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Coordonnées dans un repère3eme1 Coordonnées d"un point

Définition 1Deux axes gradués de même origine et perpendiculaires définissentun repère orthogonal.

De plus, si les axes possèdent la même unité de longueur alors le repère est ditorthonormé.OIJaxedesabscissesaxedesordonn´eesxMyMMABDans l"exemple ci-contre, on dira que les coordonnées du point

Msont (xM,yM), que celles du pointAsont (3;5) et que celles du pointBsont (1;-3).

Propriété 1Dans un repère quelconque, soit A et B deux points de coordonnées respectives(xA;yA)et(xB;yB).

Alors les coordonnées du point K, milieu du segment[AB]sont x

K=xA+xB2yK=yA+yB2

ExempleSur la figure ci-dessus, le milieuKdu segment [AB] a pour coordonnées x

K=xA+xB2yK=yA+yB2

x

K=3+12yK=5+(-3)2

x

K=42yK=22

x

K=2yK=1

2 Coordonnées d"un vecteur

Propriété 2Dans un repère quelconque, soit E et F deux points de coordonnées respectives(xE;yE)et(xF;yF).

Alors les coordonnées du vecteur-→EF sont

(xF-xE;yF-yE)

OIJABCDEFExemples

Sur la figure ci-dessus, on a

-→AB(-3-0;-2-2)--→DC(-5-4; 0-(-1)) -→AB(-3;-4)--→DC(-9; 1)

Vérification graphiqueLe déplacement deAàBcorrespond graphiquement à un déplacement horizontal

de 3 unités dans le sens négatif suivi d"un déplacement vertical de 4 unités dans le sens négatif.

Propriété 3Deux vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées.

3 Distance dans un repère orthonormé

Propriété 4Dansunrepèreorthonormé, soit E et F deux points de coordonnées respectives(xE;yE)et(xF;yF).

Alors, on a

EF

2=(xF-xE)2+(yF-yE)2et EF=?(xF-xE)2+(yF-yE)2

OIJABCDExemplesSur la figure ci-dessus, le repère est orthonormé : on a donc AB

2=(xB-xA)2+(yB-yA)2CD2=(xD-xC)2+(yD-yC)2

AB

2=(-3-1)2+(-1-2)2CD2=(3-(-5))2+(-1-4)2

AB

2=(-4)2+(-3)2CD2=(3+5)2+(-5)2

AB

2=16+9CD2=64+25

AB

2=25CD2=89

AB=5CD=?89

RemarquesLes réponses sont données dans l"unité de lon- gueur commune aux deux axes.

4 Exercice d"application

au fur et à mesure.

1. Placer les pointsA(4;5),B(0;-3) etC(-6;0).

2. (a) Montrer queAB=?80cm,AC=?125cmetBC=?45cm.

On utilise la Propriété 4.

(b) En déduire queABCest un triangle rectangle. Préciser l"angle droit. On utilise la réciproque du Théorème de Pythagore.

3. (a) Construis le pointDtel que-→AB=--→DC.

(b) Démontrer queABCDest un rectangle. On démontre que ABCD est un parallélogramme qui possède un angle droit. (c) Calculer les coordonnées de -→AB.

On utilise la Propriété 2.

(d) Vérifier à l"aide d"un calcul que les coordonnées du pointDsont (-2;8). Les vecteurs-→AB et--→DC sont égaux donc leurs coordonnées sont égales.

4. (a) Calculer les coordonnées du pointKmilieu du segment [AC].

On utilise la Propriété 1.

(b) Que représente le pointKpour le quadrilatèreABCD?

Pensez aux diagonales.OIJABCD

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