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Portail Maths et applications - L1Analyse 1

Universite Rennes 12018{2019

Feuille n

o3 : Derivabilite 1

D erivabilite

Exercice 1En utilisant simplement la denition de la derivee comme limite, montrer l'existence et calculer

la derivee des fonctions suivantes : (a)x7!x2+x;(b)x7!px+ 1;(c)x7!1x+ 2:

Exercice 2Pour chacune des fonctions suivantes :

(a)x7!cos(xln(x));(b)x7!px 2+ex; (c)x7!lnln((x);(d)x7!cos(x)1 + 2sin(x) 1. D eterminerles domaines de d enitionet de d erivabilitede la f onction, 2. Utiliser les r esultatsc oncernantla d eriveed'une s omme,d'un pro duit,d 'unquotien te td'une composee pour calculer la derivee en tout point du domaine de derivabilite. 2

D eriveede fonctions comp osees

Exercice 31.La fonctionRn f0g 3x7!lnjxj 2Rest-elle derivable sur son domaine de denition?

2.On considere l'expression

12 lnx+ 1x1 Montrer qu'elle permet de denir une applicationf(dont on precisera le domaine de depart et le domaine d'arrivee).

3.Montrer quefest derivable et calculer sa derivee.

3

In egaliteset extr emas

Exercice 4Pour chacune des fonctions suivantes, et leurs domaines de denition respectifs, determiner les

minima, maxima locaux et globaux quand ils existent. (a) (x21)2;(b)x2+ 2x3;26x62:

Exercice 5Soitf(x) =jx24j.

a)

D eterminerles p ointscritiques de f.

b)D eterminerles minima, maxima lo cauxet globaux de f.

Exercice 6Montrer que8x>0;ln(1 +x)>xx22

Exercice 7Montrer les inegalites suivantes :

1.

P ourtout x>0;on a (1 +x)13

61 +13

x: 2.

P ourtout x2R;on ajsinxj6jxj.

3.

P ourtout x>0, on ax1+x6ln(1 +x)6x:

4

V ariationsde fonctions

Exercice 8On considere la fonctionfdenie par

f(x) =x3+xx 21:
1. D eterminerle domaine de d enitionde fet sa parite. 2.

Mon trerque f0(x) a le m^eme signe quex44x21.

3.

En d eduireles v ariationsd ef.

4.

D eterminerles asymptotes du graphe de f.

5.

T racerle graphe de f.

Exercice 9On considere la fonctionfsuivante

f(x) =px

2+ 1x:

1. D eterminerle domaine de d enitionDdefet sa parite eventuelle. 2.

Mon trerque f(x)>0 pour toutx2 D.

3. Mon trerque f0(x) etf(x) sont de signes opposes pour toutx2 D. 4.

En d eduireles v ariationsd ef.

5. Mon trerque, p ourtous r eelsp ositifsaetb(dont la somme est strictement positive), papb=abpa+pb 6.

D eterminerles limites de fen +1et1.

7.

D eterminerles asymptotes du graphe de f.

8.

T racerle graphe de f.

Exercice 10Etudier les variations et tracer le graphe des fonctions suivantes. (f0(x) = ln(1 +x4); f1(x) =xln(x);(b)f2(x) =x2ln3ex+ 3;

Exercice 11Soitfla fonction denie par

f(x) =x+ 3Arctanxlnx1x+ 1:

1.D eterminerle signe de

x1x+1selon les valeurs dex. 2.

En d eduirele domaine de d enitionDfdef:

3.

V erierque fest impaire.

4.

Mon trerque p ourtout x2 Dfon a

f

0(x) =x4+x26x

41
5. En d eduireque le signe de f0(x) est celui dex4+x26. 6.

Etudier les v ariationsde f.

5

F onctionsr eciproques

Exercice 12On poseD=Rn13

. Soitf:D!Rla fonction denie par

8x2D; f(x) =2x3x1:

1.Determinerf(D).

2.La fonctionfest-elle injective?

3.On considereg:D3x7!f(x)2f(D). Expliquer pourquoigest bijective et expliciter sa

reciproque.

4.Esquisser les graphes degetg1sur un m^eme dessin.

Exercice 13On poseI=]3;+1[ et on considereI3x7!f(x) = 512x2x22R.

1.Montrer quefest strictement decroissante et realise une bijection sur son image (bijection

qu'on appellera encoref). Donner la bijection reciproque.

2.Esquisser le graphe defet le graphe de son inverse sur un m^eme dessin.

Exercice 14Etudier les variations et tracer le graphe des fonctions suivantes. f(x) = arcsin2x1 +x2 ; g(x) = Arctanx+ Arctan1x ; h(x) = sh1x

Exercice 15Soitfla fonction denie par

f(x) =2px 2+ 3: 1.

D eterminerle domaine de d enitionDfdef.

2. T rouverun sous-domaine DDftel quefsoit une bijection deDsurf(D). 3. Utiliser un th eoremedu cours p ourmon trer,sans calculs, que fadmet une fonction reciproque denie sur un domaine de denition a determiner. Quelle est l'image def1? 4.

T racerfet sa reciproquef1dans un m^eme repere.

5. T rouverpar le calcul l'expression de f1. Retrouver les resultats precedents.

Exercice 16Simplier les expressions suivantes.

(a) cos(arcsin(x));sin(arcsin(x)); x2R; (b) arcsin(sin(x)); x2h 2 ;2 i (c) arcsin(sin(x)); x22 ;32

6F onctionstrigonom etriquesr eciproques

Exercice 17Trouver des exemples numeriques pour montrer qu'en general arctan(x)6=arcsin(x)arccos(x):

Exercice 18Simplier les expressions suivantes :

1.sin(arcsin(x)), pourx2R,

2.arcsin(sin(x));pourx2[2

;2

3.arcsin(sin(x));pourx2[;3],

4.arcsin(sin(x)), pourx2[32

;52

5.cos(arcsin(x)),

6.sin(arctan(x)).

Exercice 19Donner le domaine ou les fonctions suivantes sont denies et derivables et determiner la derivee

sur ce domaine : (a)f1(x) =xln(x)+ arcsin(x2); (b) arctanx+ 1x ; (c) arccos(2x21): 7

F onctionstrigonom etriquesh yperboliques

Exercice 20On considere les fonctions denies surRet a valeurs dansRpar :

8x2Rsh(x) =exex2

;ch(x) =ex+ex2 1. a.

Etablir que, pour tout (a;b)2R2,

ch(a+b) = ch(a)ch(b) + sh(a)sh(b): b.Montrer que, pour toutx2R, ch2xsh2x= 1. 2. a. Montrer que sh :R!Rest une bijection et donner l'expression explicite de sa bijection reciproque, notee argsh. b.Calculer la derivee de argsh. c.La fonction ch :R!Rest-elle surjective, injective? d.On considere maintenant ch : [0;+1[![1;+1[. Montrer que la fonction est bien denie et qu'il s'agit d'une bijection dont on calculera la reciproque, notee argch. e.Calculer la derivee de argch.

8F onctionsde plusieurs v ariables

Exercice 21Determiner les domaines de derivabilite des applications suivantes, puis calculer leurs derivees

partielles.

1.L`applicationh:R27!Rdenie parh(x;y) =x2+y2.

2.L'applicationfdeR37!Rdenie parf(x;y;z) =xy2z.

3.L'applicationgdeR27!Rdenie parg(u;v) =uvev.

4.L'applicationk:R27!Rdenie park(x;y) = sin(xy2).

5.L'applicationl:R37!Rdenies parl(u;v;w) =uvw:

Exercice 22Determiner puis representer graphiquement le domaine de denition des fonctions suivantes :

1.f1(x;y) = cos(x+ 2y+ 1)

2.f2(x;y) =px+y+ 1x1

3.f3(x;y) =jxyj

4.f4(x;y;z) =px+py+pz+ ln(4x2y2z2)

Determiner les domaines de derivabilite des derives partielles, puis les calculer. 9

P ouraller plus loin

Exercice 23Determinera,b2Rpour que la fonction denie surR+par f(x) = pxsi 06x61 ax

2+bx+ 1 sinon

soit derivable surR+. Exercice 24Calculer les limites suivantes au besoin a l'aide de la regle de l'H^opital : (a) limx!0

1sin(x)1tan(x)

;(b) limx!0x1p1x;(c) limx!0

1sin(x)1x

Exercice 25Utiliser la denition des derivees pour calculer les limites suivantes : (a) limx!1x

2+ 6x7x1;(b) limx!1x

21px1;(c) limx!2

4x 241x2
Exercice 26Soita,b2Ret soitn2N. A l'aide du theoreme de Rolle, montrer que le polyn^ome

P(X) =Xn+aX+b

admet au plus trois racines reelles distinctes.quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26