Relations métriques dans le triangle rectangle Rappel Par la transitivité de la relation de Comme les deux formules donnent la même aire, on peut poser:
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§1: Relation entre les cotés et un angle du triangle C'est la formule a2 = b2 + c2 – 2bc cos A^ Pour l'établir on utilise (par exemple) le produit scalaire; ce n'est
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Relation métrique et trigonométrique dans un triangle II) Relation métrique 1) Égalité de Pythagore Formule de duplication : cos(2a) = cos² a – sin² a
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Théorème des relations métriques dans le triangle rectangle On distingue quatre relations BD x BA → BC = BDxBA → a = nc Formule importante: a = nc
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0,π des angles non orientés opposés aux cotés [ ][ ][ ] , , , , , BC AC AB 1) Relations metriques et trigonometriques a) Formule d'AL-KASHI Theoreme 1: 2 2 2
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Relations métriques dans le triangle rectangle Cette définition va nous permettre de pouvoir donner une autre formule de l'aire d'un triangle quelconque ,
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c est la longueur du côté opposé à l'angle C soit c = AB, S est l'aire du triangle ABC 1) Formule d'Al Kashi a) Exprimer b 2 en fonction de AH et HC
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Relations métriques dans le triangle rectangle Rappel Par la transitivité de la relation de Comme les deux formules donnent la même aire, on peut poser:
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14 août 2015 · Théorème 35 4 — Formule des 3 sinus Soit ABC un triangle (on note a = BC, b = AC, c = BA), S l'aire de se
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23 mar 2017 · On suppose connues les formules de trigonométrie dans un triangle rectangle (a ) RM1 : AC2 = CH × CB (b) RM2 : AB2 = BH × BC (c) RM3
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La hauteur issue de l'angle droit d'un triangle rectangle forme trois triangles semblables.
Affirmations Justifications
Le CDB et leCDA sont rectangles.Une hauteur est un segment abaissé d'un sommet perpendiculairement sur le côté opposé. B C DA hRelations métriques dans le triangle rectangle
Rappel Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)Séparons le et le CBDCBA.
C ABB C DA h B C D1)CDB~=BCA
3)CBD~CBA
Affirmations Justifications
1) Ce sont deux angles droits.
2)B~=B2) Angle commun aux deux triangles.
3) Propriété AA.Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
B C DA h B C A C ADSéparons le et le CADCBA.
1)BCA~=CDA
3)CBA~CDA
Affirmations Justifications
1) Ce sont deux angles droits.
2)A~=A2) Angle commun aux deux triangles.
3) Propriété AA.Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
B C DA h B C D C ADAffirmations Justifications
CBD~CBA
etCBA~CDA
doncCBD~CDA
Par la transitivité de la relation de
similitude.Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) hc dh À partir de ces cas de similitude des triangles, on peut poser quelques proportions. b ecdB C DA h a B C Dc ha C AD b d hPrenons les deux petits triangles;
C A D bd hFaisons subir une rotation de 900au
triangle CDA.En utilisant les rapports des côtés
homologues, posons la proportion suivante: En multipliant les extrèmes entre eux et les moyens entre eux, on obtient: h2= cdPrint to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)Replaçons les triangles à leur place.
b ecdB C DA h a hc dh= h2= cd La mesure de la hauteur issue de l'angle droit est moyenne proportionnelleentre les mesures des deux segments qu'elle détermine sur l'hypoténuse.Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
ac ea B C Dc h aComparons le triangle CBD et le triangle CBA.
b e B C A a =En utilisant les rapports des côtés homologues, posons la proportion suivante: a2= cePrint to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) b e B C A aReplaçons les triangles.
ac ea a2= ce cDPrint to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) C AD b d hComparons le triangle CBA et le triangle CDA.
b e B C A a =En utilisant les rapports des côtés homologues, posons la proportion suivante: bd eb B e a CbA b2= dePrint to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)Replaçons les triangles.
b e B C A a bd eb b2= de D h dPrint to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) b ecdB C DA h a a2= ce ac ea= b2= de bd eb= La mesure de chaque cathète est moyenne proportionnelle à sa projection surl'hypoténuse et celle de l'hypoténuse entière.Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Le produit des cathètes est égal au produit de la hauteur par l'hypoténuse. b B C A h a On peut calculer l'aire de ce triangle de deux façons:A = a X b
2 ouA = e X h 2 Comme les deux formules donnent la même aire, on peut poser:A = A
donc a X b = e X h a X b 2 e X h 2 ab = eh ba h eeeePrint to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)En résumé,
ec ab ed cd h h2= cdab= eh a2= ceb2= de e h abPrint to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) B A DC Sachant m AD = 15 cm et m BD = 9 cm, trouve m DC .Problème 1
( m AD )2= m BD X m DC152= 9 X m
DC225 = 9 X m DC
= m DC225 9 = m DC25m DC= 25 cm 159?Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
Problème 2
B A DC Sachant m BD = 9 cm et m DC = 16 cm, trouve m AD . ( m AD )2= m BD X m DC m AD= 12 cm ( m AD )2= 9 X 16 ( m AD )2= 144 +12 et -12à rejeter
( m AD ) = 144= 916?Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) B C DA Sachant m BC = 6 cm, m DC = 4,8 cm et m CA = 8, trouve m AB . 64,8
8 m BCXm CA=m CDXm AB m AB6 X 8 = 4,8 X m AB48 = 4,8