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Série 1 Correction (corrigée le 26/02/2020) Exercice 1 Soit X un ensemble et A ⊂P(X) un ensemble de parties de X (1) Montrer que si A est une tribu, alors A

Corrigé : Oui, mais seulement la mesure nulle En effet, soit µ une mesure non 3 – Tribus Exercice 3 (Opérations sur les tribus) Soit F une tribu de Ω et B

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Donc f−1(P(E) est engendré par A et est la tribu : {A, AC,∅,Ω} Exercice 0 5 Soit µ une mesure finie sur (Ω,T ) 1) On a : AJ B = (

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UE LM364 LM365 Théorie de la Mesure et Intégration Année 2012–13 Tribus et fonctions mesurables 1 Exercices 1 Ensembles dénombrables (I) a

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Corrigé Il s'agit d'un exercice classique d'analyse Raisonnons par l'absurde en Soit B la tribu de Borel sur R et soit µ une mesure positive définie sur B telle

[PDF] Tribus et mesures

Décrire la tribu engendrée par les parties finies de X Exercice 5 a) Soit A = {A1, ,An} une partition finie d'un ensemble E

[PDF] µ

Exercice 4 Soit (X, T ) un espace mesurable tel que la tribu T contient les singletons Soit µ une mesure finie sur (X, T ) On note D = {x ∈ X t q µ({x}) > 0}

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Tribus Mesures 2 1 Rappels tr`es succints surl'intégrale de Riemann 2 2 Exemples de limites de sous-ensembles 4 3 Exemples élémentaires de tribus 5

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La théorie de la mesure est l'outil utilisé pour modéliser le hasard 2 1 Tribus et mesures 2 1 1 Tribus Dans la suite, on utilisera un ensemble Ω que l'on

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Série 1 Correction (corrigée le 26/02/2020) Exercice 1 Soit X un ensemble et A ⊂P(X) un ensemble de parties de X (1) Montrer que si A est une tribu, alors A

0=A;C1=BetCn=;=Xcpour toutn2. On aS

n2!Cn=A[B. De plus commeA est une tribu,S n2!Cn2 A, doncA[B2 A. Ainsi,Aest une algèbre d"ensembles. (2) Mon trerque si Aest une algèbre d"ensembles, alorsAest un anneau d"ensembles. Correction :SoitAune algèbre d"ensemble. Il s"agit de montrer queAest non-vide - cela fait partie de la définition d"algèbre - et que pour toutA;B2 A,AnB2 A. On considère donc A;B2 A. On aAnB= (Ac[B)c. CommeAest une algèbre,Ac2 A, puisAc[B2 Aet enfin

AnB2 A.

(3) Donner un exemple d"anneau d"ensem blesqui n"est pas une algèbre d"ensem bles. Correction :On peut prendre,P(R+): c"est une algèbre d"ensembles surR+, mais pas surR, carR=2 P(R+). De manière générale, un anneau d"ensemblesAsurXest une algèbre d"ensemble si et seulement siX2 A. (4) Soit X=ZetA=fAXjAouXnAest finig. Montrer queAest une algèbre d"ensembles surXmais pas une tribu. Correction :L"ensemble vide est fini par définition, doncZ2 AcarZc=;. SoitA2 A, de deux choses l"une : soitAest fini soitAcest fini. SiAest fini alorsA= (Ac)c est fini et doncAc2 A. SiAcest fini alorsAc2 A. Soient maintenantA;B2 A, on considère deux cas :AetBfinis, etAcouBc(ou les deux) fini. SiAetBsont finis,A[Best fini et doncA[B2 A. On passe au deuxième cas. On a (A[B)c=Ac\Bcet cet ensemble est manifestement fini, doncA[B2 A.

Ainsi,Aest une algèbre.

Pour toutn2!, le singletonfngest fini doncfng 2 A. Mais!=S n2!fngn"est pas fini et son complémentaire dansZnon plus, donc! =2 Aet doncAn"est pas une tribu. Exercice 2.SoitAun anneau. Montrer l"implicationA;B2 A )A\B2 A. Correction :SoientA;B2 A. On a :A\B= (A[B)n((AnB)[(BnA). CommeAest un anneau, A[B,(AnB)et(BnA)sont dansA, on en déduit que(AnB)[(BnA)2 Aet finalement que

A\B2 A.

Exercice 3.Dans cet exercice, on souhaite montrer que la tribu borélienneBRdeRest engendrée par

la familleF=fR>aja2Qg, i.e. queBR=(F). (1) Mon trerque tout sous-ensem blede la forme R(b1n+1)est dansF. Comme(F)est stable par passage au complémentaire,R(b1n+1)est dans(F). Comme ceci est vrai pour toutn2!,

On en déduit que

R a, or on sait queRasont dans(F), donc]a;b[2 F. (3)

Soit Wun ouvert deR. Montrer que

W=[ ]a;b[W; a;b2Q]a;b[:

On pourra utiliser le fait queQest dense dansR.

Correction :NotonsV=S

]a;b[W; a;b2Q]a;b[. On a clairementVW. On veut montrer l"autre inclusion. Soitx2W, commeWest ouvert, il est voisinage de chacun de ses points, en particulier dex. Il existe donc >0tel que]x;x+[W. CommeQest dense dansR, on peut se donner a;b2Qtel que x < a < x < b < x+: On a doncx2]a;b[]x;x+[W. De plus, on a clairement]a;b[V, doncx2V. Ceci montre queWVet finalement queW=V. (4) En déduire que tout ouv ertWdeRappartient à(F). Correction :D"après la question précédente, tout ouvert deRs"écrit comme une union d"in-

tervalles ouvert à bornes rationnelles. Il n"y a qu"un nombre dénombrable de tels intervalles. De

plus on sait que chacun de ses intervalles est dans(F), comme(F)est une tribu, elle est stable par union dénombrable et donc tout ouvert deRest dans(F). (5)

Conclure.

Correction :On vient de montrer que la tribu(F)contient tous les ouverts deRdonc on a B R(F). Inversement, tous les ensembles dansFsont des ouverts deR, donc(F) BR, et finalement(F) =BR. Exercice 4.SoientXun ensemble eth:X!R0une application. Montrer que l"application :P(X)!R0définie par(A) =P x2Ah(x)est une mesure.

Correction :On rappelle que la notion de somme positive utilisée ici est donnée par la première

définition du cours. Avec cette définition, on a bien(;) = 0. Il s"agit maintenant de vérifier que si

A2 P(X)!est disjoint, alors

n2!A n! =X n2!(An):

Par définition, on a :

n2!A n! = sup FS n2!An F???( X x2Ff(x)) et X n2!(An) = sup E! E???( X n2E(An)) = sup E! E???8 :X n2Esup F nAnF n???( X x2Fnf(x)) 9>= = sup E! E???8 >>:sup (Fn)n2EF nAn8n2E F n???8n2E( X n2EX x2Fnf(x))9>>>= = sup E! E???8 >>:sup (Fn)n2EF nAn8n2E F n???8n2E8 :X x2S n2EFnf(x)9 ;9

La troisième égalité est vraie car on fait commuter un sommefinieet unsup. SiEest un sous-ensemble

fini de!et si pour tout élément deE,Fnest un sous-ensemble fini deAn,S n2EFnest un sous-ensemble fini deS n2!An. Ceci implique que X n2!(An) [ n2!A n!

Réciproquement,

SiFest un sous-ensemble fini deS

n2!An, en posantFn=An\FetE=fn2!:Fn6=;g, on a F=S n2EFnet les ensemblesEetFnsont finis. Ceci montre que n2!A n! X n2!(An):

Finalement,

n2!A n! =X n2!(An): W=[ n2!i '(n)4 n+1;'(n) +4 n+1h 2X n2!14 n+1=24 114
=23 ?????? ??X? ???An???? ????? ?????? ????S n2!An=;? ?? ? ?????

0 =' [

n2!A n! =X n2!'(An) =X n2!0 = 0 ?? ????'S n2!AnP

1 =' [

n2!A n! ='(An0)X n2!'(An) ?? ????'S n2!AnP n2!? x??y? ?? ? ?fx;yg=fxg t fyg? ????

1 ='(fx;yg)6='(fxg) +'(fyg) = 1 + 1 = 2:

????? ??????B??X? ?? ? '(Bn ;) +'(B\ ;) ='(B) +'(;) ='(B)?? '(BnX) +'(B\X) ='(;) +'(B) ='(B): '(BnA) +'(B\A) ='(fyg) +'(fxg) = 26='(B): R 1=' [ k2!B k! 6X k2!'(Bk) = 0: X? (An)n2!2 P(X)!? ???? ????i? ?? ? ? i n2!A n! X n2! i(An)X n2!'(An); ????'S n2!AnP ?????(A)(B)? i(A) :=8 >:0??A=;;

1i+ 1??A??? ??? ??? ????;

+1??A??? ?????; A:=S n2!An??? ???? ????? ???? ??? ??? ???? ???? ?????? ?? A??? ???? ?? ???? ???An???? ???? ?? ????? ? i(A) = 0 =X n2!' i(An): i(A) =1i+ 1='i(An0)X n2!' i(An): ????? ?? A??? ?????? ???? ?? ??????n0??? ???An0??? ????? ?? ????? ? i(A) = +1='i(An0)X n2!' i(An); (nk)k2!? ?? ? ????? ? X n2!' i(An)X k2!' i(Ank) =X k2!1i+ 1= +1='i(A): ????? ???? ???? ??? ???? ?? ? ????'i(A)P ???? ????n2!? ?? ?(An) = infi2I'i(An) = infi2I1i+1= 0??(!) = infi2I'i(!) = inf i2I+1= +1? ????? +1= [ n2!A n! 6X n2!(An) = 0: H s(A) := inf(Fi)i2I2R(A)X i2I(diam(Fi))s ???? ????? ??????A??Rd? ????(An)n2!2 P(Rd)? ???? ??????n?? ???????(Fni)i2In2 R(An)? ?? ???????(Fi)i2I??? F H s n2!A n! X k2I(diam(Fk))s=X n2!X i2In(diam(Fni))s:quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20

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