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Exemple : Reprenons l'exemple 2 du 1 Si la suite ( )n U converge, alors sa limite L sera solution de l'équation matricielle L AL C

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Complément Matrices 2 : Suite de Matrices - Convergence 2012-2013 I Suite Un+1 = AUn Soit p ∈ N Pour tout n ∈ N, Un est une matrice colonne à p lignes  

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TS-SpéComplément Matrices 2 : Suite de Matrices - Convergence2012-2013

I SuiteUn+1=AUn

Soitp?N. Pour toutn?N,Unest une matrice colonne àplignes (? Mp1(R)).Aest une matrice carrée d"ordre

p(? Mp(R)).

I.1 Expression deUnen fonction den

Si l"on sait calculerAn, on peut exprimerUnen fonction den. En effet, commeUn=AUn-1=A(AUn-2) =A2Un-2=...=AnU0. On peut démontrer cette propriété par récurrence. Soit, pour tout entier natureln?N, la propriétéP(n) :Un=AnU0. •Initialisation:n= 0 etA0=IpetU0=IpU0doncP(0) est vraie. •Hérédité: Démontrons que pour toutn?N?P(n) vraie impliqueP(n+ 1) vraie.

P(n)estvraie?............

doncP(n+ 1) est vraie.

•Conclusion :Ainsi, d"après le principe du raisonnement par récurrence,pour tout entier natureln?N?,

Un=AnU0.

I.2 Limite d"une suite de matrices

En enseignement obligatoire de mathématiques, l"étude d"une suite de nombres réels conduit à la recherche d"une

limite (si elle existe : cas des suites convergentes). Les matrices étant définies comme des tableaux de nombres réels,

il est donc naturel de se poser la question d"une matrice " limite » d"une suite de matrices.

Ainsi :

Définition 1Une suite de matrices(Un)n?N(toutes dans? Mp1(R)) converge vers une matriceLsi les coefficients

deUn(suites réelles) convergent les coefficients deLcorrespondants (limites des suites réelles).

En pratique, pour déteminer cette limite, on exprimeUnen fonction denet on étudie la limite des coefficients de

U n.

Remarque 1La matriceLvérifie la relation :

L=AL?(A-Ip)L= 0

Exemple 11. Devoir 3 (Suite écriteUn+1=UnAavecUnmatrice ligne)

2. Une marche aléatoire :

4?? 3 ??2??1

Écrire la matrice de transitionA-→

(Xn)est une suite de variables aléatoires :Xn=1, 2, 3 ou 4; position aprèsnétapes. U n=(((p(Xn= 1) p(Xn= 2) p(Xn= 3) p(Xn= 4)))) . Écrire la relation entreUn+1etUn. Rechercher la limite éventuelle Lavec un logiciel ou une calculatrice en prenant différentes valeurs deU0(suivant que l"on part de 1, de 2, etc ... ).

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TS-SpéComplément Matrices 2 : Suite de Matrices - Convergence2012-2013

II SuiteUn+1=AUn+B(?)

Soitp?N. Pour toutn?N,Unest une matrice colonne àplignes (? Mp1(R)).Aest une matrice carrée d"ordre

p(? Mp(R)).Best une matrice colonne àplignes (? Mp1(R))

II.1 Expression deUnen fonction den

•Méthode 1: Il existe une matriceXde? Mp1(R) qui vérifieX=AX+B(la matriceXvérifie (?)), on a donc :

?Un+1=AUn+B

X=AX+B=?différenceUn+1-X=A(Un-X)

En posant, pour toutn?N,Vn=Un-X, on obtientVn+1=AVnet l"on est ramené à la situation précédente :?Vn+1=AVn

V n=Un-X??Vn=AnV0 U n=Vn+X?

Un=An(U0-X) +X

Remarque 2Cette méthode est analogue à celle utilisée pour des suites réelles récurentes du typeun+1=aun+b

aveca?= 0 eta?= 1. On cherche le réelxtel quex=ax+b, soitx=b

1-a. La suite (vn) définie parvn=un-x

est géométrique. On peut donc exprimervn, puisunen fonction denetu0. •Méthode 2 :Pour toutn?N?, Un=AUn-1+BdoncUn=A(AUn-2+B)+B??Un=A2Un-2+(A+Ip)B.

On montre par récurrence :

?n?N?, Un=AnU0+ (An-1+...+A+Ip)B=AnU0+? n-1? k=0A k? B

Éffectuer la démonstration :

II.2 Limite d"une suite de matrices

Même définition que dans le paragraphe précédent.

Exemple 2On considère la suite(Un)de matrices deM21(R)telle queUn+1=AUn+B(1)pour toutn?NavecA=?2 10 3?

etB=?1012? , etU0=?1 -2?

1. Déterminer une suite de matrices constante égale àXvérifiant la relation de récurrence(1).

2. En utilisant laméthode 1vue plus haut, exprimerUnen fonction deAn,U0etX.

3. Montrer que pour toutn?N, An=?2n3n-2n

0 3 n? . En déduireUnen fonction den. La suite(Un)n?Nadmet-elle une limite?.

Exemple 3On considère les suites réelles(an),(bn)et(cn)définies par la donnée dea0= 1,b0= 1etc0= 1pour toutn?N,

?an+1=an+ 0,5cn b n+1= 0,5an+bn+ 0,5cn c n+1= 0,5cn+ 1,on poseXn=? an b n c n? ,A=?

1 0 0,5

0,5 1 0,5

0 0 0,5?

etB=? 0 0 1?

1. ÉcrireXn+1en fonction deXn,AetB. En déduire que, pour toutn?N?,

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TS-SpéComplément Matrices 2 : Suite de Matrices - Convergence2012-2013

Xn=AnX0+?

n-1? k=0A k? B

2. Avec un logiciel de calcul, déterminerAn. Réponse :An=?

1 0 1-(0,5)n

0,5n1 0,5n

0 0 (0,5)n?

3. En déduire(an),(bn)et(cn)en fonction den. Étudier la convergence de la suite(Xn)n?N;

III Puissances de matrices carrées d"ordrep

III.1 Puissances de matrices diagonales, matrices triangulaires Consulter la leçon sur les matriceshttp://www.mimaths.net/spip.php?article611paragraphe II.3.

III.2 Puissances de matrices diagonalisables

Un nouveau terme qui prend une signification très précise dans le supérieur (Réduction des matrices carrées). Pour

le lycée, il s"agira de vérifier par le produit matriciel qu"une matrice carrée est diagonalisable.

Définition 2Une matrice carréeAd"ordrep(? Mp(R)) est dite diagonalisable s"il existe une matrice carréeP

(? Mp(R)) inversible et une matrice carrée diagonaleD(? Mp(R)) telles que :

A=PDP-1

Remarque 3Toutes les matrices carrées ne sont pas diagonalisables. Exemple 4Prouver que l"existence des matricesP=?1 11-1? etD=?1 00 0,8? , rendent la matriceA=?0,9 0,1

0,1 0,9?

diagonalisable. Propriété 1Intérêt des matrices diagonalisables : Si

A=PDP-1alorsAn=PDnP-1

Démonstration :

Soit, pour tout entier natureln?N, la propriétéP(n) :.............

•Initialisation:

•Hérédité: Démontrons que pour toutn?N?P(n) vraie impliqueP(n+ 1) vraie.

P(n)estvraie?.........

doncP(n+ 1) est vraie.

•Conclusion :Ainsi, d"après le principe du raisonnement par récurrence,pour tout entier natureln?N?,

An=PDnP-1.

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TS-SpéComplément Matrices 2 : Suite de Matrices - Convergence2012-2013 III.3 Puissance d"une matrice carrée à l"aide d"une décomposition en matrice diagonale et triangulaire stricte

A travers un exemple :

SoitM=((

2 0 1 0 2 1

0 0 2))

ÉcrireMsous la formeD+T, oùDest une matrice diagonale etTune matrice triangulaire supérieure stricte.

CalculerT2et exprimerM2en fonction deT.

Montrer par récurrence que pour toutn?N?, Mn= 2nIp+n2n-1T

Remarque 4Pour se faire plaisir .....

La formule dubinôme de Newton, utilisable pour les matrices qui commutent (produit matriciel fait dans le sens

que l"on souhaite) donne :

SiAetBcommuntent, (A+B)n=n?

k=0? n k? A kBn-k Appliquer la formule précédente pour calculer l"expression deMndans l"exemple précédent.

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