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[PDF] 1) Extrema dune fonction

Remarque : Un extremum global est un extremum local Dans la suite de l' exposé, on ne cherchera que des extremums locaux Une fonction peut admettre un 

[PDF] LEÇON 219 - EXTREMUMS : EXISTENCE, CARACTÉRISATION

On dit que f admet : • un minimum global en a si pour tout x de U, fpxq ¥ fpaq • un minimum local en a s 

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minimum global et local Définition Soit f une fonction définie sur I et x∗ ∈ I On dit que f admet un extremum en x∗ si et seulement si f admet un maximum ou 

[PDF] Optimisation 1 Extrema - Anthony Mansuy

f admet donc un minimum global en (0, 0) Attention La réciproque est fausse Un point critique peut ne pas être un extremum local Considérons par exemple la 

[PDF] Recherche des extremums dune fonction

C'est un minimum si f est croissante sur cet intervalle, il est strict si f est strictement croissante Il suffit d'appliquer la définition d'un extremum local avec V =]x0−α, 

[PDF] Les extremums des fonctions numériques de plusieurs - Math93

local strict en a : idem avec des inégalités strictes • f admet un extremum local ou local strict en a si f admet un min, resp max • f admet un extremum global 

[PDF] Recherches dextrema

bien un extremum global 10 Condition nécessaire d'extremum 10 1 Si f ∈ C 1( U, Ê) atteint un extremum local au point M0 ∈ U, alors la fonction ϕv = [t ↦→ f 

[PDF] Fonctions de plusieurs variables définies sur une - Mathieu Mansuy

Un extremum global est un extremum local Exemple Considérons la fonction f dont le graphe Gf est représenté ci-dessous f admet un maximum global en a 

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6 2 Caractérisation faible des extremums locaux sous contrainte - Condition nous aimerions savoir qui parmi ces points est un extremum local ou global

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Définition : Une fonction f : D → R poss`ede un maximum global au point x∗ ∈ D assurant que la fonction considérée poss`ede bien un tel extremum global

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21

Recherches d"extrema

1.Unextremum(maximum ou minimum) est une valeur

particulière de la fonction. On distingue deux types d"extrema.

1.1✍La fonction f:U→

?atteint unmaximum global, ou maximum absolu, au point M0?U si, et seulement si, ?M?U,f(M)?f(M0).

1.2✍La fonction f:U→

?atteint unmaximum local, ou maximum relatif, au point M0?U si, et seulement si, ?V?VU(M0),?M?V,f(M)?f(M0).

1.3Tout extremum absolu est en particulier un extremum

local.

1.4Il ne faut pas confondre un extremum def, qui est une

valeur réelle def, avec les points deU, parfois appelésextré- mantsdef, où la fonctionfprend cette valeur particulière. Sifatteint un maximum global, cette valeur maximale est unique. Il est atteint en un point au moins deU, mais peut être atteint en plusieurs points deU(éventuellement en une infinité de points deU). Une fonction peut atteindre plusieurs maxima relatifs différents sans atteindre de maximum absolu.

2.Les extrema d"une fonction numériquefdéfinie sur un

intervalle de ?peuvent se déduire des variations def.

Pour une fonctionfdéfinie sur un ouvertUde

?d, l"étude des variations n"a plus de sens et la recherche des extrema est un problème difficile en général. I

Existence d"extrema

3.Toute fonction bornéef:U→

?admet une borne su- périeure et une borne inférieure, mais cela ne prouve pas qu"elle atteint effectivement un maximum ou un minimum.

4. Parties compactes de

?d La notion departie compactegénéralise la notion deseg- mentsur ?et l"étend aux espaces vectoriels de dimension finie.

4.1Une partieKde

?destferméelorsqu"elle est stable par passage à la limite : si(un)n? ?est une suite de vecteurs ap- partenant àKqui converge vers le vecteur?, alors le vecteur? appartient encore àK. Cette notion ne dépend pas de la norme choisie sur ?d.

4.2Une partieKde

?destcompactelorsqu"elle est simulta- nément fermée et bornée. Cette notion ne dépend pas non plus de la norme choisie sur ?d.

4.3Tout segment[a,b]?

?est donc compact, mais une par- tie compacte de ?n"est pas nécessairement un segment : l"union de deux segments est une partie compacte de

4.4L"ensemble triadique KCde Cantor est une partie compacte

contenue dans[0,1]qui possède des propriétés étonnantes. - Comme ?, il est totalement discontinu : entre deux points de K C, il existe un réel qui n"appartient pas àKC. - Comme ?, tout voisinage d"un point deKCcontient une infi- nité de points deKC. - Comme ?, il est de mesure nulle : pour toutε>0, il existe une suite(In)n? ?de sous-intervalles de[0,1]dont l"union contient K Cet dont la somme des longueurs est inférieure àε. - Comme ?et contrairement à?, il n"est pas dénombrable.

4.5➙Soit f, une fonction continue de

?ddans ?. La restriction de f à une partie compacte K? ?dest bornée et atteint ses bornes.4.6Le théorème [4.5] prouve l"existenced"extrema absolus (maximum et minimum), mais ne permet pas d"estimerla va- leur de ces extrema puisqu"il ne donne aucune indication surles points deKoù ces extrema sont atteints. En outre, l"existence d"éventuels extremarelatifsdistincts des ex- trema absolus ne peut être prouvée de cette manière.

5. Exemples

5.1La fonctionfdéfinie surD= [x2+y2?2]par

?(x,y)?D,f(x,y) =xy|x2+y2-1| atteint un maximum absolu et un minimum absolu surD.

5.2La fonctionfdéfinie surD= [x2+y2?1]par

?(x,y)?D,f(x,y) =? x2+y2+y2 atteint un maximum absolu et un minimum absolu surD.

5.3La fonctionfdéfinie surD= [x2+y2?16]par

?(x,y)?D,f(x,y) =? x2+y2+x2-y2 atteint un maximum absolu et un minimum absolu surD.

5.4SoitK= [x?0]∩[y?0]∩[x+y?1]?

?2.

La fonctionf:K→

?définie par ?(x,y)?K,f(x,y) =xy(1-x-y) atteint un maximum absolu et un minimum absolu surK.→[20]

6. Extrema d"une forme affine

On étudie uneforme affinefsur

?d, définie par ?M? ?d,f(M) =f(O) +?(OM) où??L(E, ?)est une forme linéaire sur?d.

6.1En général, la fonctionfn"a pas de point critique.

6.2Quelle que soit la partie fermée et bornéeK?

?d, la fonctionfatteint un maximum et un minimum surK. 6.3Si ?dest muni de sa structure euclidienne canonique, alors ?u? ?d,f(A+u) =f(A)+??f(A)??u? quel que soit le pointA? ?d.

6.4Si le compactKest la boule fermée ce centreAet de

rayonr:

A=??AM?2=r2?,

alorsfatteint respectivement son maximum strict et son mini- mum strict aux pointsM+etM-définis par M +=A+r·?f(A) ??f(A)?,M-=A-r·?f(A)??f(A)?.

6.5Sifprend la même valeur (extrémale ou non) en deux

points distinctsM1etM2, alors la droite(M1M2)est orthogo- nale au gradient defet ?M?[M1,M2],f(M) =f(M1) =f(M2).

6.6En dimension 2, siKest un rectangle :

K= [a1,a2]×[b1,b2]

alorsfatteint ses valeurs extrêmes en l"un des sommets du rec- tangle. Il suffit de calculer ces quatre valeurs defet de les com- parer pour obtenir le maximum et le minimum def.

21•Recherches d"extrema

6.7Exemples

1. Calculer les extrema de la fonction définie par

?(x,y)? ?2,f(x,y) =2x-y+3 surK= [x2+y2+2x-3y?5].

2. Calculer les extrema de la fonction définie par

?(x,y)? ?2,f(x,y) =x+3y+2 surK= [-1,1]×[-1,1].

3. Calculer les extrema de la fonction définie par

?(x,y,z)? ?3,f(x,y,z) =-3x+2y+z-2 surK= [x2+y2+z2+2y-6z?3].

4. Calculer les extrema de la fonction définie par

?(x,y,z)? ?3,f(x,y,z) =x+2y-z+1 surK= [-1,1]×[-2,2]×[0,2].

7. Extrema sur une partie non compacte

Un argument de compacité permet de justifier qualitativement l"existence d"un extremum, en n"effectuant que les calculsnéces- saires pour appliquer le théorème [4.5].

7.1Fonctions propres

Sif: ?d→ ?est une fonction continue qui tend vers+∞au voisinage de de l"infini, alors la fonctionfatteint un minimum absolu.

7.2Sif:

?d→ ?est une fonction positive qui tend vers 0 au voisinage de l"infini, alors elle atteint un maximum absolu.

8. Exemples

8.1La fonction définie sur

?2par f=?(x,y)?→x4+y4-4xy? atteint un minimum absolu sur ?2.

8.2La fonction définie sur

?2par f=?(x,y)?→x4+y4-2(x-y)2? atteint un minimum absolu sur ?2.

8.3La fonctionfdéfinie sur

?2par f=?(x,y)?→(x+y)e-(x2+y2)? atteint un maximum absolu et un minimum absolu sur ?2.

8.4Soita>0. Les fonctions définies surU=

??+par f

1(x,y) =1

x+1y+xy f2(x,y) =a2x2+a2y2+xya2 f

3(x,y) =x2+y2+a

xyf4(x,y) =x+y+axy atteignent un minimum absolu surU.

8.5La fonctionfdéfinie surA= [0 ?2 par ?(x,y)?A,f(x,y) =(x+y)2 xy atteint un minimum absolu surA.II

Extrema locaux

9.La formule de Taylor peut servir à localiser un extre-

mum. Un développement limité ayant une valeur locale, cette technique ne peut servir qu"à justifier la présence d"un extre- mum relatif. En particulier, on pourra peut-être déterminer l"endroit où un extremum global est atteint, ainsi que la valeur de cet extre- mum, mais les techniques qui vont être présentées maintenant ne peuvent en aucune manière prouver que cet extremum est bien un extremum global.

10. Condition nécessaire d"extremum

10.1Sif?C1(U,

?)atteint un extremum local au point M

0?U, alors la fonction

v=[t?→f(M0+t·v)] atteint un extremum local ent=0, quel que soitv?E.

10.2➙Si f?C1(U,

?)atteint un extremum local en un point M0de l"ouvert U, alors M0est un point critique de f.

11.L"applicationf:

?2→ ?définie par f(x,y) =x2-y2 admet l"origine pour unique point critique, mais n"atteintni maximum local, ni minimum local en ce point.

12. Un point critique singulier

1. La fonctionfdéfinie par

?(x,y)? ?2,f(x,y) =y2-4x2y+3x4 admet l"origineOcomme seul point critique. La hessienne def enOest positive, mais pas définie positive.

2. Pour toutθ?

?, on poseuθ= (cosθ,sinθ). Un équivalent def(t·uθ)au voisinage det=0 montre que Ainsi, la restriction defà une droite quelconque passant parO atteint un minimum local strict enO— ce qui ne signifie que pas quefatteint un minimum strict enO.

3. Commef(x,y) = (y-3x2)(y-x2), la fonctionfn"at-

teint pas un minimum strict enO.

II Extrema locaux

Compléments : étude au second ordre

13.SoitU, un ouvert de l"espaceE=

?d. On suppose que Eest muni de sa structure euclidienne canonique, pour laquelle la base canonique est une base orthonormée et on étudie une fonctionf:U→ ?au voisinage d"un pointM0.

13.1On sait alors que, pour tout vecteurw?E,

f(M0+t·w) =f(M0) +t??f(M0)??w?+O(t) lorsquettend vers 0.

13.2Nous allons préciser ce développement limité en suppo-

sant quefest de classeC2surU.

13.3✍Lahessienne*de f au point M0?U est l"endomorphisme

symétrique de E représenté dans la base canonique par la matrice ?∂2f ∂xi∂xj(M0)?

1?i,j?d? S

d(

Cet endomorphisme est noté?2f(M0).

13.4* Formule de Taylor-Young

Si la fonction f:U→

?est de classeC2, alors f(M0+h) =f(M0) +??f(M0)??h? 1

2?h???2f(M0)(h)?+O??h?2?

lorsquehtend vers0.

14.SiM0est un point critique, alors pour toutw?E,

f(M0+t·w) =f(M0) +t2

2?w???2f(M0)(w)?+O(t2)

pourtvoisin de 0 et le comportement defau voisinage deM0est décrit par laforme quadratique*qassociée à la hessienne de

f, définie par ?w?E,q(w) =?w???2f(M0)(w)?.

15. Deuxième condition nécessaire d"extremum

15.1Sifatteint un maximum local enM0, alors la hessienne

defenM0est négative : ?w?E,q(w)?0.

15.2Sifatteint un minimum local enM0, alors la hessienne

defenM0est positive : ?w?E,q(w)?0.

15.3Si la hessienne defenM0admet une valeur propre stric-

tement positive et une valeur propre strictement négative,alors fn"atteint pas un extremum local enM0.

16. Réduction de la hessienne en dimension2

On suppose ici pour simplifier queE=

?2. La base canonique deEest notéeB0= (ex,ey).

16.1La décomposition d"un vecteurh?Edans cette base

orthonormée h=hx·ex+hy·ey permet de calculer sa norme : ?h?2=h2x+h2y.

16.2La matrice de?2f(M0)dans la base canonique est

2f ∂x2(M0)∂2f∂x∂y(M0) 2f

∂x∂y(M0)∂2f∂y2(M0)))))et le développement limité defà l"ordre deux au voisinage du

point critique peut aussi s"écrire f(M0+h=f(M0) +1

2q(h) +O??h?2?

avec q(h) =∂2f

16.3Il existe une base orthonorméeB= (u,v)de vecteurs

propres de?2f(M0).

1. La décomposition du vecteurhdans cette base

h=hu·u+hv·v donne ?h?2=h2x+h2y=h2u+h2v.

2. En notantλetμ, les valeurs propres de?2f(M0)respec-

tivement associées àuetv, ?h?E,q(h) =λh2u+μh2v.

3. Si 0<λ?μ, alorsq(h)?λ?h?2et

f(M0+h)>f(M0) pour tout vecteur non nulhassez petit.

4. Siλ?μ<0, alorsq(h)?μ?h?2et

f(M0+h)5. Siλ<0<μ, alors [15.3]

f(M0+t·u)21•Recherches d"extrema

6. Si le vecteur propreuest associé à la valeur propreλ=0,

alors f(M0+t·u)-f(M0) =O(t2) pourtvoisin de 0 et le signe de cette différence ne peut être déduit de la formule de Taylor-Young à l"ordre deux.

6.aPourf(M0+h) =h2v, la fonctionfpasse par un mini-

mum enM0, mais ce minimum n"est pas strict.quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21