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Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009

Analyse Num´eriqueCorrig´e du TD 8

EXERCICE 1

Convergence de m´ethodes it´eratives lin´eaires

1.1 Relation entre le rayon spectral et les normes matricielles

SoitAune matrice carr´ee d"ordren >0,A= (aij)i,j=1,...,n. norme vectorielle? ?pi.e. ?A?p= sup ?x?p=1?Ax?p= sup x ?=0?Ax?p ?x?p. a. Montrer que son rayon spectralρ(A)v´erifie Pour le corpsK=CouR, on noteMn(K) l"ensemble des matrices carr´ees d"ordren >0 `a valeurs dansK.

A? Mn(R) qui est plus subtil.

•CasA? Mn(C)

CommeA? Mn(C) est diagonalisable, il existe un vecteur proprex0?Cnassoci´e `a la plus grande valeur propre en module|λ|=ρ(A) :Ax0=ρ(A)x0. On en d´eduit d"o`u puisquex0?= 0.

•CasA? Mn(R)

Le probl`eme est que la matriceAn"a pas forc´ement ses valeurs propres dansRet donc ses vecteurs propres sont en toute g´en´eralit´e dansCn. Comme pourA? Mn(R), la norme matricielle? ?putilis´ee pour ´evaluer?A?pest calcul´ee `a partir de la norme vectorielle pi.e.du type?x?ppourx?Rn. De ce fait commex0, vecteur propre associ´e `a la plus grande valeur propre en module|λ|=ρ(A), peut ˆetre dansCn, la quantit´e?x0?ppeut ne pas avoir de sens. Pour contourner cette difficult´e, on peut proc´eder comme suit. 1 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009 On choisit une norme vectorielleNsurCn. On noteNla norme matricielle calcul´ee sur M n(C) `a partir de la norme vectorielle. On note encoreNsa restriction surMn(R), qui est bien sˆur une norme. CommeMn(R) est de dimension finie, deux quelconques normes sont ´equivalentes : il surm?N, on a?

ρ(A)?

m ?A?p? m , et l"on obtient grˆace au r´esultat (1.1) la majoration suivante :

ρ(A)?

m ?A?p? m

Ce qui implique

En faisantm→+∞dans (1.2), et avec limm→+∞C1/m= 1, on obtient

D"o`u le r´esultat.

b. Soitε >0. Montrer qu"il existe une norme matricielle? ?d´ependant deεet

A, tel que

Il existe une matriceUinversible tel queT=U-1AUsoit une matrice triangulaire,

T=((((((((((((((λ

1t12···t1jt1n-1t1n

2t2n-1t2n......

itijtin 0 n-1tn-1n n)))))))))))))) 2 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009 Pour toutδ, on d´efinit une matrice diagonaleDδ=diag(1,δ ,δ2,...,δn-1)i.e. D δ=(((((((((((((((1 0 0··· ··· ···0

0δ0......

0 ....0δi-1...... .............0 0 ...0δn-2

0··· ··· ···0 0δn-1)))))))))))))))

La matriceTδd´efinie par

T

δ= (UDδ)-1A(UDδ) =Dδ-1TDδ

v´erifie T

2δn-3t2n-1δn-2t2n......

iδj-itijδn-itin 0 n-1δtn-1n n)))))))))))))) Etant donn´eε >0, on peut choisirδsuffisamment petit pour que les ´el´ements extra- n j=i+1δ

Alors l"applicationB?→ ?(UDδ)-1B(UDδ)?∞est une norme matricielle, qui d´epend deε

etA, v´erifie

On v´erifieB?→ ?(UDδ)-1B(UDδ)?∞est la norme matricielle calcul´ee `a partir de la norme

vectoriellev?Kn?→ ?(UDδ)-1v?∞. c. Montrer que lim m→+∞?Am?1 m=ρ(A). 3 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009

A la questiona.de 1.1, on a montr´e que

En appliquant la relation ci-dessus `a la matriceAm, on obtient

Par r´ecurrence surm?Non obtient

ρ(Am) =?

ρ(A)?

m

Ce qui entraˆıne

ρ(A)?

m ou bien encore p.(1.5) Pour la seconde partie in´egalit´e, on proc`ede comme suit.

Soitε >0, on poseAε=A

ρ(A) +ε.

On a

ρ(Aε) =ρ(A)

ρ(A) +ε

ρ(A) +ε

ρ(A) +ε

<1. Commeρ(Aε)<1, la suite puissance de matrices (Amε)m≥0converge vers la matrice nulle (la d´emonstration est faite dans l"exercice 1.2a.). Ce qui signifie que la suite des normes (?Amε?p)m≥0est de limite nulle. Donc c"est-`a-dire

En regroupant (1.5) et (1.6), on obtient

On faitε→0 dans (1.7), et on a

lim m→+∞?Am?1/mp=ρ(A).(1.8) 4 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009

1.2 Suite et s´erie de matrices

D´efinition 1.1.Convergence d"une suite de matrices On dit qu"une suite de matrices(Am)m≥0converge vers la matriceAsi limm→+∞?Am-A?p= 0. a. Montrer que limm→+∞Am= 0??ρ(A)<1.

Montrons quelimm→+∞Am= 0 =?ρ(A)<1.

Supposons que lim

m→+∞Am= 0. Siρ(A)≥1 alors comme?Am?p≥?

ρ(A)?

m , on aurait ?Am?p≥1. Par suite la suite de nombres positifs (?Am?p)m≥0ne converge pas, et donc la suite de matrices (Am)m≥0ne converge pas. N´ecessairement on aρ(A)<1.

Montrons queρ(A)<1 =?limm→+∞Am= 0.

Commeρ(A)<1, il existeε >0 tel queρ(A)+ε <1 (il suffit de prendreε= (1-ρ(A))/2). La questionb.de l"exercice 1.1 dit qu"il existe une norme matricielle? ?(d´ependant de

εetA) telle que

Comme?A?<1, la suite de nombres positives (?A?m)m≥0converge vers le nombre r´eel 0. vers la matrice nulle : limm→+∞Am= 0. b. Monter que la s´erie m=0A mconverge??ρ(A)<1.

Montrer dans ce cas quelimm→+∞+∞?

m=0A m= (I-A)-1.

Montrons que la s´erie

m=0A mconverge=?ρ(A)<1.

Si la s´erie

m=0A mconverge alors la s´erie de nombres positifs+∞? m=0?Am?pconverge, donc la suite de nombres positifs (?Am?)m≥0tend vers 0. D"apr`es la questionb.ci-dessus,

ρ(A)<1.

5 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009

Montrons queρ(A)<1 =?la s´erie+∞?

m=0A mconverge. Supposons que le rayon spectralρ(A)<1. Les valeurs propres de la matriceI-Asont

1-λ(A) o`uλ(A) sont les valeurs propres deA. Les valeurs propres deI-Asont non nuls

et donc la matriceI-Aest inversible.

Posons

B m=I+A+...+Am.(1.9) Alors AB m=A+A2+...+Am+1(1.10) La diff´erence des ´equations (1.9) et (1.10) donne (I-A)Bm=I-Am+1

En faisantm→+∞dans l"´equation ci-dessus, et en utilisant limm→+∞Am+1= 0, on obtient

(I-A) limm→+∞Bm=I , ou encore limm→+∞Bm= (I-A)-1, ou bien encore m=0A m= (I-A)-1.

EXERCICE 2

Un exemple de m´ethode it´erative

SoitAune matrice carr´ee d"ordren >0,A= (aij)i,j=1,...,nr´eguli`ere etb?Rn.

On veut r´esoudre le syst`eme lin´eaire

Ax=b. On noteDla matrice diagonale constitu´ee de la diagonale deA. Soitα?= 0, on

´etudie la m´ethode it´erative

x k+1= (I-αD-1A)xk+αD-1b.(2.1) a. Montrer que la m´ethode est consistantei.e.si(xk)k≥0converge versxalors xest solution.

On faitk→+∞dans (2.1) et on obtient

x= (I-αD-1A)x+αD-1b, 6 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009 ou encore αD -1Ax=αD-1b. En multipliant `a gauche parDl"´equation ci-dessus, et en simplifiant parα?= 0 on a Ax=b. b. Exprimer les coefficients de la matriceD-1Aen fonction de ceux deA. Soienti,j? {1,...,n}. Alors le coefficient (D-1A)ijest donn´e par (D-1A)ij=n? k=1(D-1)ik(A)kj = (D-1)ii(A)ij =aij aii, ou encore (D-1A)ij=?1 sii=j ,aij aiisii?=j .(2.2) j=1 j?=i|aij|. Montrer que la m´ethode est bien d´efinie et ?I-αD-1A?∞<1.

La m´ethode est bien d´efinie??D-1existe,

j=1

D"o`u la m´ethode est bien d´efinie.

Calcul de?I-αD-1A?∞PosonsJα=I-αD-1A

Les coefficients deJαsont donn´es par

(Jα)ij= (I-D-1A)ij= (I)ij-(D-1A)ij. 7 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009

En utilisant (2.2), on obtient

(Jα)ij=?1-αsii=j , -αaij aiisii?=j .

Maintenant fixonsidans{1,...,n}. Alors

n j=1|(Jα)ij|=|(Jα)ii|+n? j=1 j?=i|(Jα)ij| =|1-α|+n? j=1 j?=i|(Jα)ij| =|1-α|+|α|? n j=1 j?=i|aij| |aii| <|1-α|+|α| = 1-α|+α = 1 Donc max j=1|(Jα)ij|<1 c"est-`a-dire ?Jα?∞=?I-αD-1A?∞<1. La repr´esentation de chacune des matricesA,DetJαsous forme de tableaux s"´ecrit

A=((((((((((((a

11a12a1j···a1la1n-1a1n

a

21a22a2n-1a2n............

a

1iaijaiiailain............

a n-11an12an-1n-1an-1n a 8 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009

D=(((((((((((((((a

110 0··· ··· ···0

0a220......

0 ....0aii0...... .............0 0 ...0an-1n-10

0··· ··· ···0 0ann)))))))))))))))

et J

α=((((((((((((((((((1-α-αa12

a11-αa1ja11··· -αa1la11-αa1n-1a11-αa1na11 -αa21 -αa1i -αan-11 -αan1 ann-αan2ann-αanjann··· -αanlann-αann-1ann1-α)))))))))))))))))) En d´eduire que la m´ethode est convergente. satisfaitρ(Jα)<1, qui montre que la m´ethode est convergente. RemarquePourα= 1, la m´ethode ci-dessus est celle de Jacobi.

EXERCICE 3

M´ethodes it´eratives classiques sur une matrice tridiagonale SoitA= (aij)i,j=1,...,nune matrice carr´ee d"ordren >0, du syst`eme lin´eaire

Ax=b, d´efinie par

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