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Rappels de calcul matriciel

T. Moreau et M. Chavance

Octobre 2006

2

Chapitre 1

LES MATRICES.

PREMIERES DEFINITIONS

UnematriceA(n;p) est un tableau rectangulaire de nombres comprenant n sont lesdimensionsdeA. On note A=0 B

BBBBBBBBB@a

11a12::: a1p

a

21a22::: a2p.........

a i1ai2::: aij::: aip......... a n1an2::: anp1 C

CCCCCCCCCA

a

1j;:::;anjconstituent la colonne j.

1.2 Exemples

1.2.1 Les matrices les plus simples

Un nombre est une matrice (1, 1). La matriceV= (x1;x2;x3) µa 1 ligne et B @x 1 x 2 x 31
C

Aµa 3 lignes et

3

4CHAPITRE 1. LES MATRICES. PREMIERES DEFINITIONS

1.2.2 Exercice

sujet1 : (180;112)sujet2 : (152;82)sujet3 : (167;80) sujet4 : (154;106)sujet5 : (148;80)sujet6 : (164;98) sujet7 : (156;98)sujet8 : (171;96)sujet9 : (150;106) sujet10 : 160;111) est la iµeme colonne de A (i= 1, ..., p) et dont la jµeme colonne est la jµeme

1.3.2 Exercices

B

BBBBB@1 4 5

¡1 8 0

3 1¡3

2 0 1

7 2 11

C

CCCCCA, puis la matrice trans-

(A0)0=A

1.4. MATRICES CARR

a la distinguer de laseconde diagonale. colonnes. Soit la matrice magique : A=0 B @1 2 3 4 1 1

1 3 21

C A

Que peut on dire deA0?

8j,i6=j)aij= 0.

a ii=¡aii= 0.

6CHAPITRE 1. LES MATRICES. PREMIERES DEFINITIONS

0 B

BBB@¾

21¾12::: ¾1p

21¾22::: ¾2p.........

p1¾p2::: ¾2p1 C CCCA 0 B

BBB@1½12::: ½1p

211::: ½2p.........

p1½p2:::11 C CCCA

0. Il s'en suit que § est diagonale, ce qui peut se noter § =Diag(¾21;¾22;:::;¾2p),

sont gaussiennes.

1.4.4 ATTENTION

Exemple0

B @1 1 0 1 1 1

0 1 11

C A Il faut bien entendu que les dimensions des blocs soient compatibles. Ex- 11A12 A

21A22!

1.5. MATRICES D

0 B

BBBBBBBBB@a

11::: a1la1(l+1)::: a1p............

a k1::: aklak(l+1)::: akp a (k+1)1::: a(k+1)la(k+1)(l+1)::: a(k+1)p............ a n1::: anlan(l+1)::: anp1 C

CCCCCCCCCA

oµuA11etA12ont k lignes,A21etA22n-k lignes,A11etA21l colonnes, A

12etA22p-l colonnes.

1.5.1 Transposition

vaut :A0=ÃA011A021A012A022!

1.5.2 Exercices

1) Montrer queA= (P Q))A0=ÃP0

Q 0!

2) SoitA=ÃP Q R

S T U!

. CalculerA0.

8CHAPITRE 1. LES MATRICES. PREMIERES DEFINITIONS

Chapitre 2

2.1 Multiplication d'une matrice par un nom-

bre Le produit d'une matriceAet d'un nombre ouscalaire¸est une matrice b ij=¸£aij

Ba donc les m^emes dimensions queA.

2.2 Somme de deux matrices de m^emes di-

mensions La sommeC=A+Bde deux matrices dem^emes dimensionss'obtient en c ij=aij+bij

A¡B=A+ (¡1)£B

matrices de m^emes dimensions. 9

2.3 Exercices

2.3.1

Soit la matrice magiqueA=0

B @1 2 3 4 1 1

1 3 21

C

A. CalculerB=A+A0

2 etC=A¡A0 2 2.3.2 des observations avant et aprµes traitement sont respectivement A=0 B

BBBBBBBBBBBBBBBBB@180 112

152 82

167 80

154 106

148 80

164 98

156 98

171 96

150 106

160 1041

C

CCCCCCCCCCCCCCCCCAetB=0

B

BBBBBBBBBBBBBBBBB@175 100

160 90

150 60

140 83

141 72

149 80

154 96

150 84

137 76

145 771

C

CCCCCCCCCCCCCCCCCA

calculer la matrice des diminutions. 2.3.3

Soient les matrices:A=0

B @¡1 2¡1 0 0 0

1¡2 11

C

A;B=A0;C=0

B @1 1 1 1 1 1

1 1 11

C

A. Cal-

2.4. PRODUIT DE DEUX MATRICES11

2.4 Produit de deux matrices

Soient les deux matricesAde dimensions (n, p) etBde dimensions (p, q), le produitA£Best une matriceCde dimensions (n, q) dont le termecij vaut c ij=ai1b1j+ai2b2j+:::+aipbpj

C=A£B

(n, q) (n, p) (p, q) Le termecijest obtenu en faisant la somme des produits deux µa deux des colonne j b 1j %b2j b pj ligne i a i1ai2::: aip

2.4.3 Exemples

1) E®ectuer le produitA£BavecA=Ã1 2 0

0¡1 1!

etB=Ã1 1 2 0! puis e®ectuerA0£B.

2) Exprimer sous forme de produit matriciel la somme puis la moyenne

B

BBBBB@1

0 4 6 41
C

CCCCCA.

3) CalculerM=Ã2 1

¡1 2!

£Ã2¡1

1 2! puisN=Ã2 1 1 2!

£Ã2¡1

¡1 2!

¡b a!

etÃa b b a!

4) CalculerC=Ã2 0 1

¡1 1 1!

£0 B @1 0 2 1

¡1 01

C A

A£B=B£A. On dit alors queAetBcommutent.

Le produit de plusieurs matrices est associatif :

A

1£(A2£A3) = (A1£A2)£A3=A1£A2£A3

Remarque 1: Bien entendu, le produit des n matricesA1;A2;:::;Ann'est nombre de lignes deAi+1. idempotente. Le produit est distributif par rapport µa la somme :

A£(B+C) =A£B+A£C

2.5.4 Multiplication par un nombre¸

2.6. EXERCICES13

Soient deux matricesAetBde dimensions respectives (n, p) et (p, q). Leur C

0=B0£A0

I I n£A=A£Ip=A

2.6 Exercices

2.6.1 Reprenons l'exemple des tensions systolique (TS) et diastolique (TD) avant et aprµes traitement. Calculer la matrice ligneM= (m1;m2) oµum1est la moyenne des diminutions des TS etm2la moyenne des diminutions des TD en utilisant la matrice ligne (1,p)C= (1 1:::1). Comment e®ectuer le calcul pour obtenir les deux moyennes sous forme d'une matrice colonne ? 2.6.2

Soit la matriceA=Ã

p

2=2¡p

2=2p 2=2p 2=2! . Calculer le plus simplement possible C=A8. 2.6.3

Soient les matrices

J=0 B

BB@0 1 0 0

¡1 0 0 0

0 0 0¡1

0 0 1 01

C

CCAK=0

B

BB@0 0 1 0

0 0 0 1

¡1 0 0 0

0¡1 0 01

C

CCAL=0

B

BB@0 0 0 1

0 0¡1 0

0 1 0 0

¡1 0 0 01

C CCA

CalculerJ2,K2,L2etJ£K£L

2.6.4

Soient les matricesA=Ã1 1 2

2 1 1!

B=0 B @1 2 11 C AC=0 B @0 5 01 C

A. CalculerA£B

etA£C. Conclusion ?

SoientA=ÃA

11A12 A

21A22!

etB=ÃB 11B12 B

21B22!

. Si les blocsAijetBijont

A+B=ÃA

11+B11A12+B12

A

21+B21A22+B22!

dimensions coincident, c'est-µa-dire que les colonnes de la premiµere matrice et D E! etN=ÃP Q! oµuB=Ã1 2 0 3! ,C=D=Ã0 0 0 0! ,E=Ã4 1 2 1! ,P=Ã1 0 0 2!

Q=Ã0 1

1 0!

2.8. TRACE D'UNE MATRICE15

2.8 Trace d'une matrice

tr(A) =X ia ii

8AetBde m^emes dimensionstr(A+B) =tr(A) +tr(B) ettr(A¡B) =

tr(A)¡tr(B);

SiCest une matrice (n, p) etDune matrice (p, n)

tr(CD) =tr(DC) =X ijc ijdji ijc2ij

2.8.2 Exercice

Calculertr(AB) avecA=0

B @1 2 3 4 5 6

7 8 91

C

AetB=0

B @1 0 2 0 1 3

4 0 21

C A

2.9 Problµeme 1 : calcul de la matrice de co-

variance B BBB@x 11x12 x

21x22......

x n1xn21 C

CCCA1)

P ix2i1P ixi1xi2P ixi1xi2P ix2i2!

2) Soit la matrice (2;n)B=Ã

P ixi1P ixi1:::P ixi1P ixi2P ixi2:::P ixi2! matricielle qui permet d'obtenirBen utilisant la matrice (n;n)E=0 B

B@1 1:::1............

1 1:::11

C CA

3) E®ectuer le produitB£X

4) Conclure en donnant une formule simple permettant de calculer l'estimation

86 94 98 106 90 86 94 74 86 86!

Chapitre 3

DETERMINANT D'UNE

MATRICE CARREE

a)fse change en¡fquand on transposeCietCj(i.e. quand on echange leurs places). b) S'il existe des indicesi,i1,i2tels queCi=Ci1+Ci2, alors f(C1;C2;:::;Ci;:::;Cn) =f(C1;C2;:::;Ci1+Ci2;:::;Cn) =f(C1;C2;:::;Ci1;:::;Cn) +f(C1;C2;:::;Ci2;:::;Cn) c) SiCi=¸Vi, on a f(C1;C2;:::;Ci;:::;Cn) =f(C1;C2;:::;¸Vi;:::;Cn) =¸f(C1;C2;:::;Vi;:::;Cn) des traits parallµeles au lieu de parenthµeses :¯

¯¯¯¯2 1

0 1¯

17

18CHAPITRE 3. DETERMINANT D'UNE MATRICE CARREE

C'est facile :jaj=a

¯¯¯¯a b

c d¯

¯¯¯¯=ad¡bc

¯¯¯¯¯¯a

11a12a13

a

21a22a23

a

31a32a33¯

3 en recopiant ses deux premiµeres lignes sous la derniµere et en reliant les

a

11a12a13

a

21a22a23

a

31a32a33

a

11a12a13

a

21a22a23ainsi quea

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