une mesure positive définie sur B telle

[PDF] Tribus et mesures

Décrire la tribu engendrée par les parties finies de X Exercice 5 a) Soit A = {A1, ,An} une partition finie d'un ensemble E

[PDF] µ

Exercice 4 Soit (X, T ) un espace mesurable tel que la tribu T contient les singletons Soit µ une mesure finie sur (X, T ) On note D = {x ∈ X t q µ({x}) > 0}

[PDF] Intégration Exercices et Corrigés - Ceremade

Tribus Mesures 2 1 Rappels tr`es succints surl'intégrale de Riemann 2 2 Exemples de limites de sous-ensembles 4 3 Exemples élémentaires de tribus 5

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La théorie de la mesure est l'outil utilisé pour modéliser le hasard 2 1 Tribus et mesures 2 1 1 Tribus Dans la suite, on utilisera un ensemble Ω que l'on

[PDF] Théorie de la mesure et intégration Université de Genève Printemps

Série 1 Correction (corrigée le 26/02/2020) Exercice 1 Soit X un ensemble et A ⊂P(X) un ensemble de parties de X (1) Montrer que si A est une tribu, alors A

Corrig

´e :

La suitefn(x) tend en croissant versf(x). En effet, six2Bn;i, on v´erifie que f n+1(x) =8 >><>>:f n(x) si2i2 n+1f(x)<2i+12 n+1 f n(x)+12 n+1si2i+12 n+1f(x)<2(i+1)2 n+1; et que six2Analors f n+1(x) =8 >><>>:n+1sif(x)n+1 n2n+1+l2 n+1sin2n+1+l2 n+1f(x)Il en d

´ecoule que la suitfn(x) e?croissante.

D"autre part, par con?ru?ion, six2 ff < n0galors0f(x)fn(x)2npournn0. On en d´eduit quefn(x)!f(x) lorsquex2 ff <+1g=[k1ff < kg. D"autre part, six2 ff= +1g=\k1ffkg, alorsfn(x) =n!+1. Remarque.SifM, alors0f(x)fn(x)2npournMet la convergence e?uniforme.

1 - Petites questions1) E?-ce que l"ensemble des ouverts deRe?une tribu?

2) Si on notela mesure de Lebesgue, rappeler pourquoi(fxg)=0pour toutx2R. Alors :

(R)=0BBBBB@[ x2Rfxg1CCCCCA=X x2R (fxg)=X

x2R0=0:Pour des que?ions, demande de pr´ecisions ou explications,n"h´esitez pas`a m"envoyer un mail`a

igor.kortchemski@ens.fr , ou bien `a venir me voir au bureau V4. 1 O `u e?le probl`eme?

3) SiFetGsont deux tribus, e?-ce queF [Ge?toujours une tribu?

4) Si (an)n1et (bn)n1sont deux suites de nombres r´eels, a-t-on toujours

limsup n!1(an+bn) = limsup n!1an+limsup n!1bn?

Et si les deux suites sont born

´ees? Et sibnconverge?

Corrig

´e :

1) Non, car le compl´ementaire de]1;0[n"e?pas ouvert.

2) Non, pas toujours. Par exemple si, en notant

=f1;2;3g, on prendF=f;;f1g;f2;3g; getG= f;;f2g;f1;3g; g? En effet, on a alorsF [ G=f;;f1g;f2g;f2;3g;f1;3g; g, qui n"e?pas?able par union ( f1g[f2g3) On a(fx)g) = limn!1([x1=n;x+1=n]) =0. Par ailleurs l"´egalit´e(S x2Rfxg)=P x2R(fxg)n"e? pas v

´erifi´ee carRn"e?pas d´enombrable.

4) Ce n"e?pas toujours vrai (prendre par exemplean=bn=n). En revanche, le terme de gauche e?

inf

´erieur ou´egal au terme de droite lorsque les deux suites sont born´ees, et l"´egalit´e e?v´erifi´ee lorsque

b nconverge.

2 - MesuresExercice 1.(Lemme de Borel-Cantelli) (E;A; ) e?un espace mesur´e (e?une mesure positive) et que

(An)n1e?une suite d"´el´ements deA. On rappelle que l"on note liminf n!1An=[ n1\ knA k;limsup n!1An=\ n1[ knA k:

1.Mon trerque

liminfn!1An liminfn!1(An); et que si([n1An)<1, alors limsup n!1An! limsup n!1(An): ?u"e?-ce qui se passe si([n1An) =1?

2.(Lemme de Borel-Cantelli.)On suppose queP

n1(An)<1. Montrer que limsup n!1An! =0:

3.(Une application du lemme de Borel-Cantelli.)Soit" >0. Montrer que pour presque-toutx2[0;1]

(pour la mesure de Lebesgue), il n"exi?e qu"un nombre fini de rationnelsp=qavecpetqpremiers entre eux tels quexpq <1q 2+"; i:e:presque toutxe?"mal approchable par des rationnels`a l"ordre2+"".

Corrig

´e :

1.On remarque que, pour tout n0et pour toutkn,

BBBBBB@\

pnA p1

CCCCCCA(Ak):

Ainsi,

0BBBBB@\

knA k1

CCCCCAinfkn(Ak):(1)

Or la suite (\knAk)n0e?croissante. Le r´esultat s"obtient donc en passant`a la limite quand n!+1dans (1). De mˆeme, on a

0BBBBB@[

knA k1

CCCCCAsup

kn(Ak):(2) Or la suite ([knAk)n0e?d´ecroissante et([n0An)<+1. Le r´esultat s"obtient donc en passant

a la limite quandn!+1dans (2). On peut aussi utiliser le r´esultat pr´ec´edent et raisonner en

passant au compl ´ementaire. En effet, posonsF=[n0An. On a alors

Fnlimsup

n!1An= liminfn!1(FnAn): Donc,

Fnlimsup

n!1An! liminfn!1(FnAn); c"e?-`a-dire, (F) limsup n!1An! (F)limsup n!1(An):

Comme(F)<1, cela implique le r´esultat.

2.On a, pour tout n0,

0BBBBB@[

knA k1

CCCCCAX

kn(Ak):

Or(limsupk!1Ak)([knAk)pour toutn0etP

kn(Ak) e?le re?e d"une s´erie conver- gente et donc tend vers0quandn!+1. On obtient ainsi le r´esultat.

3.P ourtout q1, on note

A q= [0;1]\q p=0" pq 1q

2+";pq

+1q 2+"#

Ainsi,(Aq)2=q1+". Par cons´equent,

X q1(Aq)<+1: D"apr `es le lemme de Borel-Cantelli,(limsupq!1Aq) =0, or l"ensemble limsupq!1Aqcontient l"ensemble des r ´eels bien approchables par des rationnels`a l"ordre2+". Voir 3

Exercice2.(Mesure surZ) Exi?e-t-il une mesure de masse finie sur (Z;P(Z)) invariante par translation?

Corrig

´e :

Oui, mais seulement la mesure nulle. En effet, soitune mesure non nulle de masse finie sur (Z;P(Z)) invariante par translation. Commee?non nulle, il exi?en2Ztel quec:=(fng)>0. Par invariance par translation, il vient(fkg)=cpour toutk2Z. Mais alors, commeZe?d´enombrable : (Z)=([k2Zfkg)=X k2Z (fkg)=X k2Zc=1; ce qui contredit le fait quee?de masse finie.

3 - TribusExercice 3.(Op´erations sur les tribus)

1.Soit Fune tribu de

etBun´el´ement deF. Montrer que l"ensembleFB:=fA\B;A2 F ge?une tribu deB.

2.Soit ( XY;F) un espace-produit mesur´e et:XY!Xla proje?ion canonique. L"ensemble

X:=f(F);F2 F ge?-il une tribu?

3.On consid `ere surN, pour chaquen0, la tribuFn=(f0g;f1g;:::;fng). Montrer que la suite de

tribus (Fn;n0) e?croissante mais queS n0Fnn"e?pas une tribu. Indication :On pourra raisonner par l"absurde et utiliser le sous-ensemble2N.

4.( Partiel2010) Soit (E;A) un espace mesurable. SoitCune famille de parties deE, et soitB2(C).

Alexandra dit : alors n

´ecessairement, il exi?e une famille d´enombrableD Ctelle queB2(D).

A-t-elle raison?

5.Soien tX;Ydeux ensembles etf:X!Yune application. SoitA P(Y). Alexandra dit : alors

n ´ecessairement,(f1(A)) =f1((A)). A-t-elle raison?

Corrig

´e :

1.- B=

\B2 FB, Soit C=B\D2 FBavecD2 F. AlorsDc2 FetCcB=B\Dcappartient`aFB:

Soit Cn=B\Dn2 FBavecDn2 F. AlorsS

nDn2 FetS nBn=B\S nDnappartient`aFB.

L"ensembleFBe?donc bien une tribu surB.

2.On consid `ere pourX=Y=f0;1gla tribuFengendr´e par l"´el´ement (0;0)2XY. Il e?clair que

F=f?;XY;f(0;0)g;XYnf(0;0)gg:

On v ´erifie queFX=f?;f0g;Xg, ce qui n"e?pas une tribu.

3.P osons

F=[ n2NF n; et supposons queFsoit une tribu. On a f2ng 2 F2n Fet2N=[ n0f2ng: Ainsi,2N2 Fi:e:il exi?en02Ntel que2N2 Fn0. Or, les seuls´el´ements de cardinal infini de F n0sont de la formeNnA, o`uAe?une partie def0;1;:::;n0g. On obtient donc une contradi?ion. 4

4.Alexandr aa r aison.En e ffet, soitG=fB2(C);9D Cd´enombrable tel queB2(D)g. Montrons

queGe?une tribu.

Il e?clair queE2 G.

SiA2 G, alors il exi?eD Cd´enombrable tel queA2(D), et doncAc2(D): on aAc2 G. Si (An) G, alors pour toutnil exi?eDn Cd´enombrable tel queAn2(Dn), et donc nAn2(D), o`uD:=[nDn Ce?d´enombrable (´etant une union d´enombrable d"ensembles d

´enombrables) : on a[nAn2 G.

En conclusion,Ge?une tribu.

OrC G, ce qui implique que(C)(G) =G (C), d"o`u le r´esultat.

5.C eciser arevu l orsd uTD 3.

Exercice 4.Prouver queB(R2) =B(R)

B(R).

Corrig

´e :

On fera cet exercice lors du TD3.

4 - DiversExercice 5.

1.Mon trerque pour tout >0, il exi?eOun ouvert dense deRde mesure (de Lebesgue)

(O):

2.En d ´eduire que pour tout >0, il exi?eFun ferm´e d"int´erieur vide tel que pour toutA2 B(R) :

(A\F)(A):

Corrig

´e :

1.Soit >0. NotonsQ=fqn;n1gles rationnels et posons :

O n1] qn2n1;qn+2n1[: AlorsOe?un ouvert deR, dense (car il contientQ). De plus, (O)X n1 (]qn2n1;qn+2n1[)=X n12 n < :

2.P osonsF=Oc. AlorsFe?un ferm´e deRd"int´erieur vide. De plus, pour toutA2 B(R), on a

(A)=(A\F)+(A\O)(A\F)(A\F)+:

Exercice 6.(Ensembles de Cantor)

Soit (dn;n0) une suite d"´el´ements de ]0;1[, et soitK0= [0;1]. On d´efinit une suite (Kn;n0) de la

fac¸on suivante : connaissantKn, qui e?une r´eunion d"intervalles ferm´es disjoints, on d´efinitKn+1en

retirant dans chacun des intervalles deKnun intervalle ouvert centr´e au centre de chaque intervalle, de

longueurdnfois celle de l"intervalle. On poseK=T n0Kn. 5

1.Mon trerque Ke?un compa?non d´enombrable d"int´erieur vide dont tous les points sont d"ac-

cumulation.

2.C alculerla mesure de Lebesgue de K.

3.On note K3l"ensemble de Cantor obtenu en posantdn=13

pour toutn. V´erifier que K 3=8 >><>>:X n1a n3 n; (an)2 f0;2gN9>>=>>; et qu"il e?mesure de Lebesgue nulle.

Corrig

´e :

1.Chaque ensembleKne?ferm´edoncKe?ferm´e.Deplus,K[0;1]doncKe?compa?.Montrons

que l"on peut con?ruire une bije?ion':K! f0;1gN. Sixe?dansK, alorsxe?dans un des deux intervalles composantK1. On pose'(x)0=0sixe?dans l"intervalle de gauche et'(x)0=1six

e?dans l"intervalle de droite. En r´ep´etant ce proc´ed´e, on con?ruit une suite'(x)2 f0;1gN. On

v ´erifie facilement que'e?une bije?ion. Ainsi,Kn"e?pas d´enombrable. Par con?ru?ion de', pour tousx;y2Ketn0,xetysont dans le mˆeme intervalle composantKn+1si et seulement si '(x)k='(y)kpour toutkn. Supposons qu"il exi?e un intervalleIde [0;1] inclus dansKet non r ´eduit`a un point. Soientx;y2Itels quex,y. Alors, pour toutn0,xetysont dans le mˆeme intervalle composantKndonc'(x) ='(y) ce qui e?absurde. Ainsi,Ke?d"int´erieur vide. Enfin, soitx2K. L"ensemblefy2K:'(y)k='(x)k8knge?infini et e?con?itu´e de points deKtous a di?ance au plus1=2n+1dex. Doncxe?un point d"accumulation.

2.On montreparr´ecurrenceque(Kn) = (1d0):::(1dn1).Or([0;1]) =1donc(K) = limn!1(Kn).

On a donc :

X n0d n<1 )(K) =Y n0(1dn); X n0d n=1 )(K) =0:

3.Il su ffit de regarder la bije?ion con?ruite dans la que?ion1entreKetf0;1gNet v´erifier que si

x='((bn)n), alorsx=P2bn3 n. Pour la mesure on utilise la que?ion2.

Exercice 7.Soit (

;A) un espace mesurable tel quef!g 2 Apour tout!2 . Soitune mesure positive surA. On dit quee?port´ee parS2 Asi(Sc) =0, que!2 e?un atome pon?uel poursi(f!g),0, quee?diffuse si elle n"a pas d"atomes pon?uels, quee?purement atomique si elle e?port´ee par l"ensemble de ses atomes pon?uels.

1.Donner des exem plesde mesures di ffuses et de mesures purement atomiques.

2.?ue peut-on dire d"une mesure qui e?diffuse et purement atomique?

3.Soit une mesure positive surA. Montrer qu"il exi?e une mesure diffusedet une mesure

purement atomiqueasurAtelles que=d+a.

4.Mon trerque l" ensembledes a tomespon ?uels d"une mesure-finiee?d´enombrable.

Corrig

´e :

1.La mesure de Lebesgue e ?diffuse, et la mesure de comptage surNe?purement atomique.

2.Elle e ?alors port´ee par l"ensemble de ses atomes pon?uels, qui e?vide car elle e?diffuse. Cette

mesure e?donc nulle.

3.Soit Dl"ensemble des atomes pon?uels de. Pour toutA2 A, on posed(A) =(A\Dc) et

a(A) =(A\D). Ainside?diffuse,ae?atomique et=d+a.

4.Soit ( En)n1une suite d"ensembles deAde-mesure finie et d"union

. Pour tousn;k0, on poseDn;k=f!2En;(f!g)1=kg. Alors Card(Dn;k)k(En). CommeDe?l"union des ensemble D n;kpourk;n0, il en r´esulte queDe?d´enombrable.

6- Compl´ements (hors TD)Exercice 9.("Cardinal" d"une tribu) Le but de l"exercice e?de montrer qu"il n"exi?e pas de tribuA

infinie d ´enombrable. Soit (E;A) un espace mesurable. On d´efinit, pour toutx2E, l"atome de la tribuA engendr

´e parxpar,

x=\ fA2A:x2AgA:

1.Mon trerque les a tomesde Aforment une partition deE.

2.Mon trerque si Ae?au plus d´enombrable alorsAcontient ses atomes et que chaque´el´ement de

As"´ecrit comme une r´eunion au plus d´enombrable d"atomes.

3.C onclure.

4.Donner une nouv elled ´emon?ration de que?ion3de l"exercice3.

Corrig

´e :

1.On remarque que x2xpour toutx2E, donc

x2E x=E:

Montrons maintenant que

x\y,; )x=y: Soientx;y;z2Etels quez2x\y. Alors chaque ensembleA2 Acontenantxcontientz. Supposons qu"il exi?eB2 Acontenantzmais ne contenant pasx. AlorsBc2 Aet contientx. AinsiBccontient zce qui e?contradi?oire. Doncx=zet de mˆemey=z. Doncx=y.

2.Supposons que Asoit finie ou d´enombrable. Alors chaque atomexs"´ecrit comme une r´eunion au

plus d ´enombrable d"´el´ements deAet donc appartient`aA. De plus, siA2 A, alors A=[ x:x2A x et cette r ´eunion e?au plus d´enombrable car les atomes appartiennent`aA. De plus, les atomes formant une partition deE, cette´ecriture e?unique.

3.Soit Bl"ensemble des atomes deAsuppos´ee finie ou d´enombrable. D"apr`es la que?ion2., on

´efinit une bije?ion'deP(B) dansApar,

':B2 P(B)7![ x2B x: SiBe?fini, alorsAe?finie. Sinon,Ane peut pasˆetre d´enombrable. 7

4.Les tribusFnsonttoutesfiniesdoncS

il n"exi?e pas de tribu infinie d´enombrable, doncS n0Fnn"e?pas une tribu. s

´eparable localement compa?). On pose

S:=fx2Rn;(B(x;r))>0;pour toutr >0g:

Montrer queSe?ferm´e, que(RnnS) =0, et que(SnF) =(RnnF)>0pour tout ferm´eF?ri?ement contenu dansS. (On appelleSle support de la mesure.)

Corrig

´e :

Soitx0tel que(B(x;rx)) =0,a fortioripour toutzcontenu dans

la boule ouverte de centrexet de rayonrx

B(z;rxjzxj)B(x;rx) et donc(B(z;rxjzxj)) =0;

ce qui d ´emontre queB(x;rx) e?incluse dansSc. L"ensembleFe?donc ferm´e. On sait que pour toutx0tel que(B(x;rx)) =0. SiKe?un compa?inclu dansScil exi?e un recouvrement ouvert K[ x2KB(x;rx); duquel on peut extraire un recouvrement fini (Borel-Lebesgue). De plusScpeutˆetre vu comme une r ´eunion d´enombrable de compa?s, par exemple S c=[ n;k x:d(x;F)1k ;jxj n ainsiSce?une union d´enombrable de boules ouvertesSc=S i2NB(xi;rxi) et (Sc)X i2N(B(xi;rxi)) =X 0=0:

SiFe?un ferm´e contenu dansSalors

R nnF=RnnStSnF;

et chacun de ces ensembles e?mesurable, le r´esultat s"obtient en prenant la mesure de l"´egalit´e.Exercice 11.(?- Mesure atomique) Soit (X;F;) un espace mesur´e. Un ensembleA2 Fe?un atome

poursi0< (A)<1et pour toutBAmesurable,(B) =0ou(B) =(A). Soit (X;F;) un espace mesur ´e avec(X) =1et tel quen"ait pas d"atomes. Montrer que l"image dee?[0;1] (c"e?-`a-dire que pour toutt2[0;1], il exi?eA2 Ftel que(A) =t).

Corrig

´e :

ll s"agit d"un tr `es bel exercice`a zornette, voir

http://en.wikipedia.org/wiki/Atom_(measure_theory)#Non-atomic_measuresExercice 12.(Un probl`eme d"additivit´e)

On notel1=fa= (an)n2N2RN;jjajj1:= supn2Nan<1g, l"ensemble des suites r´eelles born´ees. 8

1.Mon trerque ( l1;jj:jj1) e?un espace ve?oriel norm´e complet.

On admet (th

´eor`eme de Hahn-Banach) qu"il exi?e une forme lin´eaireF:l1!Rcontinue qui satisfait les deux propri

´et´es suivantes : Soita= (an)n2N2l1

-F(a) jjajj1,

Si lim

quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20

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Corrig

´e :

´ecoule que la suitfn(x) e?croissante.

1 - Petites questions1) E?-ce que l"ensemble des ouverts deRe?une tribu?

2) Si on notela mesure de Lebesgue, rappeler pourquoi(fxg)=0pour toutx2R. Alors :

3) SiFetGsont deux tribus, e?-ce queF [Ge?toujours une tribu?

4) Si (an)n1et (bn)n1sont deux suites de nombres r´eels, a-t-on toujours

Et si les deux suites sont born

´ees? Et sibnconverge?

Corrig

´e :

1) Non, car le compl´ementaire de]1;0[n"e?pas ouvert.

2) Non, pas toujours. Par exemple si, en notant

´erifi´ee carRn"e?pas d´enombrable.

4) Ce n"e?pas toujours vrai (prendre par exemplean=bn=n). En revanche, le terme de gauche e?

2 - MesuresExercice 1.(Lemme de Borel-Cantelli) (E;A; ) e?un espace mesur´e (e?une mesure positive) et que

1.Mon trerque

2.(Lemme de Borel-Cantelli.)On suppose queP

3.(Une application du lemme de Borel-Cantelli.)Soit" >0. Montrer que pour presque-toutx2[0;1]

Corrig

´e :

1.On remarque que, pour tout n0et pour toutkn,

BBBBBB@\

CCCCCCA(Ak):

Ainsi,

0BBBBB@\

CCCCCAinfkn(Ak):(1)

0BBBBB@[

CCCCCAsup

Fnlimsup

Fnlimsup

Comme(F)<1, cela implique le r´esultat.

2.On a, pour tout n0,

0BBBBB@[

CCCCCAX

Or(limsupk!1Ak)([knAk)pour toutn0etP

3.P ourtout q1, on note

2+";pq

Ainsi,(Aq)2=q1+". Par cons´equent,

Corrig

´e :

3 - TribusExercice 3.(Op´erations sur les tribus)

1.Soit Fune tribu de

2.Soit ( XY;F) un espace-produit mesur´e et:XY!Xla proje?ion canonique. L"ensemble

X:=f(F);F2 F ge?-il une tribu?

3.On consid `ere surN, pour chaquen0, la tribuFn=(f0g;f1g;:::;fng). Montrer que la suite de

4.( Partiel2010) Soit (E;A) un espace mesurable. SoitCune famille de parties deE, et soitB2(C).

Alexandra dit : alors n

A-t-elle raison?

5.Soien tX;Ydeux ensembles etf:X!Yune application. SoitA P(Y). Alexandra dit : alors

Corrig

´e :

1.- B=

Soit Cn=B\Dn2 FBavecDn2 F. AlorsS

L"ensembleFBe?donc bien une tribu surB.

2.On consid `ere pourX=Y=f0;1gla tribuFengendr´e par l"´el´ement (0;0)2XY. Il e?clair que

F=f?;XY;f(0;0)g;XYnf(0;0)gg:

3.P osons

4.Alexandr aa r aison.En e ffet, soitG=fB2(C);9D Cd´enombrable tel queB2(D)g. Montrons

Il e?clair queE2 G.

´enombrables) : on a[nAn2 G.

En conclusion,Ge?une tribu.

5.C eciser arevu l orsd uTD 3.

Exercice 4.Prouver queB(R2) =B(R)

Corrig

´e :

On fera cet exercice lors du TD3.

4 - DiversExercice 5.

1.Mon trerque pour tout >0, il exi?eOun ouvert dense deRde mesure (de Lebesgue)

2.En d ´eduire que pour tout >0, il exi?eFun ferm´e d"int´erieur vide tel que pour toutA2 B(R) :

Corrig

´e :

1.Soit >0. NotonsQ=fqn;n1gles rationnels et posons :

2.P osonsF=Oc. AlorsFe?un ferm´e deRd"int´erieur vide. De plus, pour toutA2 B(R), on a

Exercice 6.(Ensembles de Cantor)

1.Mon trerque Ke?un compa?non d´enombrable d"int´erieur vide dont tous les points sont d"ac-

2.C alculerla mesure de Lebesgue de K.

3.On note K3l"ensemble de Cantor obtenu en posantdn=13

Corrig