16 avr 2020 · Définition et notation Matrices Définition Une matrice de format (m, n) à coefficients dans K est un tableau de m × n éléments de K organisés
Previous PDF | Next PDF |
[PDF] Rappels : Tableaux et Matrices - IGM
Tableaux, pointeurs, allocation dynamique 11 février 2013 Struct Tableaux et Matrices Pointeurs Rappels Vision abstraite : > Un pointeur est une variable
[PDF] Rappels de calcul matriciel
LES MATRICES PREMIERES DEFINITIONS 1 1 Définition Une matrice A(n, p) est un tableau rectangulaire de nombres comprenant n lignes et p colonnes
[PDF] Rappels de calcul matriciel - Ousmane THIARE
16 avr 2020 · Définition et notation Matrices Définition Une matrice de format (m, n) à coefficients dans K est un tableau de m × n éléments de K organisés
[PDF] Chapitre I: Rappel sur le calcul matriciel 1 Définitions 2 Matrice
- Matrice : une matrice est un tableau de chiffres rangés en lignes et en colonnes Exemple : │ ⌋ ⌉ │ ⌊ ⌈ 23
[PDF] Algorithmique (suite) - LaBRI
T est une variable de type tableau d'entiers à deux dimensions T peut être vue comme une matrice à 3 lignes Rappel : T2 est la matrice inverse de
Tableaux et tris - I3 - Algorithmique et programmation - Moodle INSA
Rappels Tableaux `a n dimensions Initiation aux tris Tableaux et tris ainsi de représenter par exemple des matrices `a deux dimensions) On déclare une
[PDF] Rappel: les fonctions
Un tableau est une variable structurée • L'objet mathématique qui y ressemble est la matrice (à X dimensions) ou le vecteur a 1D Indice ou éléments dimension
[PDF] Matrices - Maths-francefr
2 1 Définition de la matrice d'une famille de vecteurs dans une base (rappel) K est un tableau à n lignes et p colonnes et donc à np cases, chaque case
[PDF] TP7 : le théor`eme du point fixe en action sous MATLAB
[PDF] Séance de travaux pratiques n° 1
[PDF] simulations, algorithmes en probabilités et statistique(s) au - Apmep
[PDF] Loi de Bernoulli et loi binomiale, cours, première S - MathsFG - Free
[PDF] Exercices d 'algorithmique en seconde Probabilités #8211 statistiques
[PDF] simulations, algorithmes en probabilités et statistique(s) au - Apmep
[PDF] Probabilités, simulation et algorithmique (pour TI)
[PDF] Algorithmes et programmation en Pascal TD corrigés - Limuniv-mrsfr
[PDF] Notes de cours / Algo et Python
[PDF] Algorithmique et Programmation Projet : algorithme de - DI ENS
[PDF] Score ASIA
[PDF] Un algorithme de simulation pour résoudre un problème de probabilité
[PDF] Algorithmique en classe de première avec AlgoBox - Xm1 Math
[PDF] Algorithme U prend la valeur [expression de la suite - Maths en ligne
Université Gaston Berger de Saint-Louis
Rappels de calcul matriciel
Pr. Ousmane THIARE
www.ousmanethiare.com16 avril 2020
Contenu
Matrices
Définition et notation
Matrices triangulaires, matrices diagonales
Opérations matricielles
Opérations linéaires
Produit matriciel
Inverse d"une matrice
Transposée d"une matrice
Noyau, image et rang d"une matrice
Définitions
Rang d"une matrice
Matrices et applications linéaires
Application linéaire associée à une matrice Représentation matricielle des éléments deRn Représentation matricielle des applications linéairesMatrices semblables
Déterminant d"une matrice carrée
Résultats fondamentaux
Règles de calcul
Déterminants et opérations matricielles2 on 58MatricesDéfinition et notation
ContenuMatrices
Définition et notation
Matrices triangulaires, matrices diagonales
Opérations matricielles
Noyau, image et rang d"une matrice
Matrices et applications linéaires
Déterminant d"une matrice carrée
3 on 58
MatricesDéfinition et notation
MatricesDéfinition
Une matrice de format (m, n) à coefficients dans K est un tableau demnéléments de K organisés en m lignes et n colonnes. Chaque élément de la matrice est repéré par deux indices, le premier est l"indice de la ligne, le second est l"indice de la colonne.4 on 58MatricesDéfinition et notation
MatricesNotation
la matrice précédente est notéeA= [ai;j]i=1;m;j=1;n; ai;jou(A)i;jest leterme, l"élémentou encore lecoefficientde la i emeligne et de lajemecolonne de A; une matrice de format (n, 1) est unematrice-colonned"ordre n; une matrice de format (1, n) est unematrice-ligned"ordre n; une matrice de format (n, n) est unematrice carréed"ordre n; lajemecolonne de la matrice A est notéeAjouaisuivant qu"on la considère comme une matrice-colonne ou un vecteur deRn; réciproquement, la matrice dont les colonnes sonta1;a2;;an sera notée[a1a2an]; laiemeligne de la matrice A est notéeA0ioua0i; Mm;n(K)désigne l"ensemble des matrices de format (m,n) à coefficients dans K etMn(K)l"ensemble des matrices carrées d"ordre n .5 on 58MatricesDéfinition et notation
MatricesDéfinition : Diagonale principale
La diagonale principale d"une matrice carréeA= [ai;j]i;j=1;nest consti- tuée des éléments de la formeai;iappelés termes diagonaux de A. On noteradiag(A)le vecteur deRnformé des termes diagonaux deA:diag(A) = (a1;1;a2;2;;an;n).
La diagonale principale divise A en deux parties : la partie sur-diagonale formée des élémentsai;jtels que i < j (éléments sur-diagonaux); la partie sous-diagonale formée des élémentsai;jtels que i > j (éléments sous-diagonaux);6 on 58 MatricesMatrices triangulaires, matrices diagonalesContenuMatrices
Définition et notation
Matrices triangulaires, matrices diagonales
Opérations matricielles
Noyau, image et rang d"une matrice
Matrices et applications linéaires
Déterminant d"une matrice carrée
7 on 58
MatricesMatrices triangulaires, matrices diagonalesMatrices
Unematrice triangulaired"ordre n est une matrice A carrée d"ordre n dont tous les éléments sur-diagonaux ou sous-diagonaux sont nuls : soitaij=0 pour tous i et j tels que i > j, la matrice est alors appelée triangulaire supérieure, soitaij=0 pour tous i et j tels que i < j, la matrice est alors appelée triangulaire inférieure.8 on 58 MatricesMatrices triangulaires, matrices diagonalesMatrices
Unematrice diagonale d"ordren est une matrice carrée d"ordre n qui est simultanément triangulaire supérieure et triangulaire inférieure. C"est donc une matrice A carrée d"ordre n dont les termes non diagonaux sont nuls : a ij=0 pour touti6=j On définit souvent une matrice diagonale en donnant la valeur de ses éléments diagonaux :D=diag(d1;d2;;dn)est la matrice diagonale d"ordre n dont les termes diagonaux vérifientdi;i=di (remarquez la double signification dediag).9 on 58 Opérations matriciellesOpérations linéairesContenuMatrices
Opérations matricielles
Opérations linéaires
Produit matriciel
Inverse d"une matrice
Transposée d"une matrice
Noyau, image et rang d"une matrice
Matrices et applications linéaires
Déterminant d"une matrice carrée
10 on 58
Opérations matriciellesOpérations linéairesMatricesDéfinition
SoientA= [ai;j]etB= [bi;j]deux matrices de même format (m, n). La matrice somme des matrices A et B est la matriceS= [si;j]de format (m,n) telle que :8i=1;;m8j=1;;n;si;j=ai;j+bi;j
Si a est un nombre réel ou complexe, la matrice produit aA est la matriceP= [pij]de format (m, n) telle que :
8i=1;;m;8j=1;;n;pi;j=a:ai;j11 on 58
Opérations matriciellesOpérations linéairesMatricesProposition
Muni de ces deux opérations,Mm;n(K)est un espace vectoriel sur KProposition - Base canonique deMm;n(K)Pouri=imetj=1n, on définit dansMm;n(K)les matrices
E ijpar : (Eij)l;k=0 sii6=louk6=j1 sii=louk=j12 on 58
Opérations matriciellesOpérations linéairesMatricesE
ija la forme suivante :LesmnmatricesEijforment une base deMm;n(K).13 on 58Opérations matriciellesProduit matriciel
ContenuMatrices
Opérations matricielles
Opérations linéaires
Produit matriciel
Inverse d"une matrice
Transposée d"une matrice
Noyau, image et rang d"une matrice
Matrices et applications linéaires
Déterminant d"une matrice carrée
14 on 58
Opérations matriciellesProduit matriciel
MatricesDéfinition - Compatibilité pour le produit matriciel Soient A et B deux matrices, on dit que A et B sont compatibles pour le produit AB de A par B, si et seulement si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B.Définition SoientA= [ai;j]de format (m,p) etB= [bl;k]de format (p,n) deux matrices (sous ces hypothèses elles sont compatibles pour le produit AB). La matrice produit de la matrice A par la matrice B est une matriceP= [pi;j]de format (m,n) telle que :8i=1;;m;8j=1;;n;pi;j=pX
k=1a i;kbk;j p i;jest le résultat du produit de la ligne i de A par la colonne j de B.15 on 58Opérations matriciellesProduit matriciel
MatricesProposition
Sous réserve de compatibilité, le produit matriciel est : associatif : (A B)C=A(B C); distributif par rapport 'a la somme : (A+B)C=AC+BC etA(B+C)=AB+AC.
mais iln"est pas commutatif.16 on 58Opérations matriciellesProduit matriciel
MatricesProposition - Expression des lignes et colonnes d"une matrice comme produitSoit A une matrice de format (m, n). On note Ej la matrice-colonne d"ordre n dont tous les coefficients sont nuls sauf le coefficient de la j emeligne qui vaut 1. Alors : AE j=aj(jemecolonne de A) De même, on noteE0ila matrice-ligne d"ordre m dont tous les coeffi- cients sont nuls sauf le coefficient de laiemecolonne qui vaut 1. Alors : E0iA=a0i(iemecolonne de A)17 on 58
Opérations matriciellesProduit matriciel
MatricesProposition - Produit de matrices particulières Le produit de deux matrices carrées d"ordre n est une matrice carrée du même ordre. Le produit de deux matrices A et B triangulaires inférieures (resp. supérieures) d"ordre n, est une matrice triangulaire inférieure (resp. supérieure) d"ordre n; les éléments diagonaux de la matrice produit AB sont égaux au produit des éléments diagonaux de rang homologue des matrices opérandes : pour tout i;i=1;;n;(AB)i;i=ai;ibi;i Le produit de deux matrices diagonales est une matrice diagonale du même ordre : siA=diag(a1;;an)et si B=diag(b1;;bn)alorsAB=diag(a1b1;a2b2;;anbn).18 on 58Opérations matriciellesProduit matriciel
MatricesThéorème - Produit matriciel par blocs Soient A et B deux matrices compatibles pour le produit AB. Si A admet une partition en blocsAikde format (ri;sk) et si B admet une partition compatible en blocsBkjde format (sk;tj) alors le produit AB peut se décomposer en blocsCijde format (ri;tj) et on a :8i=1;;m;8j=1;;p;Cij=nX
k=1A ikBkj19 on 58Opérations matriciellesInverse d"une matrice
ContenuMatrices
Opérations matricielles
Opérations linéaires
Produit matriciel
Inverse d"une matrice
Transposée d"une matrice
Noyau, image et rang d"une matrice
Matrices et applications linéaires
Déterminant d"une matrice carrée
20 on 58
Opérations matriciellesInverse d"une matrice
MatricesDéfinition - Matrice inversible
Une matrice A est inversible si et seulement s"il existe une matrice B et une matrice-unité I telles que AB = BA = I. S"il en est ainsi, B est est appelée inverse de A et est notéeA1.21 on 58Opérations matriciellesInverse d"une matrice
MatricesProposition
Unecondition nécessairepour qu"une matrice A soit inversible est que A soit carrée. Soit A une matrice carrée inversible, son inverseA1est unique, et est une matrice carrée du même ordre, inversible et(A1)1=A. Une matrice carrée inversible A estrégulière(i.e.AB=AC)B=CetBA=CA)B=C); une matrice carrée
non-inversible est ditesingulière. Soient A et B deux matrices carrées inversibles de même ordre, alors la matrice produit AB est inversible et(AB)1=B1A1.22 on 58Opérations matriciellesInverse d"une matrice
MatricesProposition
Soient A et B deux matrices carrées d"ordre n telles queAB=In. AlorsA et B sont inversibles etA1=B.
Pour montrer que A et B sont inversibles il suffit de montrer queBA= I n: notonsEila matrice-colonne d"ordre n dont tous les coefficients sont nuls sauf celui de laiemeligne qui vaut 1 alors : les matricesEiforment une base de l"espace des matrices-colonne d"ordre n,Mn;1; d"autre part, siM1;M2;;Mndésignent les colonnes d"une matrice carrée M d"ordre n on a pour touti=1;2;;n;Mi=MEi enfinAB=In)pour touti=1;2;;n;ABi=Ei23 on 58Opérations matriciellesInverse d"une matrice
MatricesProposition (Suite 1)
considérons les colonnesB1;B2;;Bnde B comme des matrices-colonnes d"ordre n et montrons que la famille fB1;B2;;Bngest une famille libre deMn;1et donc une base de M n;1: soientc1;c2;;cndes éléments de K tels quePn i=1ciBi=0 alorsA(Pn i=1ciBi) =Pn i=1ciABi=Pn i=1ciEi=0 puisque les matricesEiforment une base de l"espace des matrices-colonnes d"ordre n, pour touti=1;2;;n;ci=0 pour toutj=1;2;;n, on peut exprimerEjdans cette base : E j=Pn k=1jkBk24 on 58Opérations matriciellesInverse d"une matrice
MatricesProposition (Suite 2)
lajemecolonne de la matrice BA est égale au produit(BA)Ej: (BA)Ej=BA(Pn k=1jkBk) =Pn k=1jkBABk=Pn k=1jkBEk =Pn k=1jkBk=Ej25 on 58Opérations matriciellesInverse d"une matrice
MatricesProposition - Inverse de matrices particulières Soit A une matrice diagonale d"ordre n,A=diag(a1;a2;;an); A est inversible si et seulement si tous ses éléments diagonaux sont différents de zéro. S"il en est ainsi, A1=diag(1a
i;1a i;;1a i)26 on 58Opérations matriciellesInverse d"une matrice
MatricesProposition - Inverse de matrices particulières Soit T une matricetriangulaire supérieure(resp. inférieure) d"ordre n, dont tous lestermes diagonauxtiisont différents de zéro. Alors T est inversible et son inverseT1est une matrice triangulaire supérieure (resp. inférieure) d"ordre n et les termes diagonaux de la matrice inverseT1sont les inverses des termes diagonaux de rang homologue de T : pour tout i=1;;n;(T1)ii=t1 ii Une démonstration par récurrence du second résultat utilise les propriétés du produit par blocs appliqué aux matrices triangulaires décomposées sous la forme :27 on 58Opérations matriciellesInverse d"une matrice
Matricesoùt01=t12t1nest un vecteur-ligne deRn1etT1une matrice triangulaire supérieure d"ordre (n-1).28 on 58 Opérations matriciellesTransposée d"une matriceContenuMatrices
Opérations matricielles
Opérations linéaires
Produit matriciel
Inverse d"une matrice
Transposée d"une matrice
Noyau, image et rang d"une matrice
Matrices et applications linéaires
Déterminant d"une matrice carrée
29 on 58
Opérations matriciellesTransposée d"une matriceMatricesDéfinition
SoitA= [aij]une matrice de format (m,n), la transposée de A est la matrice de format (n,m) notéeATou A" telle que :8i=1;;m8j=1;;p;a0ij=ajiProposition
pour tout a élément de K,(aA)T=aAT si A et B sont deux matrices de même format, (A+B)T=AT+BT si A et B sont deux matrices compatibles pour le produit AB, (AB)T=BTAT enfin, si A est une matrice carrée inversible,ATest inversible et (AT)1= (A1)T.30 on 58Noyau, image et rang d"une matrice
Matrices
On convient d"associer a' tout vecteurx= (x1;x2;;xn)deRnlamatrice-colonne [x] d"ordre n suivante :dont le coefficient de laiemeligne est laiemecoordonnée de x dans la
base canoniqueEdeRn.Théorème L"applicationqui ax2Rnassocie la matrice-colonne[x]E2 Mn;1est une application linéaire bijective;RnetMn;1sont donc isomorphes. Dans la suite on identifieraMn;1etRnet on notera x la matrice-colonne associée au vecteur x.31 on 58