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L3 Maths : Cours d'Integration (partie I)
Exercices corriges
NoureddineIgbida12012-2013
1. Institut de recherche XLIM, UMR-CNRS 6172, Faculte des Sciences et Techniques, Universite de
Limoges 123, Avenue Albert Thomas 87060 Limoges, France. Email : noureddine.igbida@unilim.fr
Table des matieres
0.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
0.2 Corrige des exercices : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40.1 Exercices
Exercice 0.1[ resultat reutilise ].
Soit un ensemble et (An)n2INune suite d'elements deP( ).On pose : B n=An\(n1[ p=0A p)CavecB0=A0
Montrer que :
n2INA n=[ n2INB n et que lesBisont disjoints deux a deux. (Cela signie que toute reunion denombrable peut s'ecrire comme reunion denombrable de parties deux a deux disjointes. On remarquera aussi que si lesAnsont des elements d'une tribuT, alors les B nappartiennent aussi a cette tribu.) Exercice 0.2[Application immediate et resultat utile ].
Soient
etEdeux ensembles etf: !Eune application.
1) siBest une tribu deE, on note :
T=f1(B) =ff1(B);B2 Bg
Montrer queTest une tribu sur
( appelee image reciproque de la tribuB).
Dans le cas ou
est une partie deEetfdenie parf(x) =xpour toutx, on a :T=f TB;B2
Bget on dit queTest la tribu de
induite par la tribuBdeE.
2) Exemple :
=f1;0;1;2g; E=f0;1;4g;B=P(E); f:x7!x2. 1
Cours d'Int
egration N. Igbida2
Determinerf1(P(E)).
3) SiTest une tribu de
, alorsf(T) =ff(B);B2 T gn'est en general pas une tribu deE.
Donner un exemple.
Exercice 0.3[Application immediate et resultat utile ] : Soit un ensemble etA2 P( ). Determiner la tribu engendree parC=fAg.
Exercice 0.4: Soient
etEdeux ensembles etf: !Eune application etCune partie de P(E). On veut montrer que l'image reciproque de la tribu engendree parCest la tribuTengendree par l'image reciproque deC.
1) Montrer que :
f
1(C)f1((C)) etT=(f1(C))f1((C))
2) On noteT0=fBE;f1(B)2 T g. Montrer queT0est une tribu deE, contenantC.
3) En deduire quef1((C)) est inclus dansf1(T0) et conclure .
4) Application :
=f1;0;1g; E=f0;1;2;3;4g, etf:x7!x2. Determinerf1(P(E)).
Exercice 0.5.
Soitune mesure nie sur (
;T).
1) Montrer que siAetBappartiennent aTalors :
(A[B) =(A) +(B)(A\B)
2) SiA,B,Csont dansTalors :
(A[B[C) =(A) +(B) +(C)(A\B)(A\C)(B\C) +(A\B\C)
Exercice 0.6.
Soit (
;T) un espace mesurable , (i)1in,nmesures sur ( ;T) et (ai)1in,nreels positifs.
PourAdansTon pose :
(A) =n X i=1a ii(A)
Montrer queest une mesure sur (
;T) notee=n X i=0a ii.
Exercice 0.7.
Soit (
;T) un espace mesurable, (i)i2IN, une suite de mesures sur ( ;T). PourAdansTon pose : (A) =X i2IN i(A)
1) Montrer queest une mesure sur (
;T), notee=X i2IN i.
2) On suppose que lesnsont des probabilites (c-a -d.n(
) = 1 ) et on considere une suite (pn)n2INde reels positifs tels queX n2INp n= 1.
Cours d'Int
egration N. Igbida3
Verier que=X
n2INp nnest une probabilite sur ( ;T).
3) Verier que la mesure discrete denie par :
=X n2INp nxnouxnest la mesure de Dirac au pointxn est telle que :
8A2 T(A) =X
n2INp nI1A(xn)
Exercice 0.8([Application immediate].
On considere les mesures suivantes sur (IR;B(IR)) : 1=X p2IN p2=X p2INp p3= oupest la mesure de Dirac enpetest la mesure de Lebesgue. Calculer pour chacune de ces mesures les mesures des ensembles suivants : pourn2IN; An= [n;n+ 1 + 1=n2]; Cn=n k=1A k; Dn=n k=1A k C=[ k2INA kD=\ k2INA k
Exercice 0.9.
On considere l'espace mesure (IR;B(IR);), (, mesure de Lebesgue); pourA2 P(IR) eta2IR on note :A+a=fx+atels quex2Ag. Soita2IR xe.
1) Montrer que :
T a=fA2 P(IR) tel queA+a2 B(IR)g est une tribu sur IR.
2) montrer queB(IR) Tapuis queB(IR) =Ta.
3) PourA2 B(IR) on pose(A) =(A+a) . Montrer queest une mesure sur (IR;B(IR)).
4) En deduire que pour toutA2 B(IR) , on a :(A+a) =(A) (invariance de la mesure de
Lebesgue par translation.
Cours d'Int
egration N. Igbida4
0.2 Corrige des exercices :
Exercice 0.1.
Pourn2IN on a :
B n=An\(n1[ p=0A p)C=An(n1[ p=0A p) on a :BnAn, d'ou[ n2INB n[ n2INA n
Soitx2[
n2INA n. Il existen02IN tel quex2An0. Soitn1le plus petit entier tel quex2An1, alors : x =2Appourp < n1, doncx2An1(n 11[ p=0A p) =Bn1[ n2INB n ainsi : n2INA n[ n2INB net[ n2INA n=[ n2INB n
Verions enn queBnTBm=;sim6=n.
x2Bn\B m()8 :x2Anetx =2AppourOpn1 et x2Ametx =2AppourOpm1 Si par exemplem < nalorsmn1 : il y a contradiction; lesBisont bien disjoints.
Exercice 0.2.
1)T=f1(B) =ff1(B) ;B2 Bg. Verions queTest une tribu :
=f1(E) etE2 Bdonc 2 T. * soitA2 Talors il existeB2 Btel queA=f1(B) , on a alorsAC=f1(BC) avecBC2 B, carB2 B; on a doncAC2 T. * soit (An)n2INune suite d'elements deT. Pour toutn2IN on aAn=f1(Bn) avecBn2 B.
Alors :
n2INA n=[ n2INf
1(Bn) =f1([
n2INB n)2 T
2) Exemple :P(E) admet 8 elements. Les elements de la tribuf1(P(E)) sont :f1(;) =;,
f
1(f0g) =f0g,f1(f1g) =f1;1g,f1(f4g) =f2g,f1(f0;1g) =f0;1;1g, etc. On verie que
l'on obtient dans ce cas 8 elements distincts.
3) Exemple :
=f0;1;2;3gE=f0;1;2getf:8 >:0!0 1!1 2!2 3!0
T=(f0;1g) =f;;
;f0;1g;f2;3gg f(T) =f;;E;f0;1g;f2;0ggmaisf0;1gC=f2g=2f(T)
Cours d'Int
egration N. Igbida5
Exercice 0.3.
On a :f;;
;A;ACg (fAg) . L'inclusion inverse decoule du fait queT=f;; ;A;ACgest bien une tribu : *Tcontient et le complementaire de chacun de ces elements. * Soit (An)n2INune suite d'elements deT; la reunion desAnest egale a une reunion nie d'elements distincts deT; or toute reunion de deux elements deTest dansT( faire la liste ...) donc toute reunion nie d'elements distincts deTest dansT.
Exercice 0.4.
1)C (C) doncf1(C)f1((C)); orf1((C)) est une tribu comme image reciproque d'une
tribu. Et donc(f1(C))f1((C))
2) soitT=(f1(C)) etT0=fBE;f1(B)2 T g. Montrons queT' est une tribu deE.
*E2 T0carf1(E) =
2 Tqui est une tribu de
* siB2 T0alorsf1(B)2 Tdonc (f1(B))C=f1(BC)2 T. On a doncBC2 T0. * soit (Bn)n2INune suite d'elements deT0. On a pour toutn2IN ,f1(Bn)2 Tdonc[ n2INf
1(Bn)2 T; d'ouf1([
n2INB n) =[ n2INf
1(Bn)2 T. On a donc[
n2INB n2 T0. SiA2 C, on a par denition deT,f1(A)2 Tdonc, par denition deT0, on aA2 T0.T0est donc une tribu contenantC
3) on a donc(C) T0, et par suitef1((C))f1(T0) T.
4) Application :P(E) est engendre parff0g;f1g;f2g;f3g;f4gg, doncf1(P(E) est engendre par
la famille formee des elements :A=f1(f0g) =f0g,f1(f1g) =f1;1g=AC, f
1(f2g) =f1(f3g) =f1(f4g) =;. Doncf1(P(E) est engendre parAet est la tribu :
fA;AC;;; g.
Exercice 0.5.
Soitune mesure nie sur (
;T).
1) On a :ASB= (AB)S(BA)S(ATB) ( faire un dessin ). On en deduit
(A[B) =(AB) +(BA) +(A\B) On deduit deA= (AB)S(ATB) que l'on a(A) =(AB) +(ATB) , on a aussi(B) = (BA) +(ATB).La mesure etant nie on peut soustraire, d'ou le resultat.
2) formerASBSCcomme reunion d'ensembles deux a deux disjoints, en s'aidant d'un dessin
eventuellement et proceder comme ci-dessus.
Exercice 0.6.
* on a evidemment(;) = 0 * Soit (An)n2INune suite d'elements deT, deux a deux disjoints . On a : k2INA k) =n X i=1a ii([ k2INA k) n X i=1a iX k2IN i(Ak) X k2INn X i=1a ii(Ak) =X k2IN(Ak)
Cours d'Int
egration N. Igbida6 ( propriete utilisee : Xu n+vn=Xu n+Xv n)
Exercice 0.7.
1) Montrons que=X
n2IN nest une mesure : * On a evidemment(;) = 0 * Soit (Ai)i2IN, une famille d'elements deTdeux a deux disjoints. On a : iA i) =X n2IN n([ iA i) =X n2IN(X i2IN n(Ai))-additivite desn X i2IN(X n2IN n(Ai)) interversion de l' ordre de sommation X i2IN(Ai)
2) Verions que si lesnsont des probabilites et si (pn)n2INest une suite de reels positifs de
\somme" 1 , alors=X n2INp nnest une probabilite.D'apres l'exercice 6 et ce qui precede, on sait queest une mesure. Il reste a constater que l'on a bien : ) =X np nn( ) =X np n= 1
3) Cas des mesures discretes : (xn) est une suite d'elements de
et (pn) une suite de reels positifs; xnest la mesure de Dirac enxn. Alors :
8A2 P(
)(A) =Xp nxn(A) =Xp nI1A(xn)
Exercice 0.8.
A
1= [1;3] , doncA1contient les trois entiers 1;2;3 :
1(A1) =X
p2IN p(A1) =1(A1) +2(A1) +3(A1) = 3 carp(A1) = 0 pourp >3. De m^eme ,2(A1) = 1:1+2:1+3:1 = 6. Pourn >1,Ancontient les deux entiersnetn+ 1, donc,1(An) = 2 et2(An) =n:1 + (n+ 1):1 = 2n+ 1. Enn pour toutnon a : (An) = 1 + 1=n2.Les autres calculs se font de maniere analogue. (Voir queCn= [1;n+ 1 + 1=n2] ,
C= [1;+1]D=Dn=;pourn >3.
Exercice 0.9.
1)- Montrons queTa=fA2 P(IR)= A+a2 B(IR)gest une tribu de IR :
IR +a= IR2 B(IR) donc IR2 Ta
SoitA2 Ta. On aA+a2 B(IR)
A
C+a=fx+a = x2ACg=fy = ya =2Ag
=fy = y =2A+ag= (A+a)C2 B(IR)
DoncAC2 Ta.
Cours d'Int
egration N. Igbida7 Soit (An)n2INune suite d'elements deTa; par hypothese,An+a2 B(IR) . n2INA n) +a=[ n2IN(An+a)2 B(IR) Donc nA n2 Ta.
2) Montrons queB(IR) Ta. Soitx2IR ety2IR .
]x;y] +a=]x+a;y+a]2 B(IR) donc ]x;y]2 Ta DoncTacontientB(IR) , plus petite tribu contenant les intervalles ]x;y]. De la m^eme maniere , on aB(IR) Ta. Soit alorsA2 Taon aA+a2 B(IR) doncA+a2 Ta , donc (A+a) + (a) =A2 B(IR) . Ceci prouve queTa B(IR)
3)- PourA2 B(IR) , on pose(A) =(A+a) . Montrons queest une mesure sur (IR;B(IR)) :
(;) =(;) = 0 Soit (An)n2INune suite d'elements deB(IR) deux a deux disjoints. Alors nA n) +a=[ n(An+a) et les (An+a) sont encore deux a deux disjoints. On a donc : nA n) =(([ nA n) +a) =([ n(An+a)) X n(An+a) =X n(An)
4)- Soitx2IR ety2IR . On a ]x;y] +a=]x+a;y+a] .D'ou :
(]x;y]) =(]x+a;y+a]) =yx=(]x;y]) etcoincident sur le semi-anneau des intervalles etest-nie donc ( theoreme III-3)et coincident surB(IR). On a donc :
8A2 B(IR)(A+a) =(A)
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[PDF] Intégration et probabilités TD — Tribus, mesures - Igor Kortchemski