Exercice 9 (Fonction impaire et bijective) Soit f : I → J une fonction impaire et bijective (I est donc symétrique par rapport à 0) Démontrer que J est symétrique
| Previous PDF | Next PDF |
[PDF] Fonctions réciproques - webusersimj-prgfr
Montrer que le produit de deux fonctions strictement croissantes et strictement positives est une fonction strictement croissante Exercice 6 2 Peut-on définir f ◦ g
[PDF] foncelementairesderivpdf
Montrer que f admet une fonction réciproque g dont on précisera les domaines de définition et de dérivabilité 2 Calculer g'(4) Exercice 3 : 1 On considère les
[PDF] 1 Bijection et fonctions réciproques - Licence de mathématiques
Exercice 9 (Fonction impaire et bijective) Soit f : I → J une fonction impaire et bijective (I est donc symétrique par rapport à 0) Démontrer que J est symétrique
[PDF] Feuille dexercices 7 Fonctions trigonométriques réciproques
Le graphe de admet des demi-tangente verticales en = −1 et en = 1 5 Exercice 5 Soit la fonction définie par ( ) = arcsin(
[PDF] Feuille 1 Fonctions réciproques & Dérivabilité Quelques Rappels
Exercice 1 Soit f une application continue d'un intervalle I de R dans R 1 Rappeler la nature “topologique” de f(I) 2 Montrer que si f est strictement monotone,
[PDF] 1 Dérivabilité Exercice 1 Exercice 2 2 Dérivée de fonctions
Utiliser un théor`eme du cours pour montrer, sans calculs, que f admet une fonction réciproque définie sur un domaine de définition `a déterminer Quelle est l'
[PDF] PCSI2 Fonctions usuelles Fiche 3 Bijection réciproque Exercice 1
Fonctions usuelles Fiche 3 Bijection réciproque Exercice 1 Soit f définie par f (x) = ln2 1 − 3x 2 + x 3 Préciser le domaine de définition de f, noté Df Montrer
[PDF] Semestre 1 TD 5 de Mathématiques 2017-2018 FONCTIONS
Généralités Exercice 1 : ⋆ On consid`ere la fonction f définie sur R+ par f(x) = x3 + 1 1 Justifier que f admet une application réciproque, notée f−1 Préciser
[PDF] Bijections et fonctions réciproques usuelles - Mathématiques PTSI
Exercice 4 : [corrigé] Montrer que l'application : f : C → C définie par : f(z) = z +2z est
[PDF] 1 Dérivée de fonctions composées Exercice 1 2 Existence de
Montrer que sh : R → R est une bijection et donner l'expression explicite de sa bijection réciproque, notée argsh b Calculer la dérivée de argsh c La fonction ch :
[PDF] exercices fonctions seconde bac pro
[PDF] exercices fonctions sinus cosinus terminale s
[PDF] exercices fonctions sinus et cosinus
[PDF] exercices fonctions type brevet
[PDF] exercices forces et mouvements secondaire 1
[PDF] exercices forme bilinéaire et quadratique
[PDF] exercices français pronoms relatifs simples
[PDF] exercices futur cm1 à imprimer
[PDF] exercices générateur et récepteur
[PDF] exercices grammaire ce2 nature et fonction
[PDF] exercices graphes orientés terminale es
[PDF] exercices graphes orientés tes
[PDF] exercices graphes probabilistes
[PDF] exercices graphes probabilistes tes
©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2015-20161 Exercices : Notion de bijection. De nouvelles fonctions usuelles
1 Bijection et fonctions réciproques
Exercice 1On notefla fonction sinus.
1. Déterminer les antécédents de
1 2.2. Déterminerf(R) etf-1(R+).
3. Déterminerf-1({5}) puisf-1({12}).
Exercice 2Déterminer pour chaque fonction des ensembles de départ et d"arrivée afin que la fonction soit une
bijection : f:x?→x4;g:x?→x3;h:x?→3x-2; ln; cos.Exercice 3Les applications suivantes sont-elles bijectives? Si, oui déterminer leur application réciproque.
1. exp :R→R+2.1exp:R→]0,+∞[. 3. cos : [0,π2]→[-1,1]
4. cos : [0,5π
2]→[-1,1] 5.f:R
+→Rdéfinie parf(x) =⎷x2+ 1. 6.f:R-→R+définie parf(x) =x2 Exercice 4On considère la fonctionf:R→Rdéfinie parf(x) =x+1 ex+ 1.1. Démontrer quefest une bijection.
2. Justifier quef-1est dérivable en12et calculer son nombre dérivé en12.
Exercice 5On posef:x?→x2+ 4x+ 1.
1. Montrer quefréalise une bijection de [-2,+∞[ sur son image (que l"on précisera) et déterminer la
réciproque associée.2. Déterminerf([-3,0]), f-1({-1}), f-1({-4}) etf-1([0,1[).
3. On noteφla fonction réciproque defrestreinte à [-2,+∞[.φest-elle dérivable en-3?
Exercice 6Montrer quef:x?→1-x21 +x2réalise une bijection deR+sur un intervalle à préciser. Donner la
fonction réciproque.Exercice 7Démontrer que deux droites symétriques par rapport à la droite d"équationy=xont des pentes
inverses l"une de l"autre.Exercice 8 (Opérations sur les bijections)
1. Soitf:E→Fetg:F→Gdeux bijections. Démontrer queg◦fest encore bijective et que
(g◦f)-1=f-1◦g-1.2. La somme de deux bijections est-elle une bijection?
Exercice 9 (Fonction impaire et bijective)Soitf:I→June fonction impaire et bijective (Iest doncsymétrique par rapport à 0). Démontrer queJest symétrique par rapport à 0 puis montrer quef-1est impaire.
Le résultat est-il vrai en remplaçant impaire par paire? ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2015-201622 Apprentissage des fonctions trigonométriques réciproques
Exercice 10 (Une étude de fonction)On désire étudier la fonctionfdéfinie parf(x) = cos3x+ sin3x.
1. Soitx?R, calculerf(x+π). En déduire une construction du pointM?de la courbe defd"abscissex+π,
à partir du pointMde la courbe defd"abscissex.
2. Soitx?[0,π]. Étudier le signe de sinx-cosx(on pourra écrire sinx+ cosxsous la formeAsin(t+φ)
ou raisonner géométriquement).3. Terminer l"étude def.
Exercice 11Calculer arcsin(sina),arccos(cosa),arctan(tana),arccos(sina) poura? {61π5,76π5,83π5}.
Exercice 12Représenter graphiquement sans calculatricex?→arcsin(sinx). Exercice 13Que vaut arccos(cosx) lorsquex?[6π,7π] puisx?[25π,26π]? Exercice 14 (Avec Maple ou la calculatrice)Maple ou votre calculatrice affirme que l"argument dez= -3 + 4iest-arctan43+πou arctan34+π2. Pourquoi?
Exercice 15L"application cos : [2π,3π]→[-1,1] est-elle bijective? Si oui, donner une expression de la fonction
réciproque. Exercice 16Donner un équivalent de arctan, arcsin et arccos en 0.Exercice 17Simplifier les expressions tan(arcsinx),cos(arctanx) après avoir donné leur ensemble de définition.
Exercice 18 (une étude modèle)On posef:x?→arcsin? x+1 x-1?1. Montrer que l"ensemble de définition defestR-.
2. Déterminer le ou les point(s) de la courbe d"ordonnée nulle et préciser la tangenteen ce ou ces point(s).
3. Étudier la fonction.
Exercice 19Simplifier les expressions arccosx+ arcsinxet arccosx+ arccos(-x) après avoir donné leur en-
semble de définition (on pourra dériver). Exercice 20Soitxetydes réels tels quexy?= 1. Simplifier arctanx+y1-xy-arctanx-arctany(on pourra
dériver).Exercice 21Soitfla fonction définie sur [π
2,π[ parf(x) =1sinx. Montrer quefréalise une bijection de
l"intervalle [2,π[ sur un ensemble à préciser. Déterminer alors l"expression def-1à l"aide de arcsin.
Exercice 22Résoudre dansRles équations
1. arccosx= 2arccos3
4(on pourra appliquer cos). 2. arcsin11+x2+ arccos35=π2(on pourra appliquer sin).
3. arccosx= arccos1
4+ arccos134. arccos(x) = 2arccos(-1).
5. arccosx= arcsin2x. 6. arcsinx+ arcsin⎷
1-x2=π2.
7. 2arcsinx= arcsin(2x⎷
1-x2).
Exercice 23Le but de l"exercice est de résoudre dansRl"équation arctan2x+ arctanx=π 4.1. Démontrer que la fonctionf:x?→arctan2x+ arctanxréalise une bijection deRsur un intervalle à
préciser. En déduire que cette équation admet une unique solutionα.2. Déterminerαen utilisant la formule d"addition de la tangente.
©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2015-201633 Apprentissage des fonctions hyperboliques
Exercice 24 (Deux inégalités)
1. Démontrer que pour toutt?0,sht?t.
2. Soitx?0. Démontrer en calculant?x
0sh (t)dt, que
chx?1 +x2 2.3. L"inégalité précédente reste-t-elle vraie pourxnégatif?
Exercice 25CalculerC=n?
k=0ch (a+kb) etS=n? k=0sh (a+kb) aveca,bréels etb?= 0. Exercice 26 (Un peu de trigonométrie hyperbolique)Soitxetydes réels. Démontrer que sh (x+y) = shxchy+ shychxet ch (x+y) = chxchy+ shxshy.4 Fonctions hyperboliques réciproques
Exercice 27 (Découverte de argch)Nous allons démontrer par deux méthodes différentes que ch et sh
réalise des bijections sur des intervalles que l"on précisera. On notera argsh et argch les fonctions réciproques
obtenues. Nous allons le faire pour ch, les preuves sont du même genre pour sh.1. Expression logarithmique des fonctions réciproques
(a) Au vu du graphe de ch , proposer deux intervallesIetJtels que ch :I→Jsoit bijective.(b) Méthode avec de "l"analyse» : prouver que ch est une bijection de [0,+∞[ sur un intervalle à préciser.
(c) Méthode avec de l"algèbre :y?J. Résoudre dansI, l"équationy= chx(on pourra montrer que ex
est racine d"un polynôme de degré 2).2. Démontrer à l"aide de la relation ch
2-sh2= 1, que :
?t?1,sh (argch (t)) =? t2-1.3. Démontrer que argch est dérivable sur un intervalle que l"on précisera et donner sa dérivée.
4. En déduire la valeur deI=?4
21⎷t2-1.
5. Étudier et représenter argch .
Exercice 28 (Une étude de fonctions)Soitfla fonction définie par f(x) = argch (x2-5x+ 7).1. Donner l"ensemble de définition def.
2. Sur quel ensemblefest-elle dérivable? Donner sa dérivée.
3. Sachant que argch (t) = ln(t+⎷
t2-1), donner un équivalent de argch en +∞.4. Terminer l"étude defet préciser le comportement defen +∞.
Exercice 29 (Réciproque de Tangente hyperbolique)On pose pourx?R, thx=shx chx.1. Justifier que th est dérivable, exprimer sa dérivée à l"aide de th puis de ch. En déduire quela fonction th
réalise une bijection deRsur un intervalle à préciser. On note argth sa fonction réciproque.