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Montrer que le produit de deux fonctions strictement croissantes et strictement positives est une fonction strictement croissante Exercice 6 2 Peut-on définir f ◦ g 

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Montrer que f admet une fonction réciproque g dont on précisera les domaines de définition et de dérivabilité 2 Calculer g'(4) Exercice 3 : 1 On considère les 

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Exercice 9 (Fonction impaire et bijective) Soit f : I → J une fonction impaire et bijective (I est donc symétrique par rapport à 0) Démontrer que J est symétrique  

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Le graphe de admet des demi-tangente verticales en = −1 et en = 1 5 Exercice 5 Soit la fonction définie par ( ) = arcsin(  

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Exercice 1 Soit f une application continue d'un intervalle I de R dans R 1 Rappeler la nature “topologique” de f(I) 2 Montrer que si f est strictement monotone, 

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Utiliser un théor`eme du cours pour montrer, sans calculs, que f admet une fonction réciproque définie sur un domaine de définition `a déterminer Quelle est l' 

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Fonctions usuelles Fiche 3 Bijection réciproque Exercice 1 Soit f définie par f (x) = ln2 1 − 3x 2 + x 3 Préciser le domaine de définition de f, noté Df Montrer 

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Généralités Exercice 1 : ⋆ On consid`ere la fonction f définie sur R+ par f(x) = x3 + 1 1 Justifier que f admet une application réciproque, notée f−1 Préciser 

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Exercice 4 : [corrigé] Montrer que l'application : f : C → C définie par : f(z) = z +2z est 

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Montrer que sh : R → R est une bijection et donner l'expression explicite de sa bijection réciproque, notée argsh b Calculer la dérivée de argsh c La fonction ch : 

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Semestre 1 TD 5 de Math´ematiques 2017-2018

FONCTIONS RECIPROQUES

Capacit´es attendues autour des fonctions r´eciproques : •Justifier l"existence d"une application r´eciproque. •D´eterminer des images par une application r´eciproque. •D´eterminer l"expression d"une application r´eciproque. •Manipuler les fonctions arcsin, arccos et arctan. •D´eterminer une mesure d"angle `a l"aide de la fonction arctan.

G´en´eralit´es

Exercice 1 :?

On consid`ere la fonctionfd´efinie surR+par

f(x) =x3+ 1

1. Justifier quefadmet une application r´eciproque, not´eef-1.

Pr´eciser pour ces deux fonctions les domaines de d´efinition et d"arriv´ee (espace image).

2. D´eterminer, parf-1, les images de 1 et 9.

3. D´eterminer l"expression def-1.

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Exercice 2 :??

On consid`ere la fonctionfd´efinie surRparf(x) =-x2+ 6x. 1. ´Etudier les variations def.fadmet-elle une application r´eciproque surR?

2. D´eterminer la fonction r´eciproque correspondant `a chaqueintervalle de stricte monotonie de la

fonctionf.

3. Donner l"allure de la repr´esentation graphique de chaque fonction r´eciproque.

4. ´Etudier la d´erivabilit´e de ces fonctions r´eciproques. Fonctions r´eciproques associ´ees aux fonctions circulaires

Exercice 3 :??

1. D´eterminer les valeurs de tan0 et tan

4. En d´eduire les images de 0 et 1 par la fonction arctan.

2. Donner l"allure de la courbe de la fonction arctan.

3. D´eterminer la d´eriv´ee de la fonctioncompos´eef:x?→arctan?1

x?.

4. Donner l"allure de la courbe de la fonctionf:x?→arctan?1

x?.

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Exercice 4 :??

1. Simplifier les expressions suivantes :

A= arcsin?sin21π

4?;B= sin?

arcsin? 2 2?? ;C= cos?arcsin?-12??.

2. En utilisant la fonction arctan,d´eterminer un argument des nombres complexes suivants :

z

1= 1 +j;z2= 2-2j;z3=-1-⎷

3jetz4=-5⎷3 + 5j.

3. Montrer que, pour toutx >0, on a : arctan(x) + arctan?1

x?=π2.

4. On consid`ere la fonctionfd´efinie par :f(t) = sin(ωt) +⎷

3cos(ωt).

Exprimerfsous la formef(t) =Asin(ωt+?) en d´efinissant?`a l"aide de arctan).

Exercice 5 :? ? ?

En consid´erantπ

2-arcsinx, montrer que : arcsinx+ arccosx=π2pour toutx?[-1;1].

Exercice 6 :? ? ?

Montrer que, pour toutx?]-1;1], on a l"´egalit´e suivante : 2arctan? 1-x

1+x= arccos(x).

Fonctions r´eciproques associ´ees aux fonctions hyperboliques

Exercice 7 :? ? ?

On consid`ere les fonctions cosinus et sinus hyperboliques d´efiniessurRrespectivement par : coshx=ex+ e-x

2et sinhx=ex-e-x2.

1. ´Etudier les variations de ces deux fonctions et ´etablir leurs tableaux de variations.

2. Montrer que, pour toutxr´eel, on a : cosh2x-sinh2x= 1.

3. R´esoudre, surR, l"´equation : coshx= 2.

4. Justifier que la fonction argcosh,fonction r´eciproque de la restriction de cosh `aR+, d´erivable

sur ]1; +∞[ est telle que : ?t >1, (argcosh)?(t) =1 ⎷t2-1. En d´eduire que :?t≥1,argcosh(t) = ln?t+⎷ t2-1?.

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