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§1: Relation entre les cotés et un angle du triangle C'est la formule a2 = b2 + c2 – 2bc cos A^ Pour l'établir on utilise (par exemple) le produit scalaire; ce n'est 

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Relation métrique et trigonométrique dans un triangle II) Relation métrique 1) Égalité de Pythagore Formule de duplication : cos(2a) = cos² a – sin² a

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Théorème des relations métriques dans le triangle rectangle On distingue quatre relations BD x BA → BC = BDxBA → a = nc Formule importante: a = nc 

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0,π des angles non orientés opposés aux cotés [ ][ ][ ] , , , , , BC AC AB 1) Relations metriques et trigonometriques a) Formule d'AL-KASHI Theoreme 1: 2 2 2

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Relations métriques dans le triangle rectangle Cette définition va nous permettre de pouvoir donner une autre formule de l'aire d'un triangle quelconque ,

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c est la longueur du côté opposé à l'angle C soit c = AB, S est l'aire du triangle ABC 1) Formule d'Al Kashi a) Exprimer b 2 en fonction de AH et HC 

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Relations métriques dans le triangle rectangle Rappel Par la transitivité de la relation de Comme les deux formules donnent la même aire, on peut poser:

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14 août 2015 · Théorème 35 4 — Formule des 3 sinus Soit ABC un triangle (on note a = BC, b = AC, c = BA), S l'aire de se 

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23 mar 2017 · On suppose connues les formules de trigonométrie dans un triangle rectangle (a ) RM1 : AC2 = CH × CB (b) RM2 : AB2 = BH × BC (c) RM3 

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Sylvain Lacroix 2005-2010 - 1 - www.sylvainlacroix.ca Théorème des relations métriques dans le triangle rectangle On distingue quatre relations métriques à partir du triangle rectangle suivant :

Figure 1

Pour que cela fonctionne, je dois avoir absolument TROIS triangles rectangles : un petit, un moyen et un grand. 1. La mesure de chaque cathète est moyenne proportionnelle à sa projection sur l"hypoténuse et celle de l"hypoténuse entière

Cathète a

Preuve : comparons les triangles ABC et BCD

Tableau 1

Affirmations Justification

L"angle B C"est le même angle pour le triangle

ABC et BCD

L"angle BDC et ADC C"est un angle droit

Les triangles ABC et BCD sont

semblables Par le cas de similitude A-A Donc, nous pouvons faire la proportion de côté homologue. BC BA BD BC=  BC2 = BD x BA  BC = BDxBA  a = nc

Formule importante: a = nc

Sylvain Lacroix 2005-2010 - 2 - www.sylvainlacroix.ca Cathète b

Preuve : comparons les triangles ABC et ACD

Tableau 2

Affirmations Justification

L"angle A C"est le même angle pour le triangle

ABC et ACD

L"angle ADC et ACB C"est un angle droit

Les triangles ABC et ACD sont

semblables Par le cas de similitude A-A Donc, nous pouvons faire la proportion de côté homologue. AC AB AD AC=  AC2 = AD x AB  AC = ADxAB  b = mc

Formule importante:

b = mc

2. La mesure de la hauteur issue de C est moyenne proportionnelle

entre les mesures des deux segments sur l"hypoténuse.

Hauteur h

Preuve : comparons les triangles ACD et BCD

Affirmations Justification

L"angle BCD = L"angle CAD Les triangles BCD et ABC sont semblables (voir tableau 1). Donc, l"angle BCD est homologue et congru à l"angle CAD. L"angle BDC = L"angle ACD Ce sont deux angles droits car le segment

CD est une hauteur.

Les triangles ACD et BCD sont

semblables. Par le cas de similitude A-A Donc, nous pouvons faire la proportion de côté homologue. CD BD AD CD=  CD2 = AD x BD  CD = ADxBD  h = mn

Formule importante: h = mn

Sylvain Lacroix 2005-2010 - 3 - www.sylvainlacroix.ca

3. Le produit de l"hypoténuse et la hauteur est égal au produit des

cathètes. Si on se concentre sur le grand triangle rectangle ABC, il y a deux façons de calculer son aire.

Aire d"un triangle 

2 bxh Première façon : on considère les cathètes comme base et hauteur. 2

ACxBCA=

Deuxième façon : on considère l"hypoténuse comme base et on a déjà sa hauteur 2

ABxCDA=

Maintenant, les deux formules d"aire donnent le même résultat 2

ACxBC =

2 ABxCD  ACxBC = ABxCD  ab = ch

Formule importante: ab = ch

Exemple :

Trouvons la mesure c.

Figure 2

En prenant la formule ch = ab, cela donne

 c*4,8 = 6*8  c*4,8 = 48  c = 10

Nous avons que c = 10.

Trouvons n.

En prenant la formule a =

nc, cela donne  6 = 10*n  36 = n*10 (en élevant chaque côté au carré)  n = 3,6

Trouvons m.

Sylvain Lacroix 2005-2010 - 4 - www.sylvainlacroix.ca On sait que n + m = c selon la figure 2.

3,6 + m = 10  m = 6,4

On peut vérifier avec deux formules :

a. Soit avec la formule b = mc. 8 =

10*m  64 = m*10 (en élevant chaque côté au carré)

m = 6,4. b. Soit avec la formule h = mn 4,8 =

6,3*m 23,04 = m*3,6 (en élevant chaque côté au carré)

m = 6,4quotesdbs_dbs43.pdfusesText_43