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[PDF] 1) Extrema dune fonction

Remarque : Un extremum global est un extremum local Dans la suite de l' exposé, on ne cherchera que des extremums locaux Une fonction peut admettre un 

[PDF] LEÇON 219 - EXTREMUMS : EXISTENCE, CARACTÉRISATION

On dit que f admet : • un minimum global en a si pour tout x de U, fpxq ¥ fpaq • un minimum local en a s 

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minimum global et local Définition Soit f une fonction définie sur I et x∗ ∈ I On dit que f admet un extremum en x∗ si et seulement si f admet un maximum ou 

[PDF] Optimisation 1 Extrema - Anthony Mansuy

f admet donc un minimum global en (0, 0) Attention La réciproque est fausse Un point critique peut ne pas être un extremum local Considérons par exemple la 

[PDF] Recherche des extremums dune fonction

C'est un minimum si f est croissante sur cet intervalle, il est strict si f est strictement croissante Il suffit d'appliquer la définition d'un extremum local avec V =]x0−α, 

[PDF] Les extremums des fonctions numériques de plusieurs - Math93

local strict en a : idem avec des inégalités strictes • f admet un extremum local ou local strict en a si f admet un min, resp max • f admet un extremum global 

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bien un extremum global 10 Condition nécessaire d'extremum 10 1 Si f ∈ C 1( U, Ê) atteint un extremum local au point M0 ∈ U, alors la fonction ϕv = [t ↦→ f 

[PDF] Fonctions de plusieurs variables définies sur une - Mathieu Mansuy

Un extremum global est un extremum local Exemple Considérons la fonction f dont le graphe Gf est représenté ci-dessous f admet un maximum global en a 

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6 2 Caractérisation faible des extremums locaux sous contrainte - Condition nous aimerions savoir qui parmi ces points est un extremum local ou global

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Définition : Une fonction f : D → R poss`ede un maximum global au point x∗ ∈ D assurant que la fonction considérée poss`ede bien un tel extremum global

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Exposé 75 : Applications du calcul differentiel à la recherche d'extremums d'une fonction numerique d'une variable réelle. Exemple+calto

Pre requis :

-Continuité et derivabilité d'une fonction numerique à une variable reelle -" l'image d'un segment par une application continue est un segment » -Formule de taylor-young ( à l'ordre 2 )en ox : ()2

1 2( ), ''( ) , , ( ) ( ) ( ) '( ) ''( ) ( )2o

o o o o o o ox xf C f x existe x I x I f x f x x x f x f x o x x-Î Þ" Î = + - + + -

Cadre : Iintervalle de ¡,:f I®¡

'( )f anombre dérivé de f en a s'il existe.

1)Extrema d'une fonction Soit

a IÎ.

Definition :

1.fadmet un maximum (resp. minimum) global ,ou dits absolu, au point asur

I si :

{}\ , ( ) ( )x I a f x f a" Î £(resp.( ) ( )f x f a³). Il est dit maximum global stricte (minimum global stricte ) si {}\ , ( ) ( )x I a f x f a" Î <( resp.( ) ( )f x f a>).

2.fadmet un maximum (resp. minimum) local au point asur

I s'il existe un ouvert Jcontenant a tel que :

{}\ , ( ) ( )x I J a f x f a" Î Ç £(resp.( ) ( )f x f a³). Il est dit maximum local stricte (minimum global stricte ) si {}\ , ( ) ( )x I J a f x f a" Î Ç < ( resp.( ) ( )f x f a>).

3.Si fadmet au point a un maximum ou un minimum, on dit que

fadmet un extremum en a. Remarque : Un extremum global est un extremum local. Dans la suite de l'exposé, on ne cherchera que des extremums locaux

Une fonction peut admettre un extremun :

-soit à l'xtremité de son intervalle -soit en un point où elle n'est pas derivable. -soit en un point aoù '( ) 0f a= remarque : attention il ya des fonctions qui n'ont pas d'extremum.

Exemple :

3:fx x®aeçè¡ ¡

a But : Avoir des conditions nécessaires et des conditions suffisantes quand à l'existence des extremas d'une fonction.

2)Recherche d'extrema

a)Une condition nécessaire locale

Theoreme : Iintervalle ouvert de ¡,a IÎ. Soit fune fonction derivable en a. Si fpresente un extremum en

aalors '( ) 0f a=.

Preuve : Si

aest un minimum local ][0, , , ( ) ( )x a a f x f ae e e$ > " Î - + ³d'où ( ) ( )0, , ( ) ( )0, , f x f ax a ax a f x f ax a ax a e e fdérivable en a donc ' ''( ) ( ) ( )g df a f a f a= =donc '( ) 0f a=.

Remarque : la reciproque est fausse

3:fx x®aeçè¡ ¡

a

Extremum localÞderivabilité en

a:fx x®aeçè¡ ¡ a

Extremum localÞcontinuité en

a [][]21,1 0,1 :, 0

1, 0fx xxxae- ®çae¹ççç=èèa

Le theoreme n'est plus valable si

aest une extremité : [[[[0, 0,:fx xae+¥ ® +¥çèa

Corollaire : théoreme de Rolles (soit

a b<) Soit []: ,f a b®¡continue sur [],a b et dérivabilité sur ][,a btelle que ( ) ( )f a f b=

Alors il existe

][,c a bÎtel que '( ) 0f c=.

Preuve : (a faire)

fcontinue sur [],a bdonc ,m M$ Ρtels que [][]( , ) ,f a b m M=zvec m M£. -si m M= :la fonction fest constante sur [],a b, donc ][, , '( ) 0x a b f x" Î = -si m M< l'un des réels, au moins, metMest different de ( )f a. Supposons par exemple ( )m f a¹, ][,c a b$ Î tel que ( )f c m= donc fadmet un minimum en cdonc '( ) 0f c=avec ][,c a bÎ

Corollaire : Theoreme des accroissements finis.

Soit []: ,f a b®¡continue sur [],a b et dérivabilité sur ][,a b,

Alors il existe

][,c a bÎ,( ) ( ) '( )( )f b f a f c b a- = - . Preuve (a faire) on applique le théoreme de Rolles à la fonction ( ) ( )( ) ( ) ( )f b f ah x f x x ab a-= - --, hcontinue,.... b)Une condition suffisante globale

Theoreme : Iintervalle ouvert de ¡,

a IÎ. :f I®¡continue. Si fest derivable en tout point de {}/I aet si pour tout {}/x I aÎ,( ) '( ) 0x a f x- £(resp.( ) '( ) 0x a f x- ³ alors fadmet un maximum global (resp. minimum global) en a.

Preuve : On applique le T.A.F à

fen xet en a. c)Conditions suffisantes locales

Theoreme : Soit

Iun ouvert contenant aSoit :f I®¡ dérivable sur I. Si '( ) 0f a= et si 'fchange de signe en a, alors fadmet un extremum local en aPreuve : Supposons que '( ) 0, ,f x x I x a< " Î <,'( ) 0, ,f x x I x a> " Î > - on restreint fà l'intervalle ]],I aÇ -¥que l'on nommera °f , alors °fest decroissante donc aest un minimum global de °f. - on restreint

fà l'intervalle [[,I aÇ +¥que l'on nommera °f , alors °fest croissante donc aest un minimum global de

°f.

Donc aest le minimum global pour f. On suppose maintenant la situation opposée et on obtien un maximum.

Theoreme : Soit

Iun ouvert contenant aSoit :f I®¡ dérivable deux fois sur Iavec '( ) 0f a= et ''( ) 0f a¹ Alors fadmet un extremum local en a et : -si''( ) 0f a<, c'est un maximum -si''( ) 0f a>, c'est un minimum

Preuve :

Cas où ''( ) 0f a>.2

2''( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) lim 1''( )2( )2x a x a

x af a f x f af x f a x af ax a® ®

Alors il existe

][{}0, , /x a a ad d d> " Î - +,2( ) ( )0''( )( )2f x f a f ax a-> -. Or ''( ) 0f a> donc

Alors il existe

][{}0, , /x a a ad d d> " Î - +,( ) ( ) 0f x f a- > Donc fadmet en aun minimum local (strict)

Remarque : ce n'est pas une condition necessaire.

4: , '(0) 0, ''(0) 0f x x f f= =a or 0 est un

minimum pour la fonction. On peut generaliser le resultat pas a la deuxieme derivé, mais a la ne premiere derivée non nulle, cependant il faudra admettre la formule de taylor young z l'ordre n CONCLUSION : il n'existe aucun theoreme donnant une condition necessaire et suffisante pour les extrema

2)Application

Quelle sont les dimensions du rectangle d'aire maximale que l'on peut inscrire dans un triangle iscèle de base 12cm et de hauteur 10cm

Resolution

2 triangles semblables 10(6 )6 106 2

561026Ll

Lll L= -

5( ) (10 )6

5'( ) (10 )3

'( ) 0 6

6, 5A L L L

A L L A L L

L l= - ´

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