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Soient (a, b) ∈ C × C∗ et (un)n∈N une suite définie par (u0,u1) ∈ C2 et : ∀n ∈ N,un+2 Propriété 1 ( Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 (Cas complexe))

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en facteurs linéaires modulo p après 0(log p) calculs, I Notations et préliminaires Une suite u = ~u ~ n n>0 de nombres est dite récurrente 

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Une suite u est récurrente linéaire d'ordre 2 si elle satisfait à la relation de récurrence suivante : ∀n ∈ N, un+2 = aun+1 + bun (E) Exemple : suite de Fibonacci 

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u 2) Suites récurrentes non linéaires d'ordre 1 théorème du point fixe 1 Soit E une partie fermée 

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L'ensemble des nombres premiers divisant au moins un terme de la suite est-il fini ? Introduction Les termes d'une suite récurrente linéaire à coefficients entiers  

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algébriques des suites récurrentes linéaires `a coefficients constants ou termes d'une suite récurrente linéaire sur un corps sont des coefficients d'une série 

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Suites récurrentes linéaire d'ordre 1 à coefficients constants et à second membre constant ∀n ∈ N, un+1 = aun + b Cas particuliers • a = 0 : suite constante 

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2 2 Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 à coefficients constants avec second membre 35 2 3 Étude complète d'une relation de récurrence linéaire à 

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Suites récurrentes linéaires d'ordre 1 Soit ut = aut−1 +vt une suite récurrente linéaire d'ordre 1 Les solutions (ut) de cette équation sont du type ut = λat + xt

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suites récurrentes linéaires d'ordre 2 avec second membre Clémentine Laurens Problème Exhiber une solution particulière pour une suite récurrente linéaire 

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SUITES RECURRENTES LINEAIRES

D"ORDRE 2

1 Définition

Soit (a,b) un couple deR×R?.

Une suite u estrécurrente linéaire d"ordre 2si elle satisfait à la relation de récurrence suivante :

?n?N, un+2=aun+1+bun(E)

Exemple: suite de Fibonacci (cf. cours).

2 Quelques propriétés

Etant donné un couple (a,b) deR×R?, notonsUl"ensemble des suites u vérifiant la relation (E).

1.Un"est pas vide.

Preuve :la suite nulle appartient àUqui n"est donc pas vide. 2. La donnée des de uxpremiers termes u0etu1définit une unique suite deU.

3.Uest stable par combinaisons linéaires :

?(α,β)?R2,(u,v)?U?αu+βv?U. 4. Une suite géométrique de r aisonq non n ulleappartien tà Usi et seulement si q est solu- tion de l"équationx2=ax+b. Preuve :D"après la propriété précédente, nous pouvons poseru0= 1. ?n?N,qn+2=aqn+1+bqn?qn(q2-aq-b) = 0?qn?=0q2-aq-b= 0 Définition: l"équationx2=ax+bs"appelleéquation caractéristique.

3 Expression en fonction de n

SoitΔle discriminant de l"équation caractéristiquex2=ax+b. Trois cas sont à distinguer :

1.Δ>0. L"équation caractéristique possède dans ce cas deux solutions réelles distinctesr1

etr2et dans ce cas u appartient àUsi et seulement s"il existe(λ,μ)?R2tel que : ?n?N, un=λrn1+μrn2

2.Δ = 0. L"équation caractéristique possède une solution double notée r. Dans ce cas u

appartient àUsi et seulement s"il existe(λ,μ)?R2tel que : ?n?N, un= (λn+μ)rn

3.Δ<0. L"équation caractéristique possède deux solutions complexes conjuguéesωet¯ω.

Posons r =|ω|etθ= argω. Dans ce cas u appartient àUsi et seulement s"il existe (λ,μ)?R2tel que : ?n?N, un=λrncos(nθ) +μrnsin(nθ)

Remarque: Dans les trois cas ci-dessus, le couple(λ,μ)est déterminé à partir des valeurs

des premiers termes de la suite u (cf. infra). 1

4 Exemples

Etudier les suites suivantes :

1.un+2=-un+1+ 2un,u0= 0,u1= 3.

L"équation caractéristique estx2+x-2 = 0. Elle admet pour solutions les réels 1 et -2.

Par conséquent :

?n?N, un=λ+μ(-2)n. En remplaçant n par 0 puis par 1, nous obtenons le système suivant : ?λ+μ=0

λ-2μ=3

Doncλ= 1etμ=-1.

Conclusion :?n?N, un= 1-(-2)n.

2.un+2= 6un+1-9un,u0= 5,u1= 6.

L"équation caractéristique estx2-6x+9 = 0. Elle admet pour solution double le réel 3.

Par conséquent :

?n?N, un= (λ+μn)3n. En remplaçant n par 0 puis par 1, nous obtenons le système suivant : ?λ=5

3(λ+μ)=6

Doncλ= 5etμ=-3.

Conclusion :?n?N, un= 3n(-3n+ 5).

3.un+2= 9un,u0= 5,u1= 1.

L"équation caractéristique estx2-9 = 0. Elle admet pour solutions3iet-3i.

Par conséquent :

?n?N, un=λ3ncos? nπ2 +μ3nsin? nπ2 En remplaçant n par 0 puis par 1, nous obtenons le système suivant : ?λ=5

3μ=1

Doncλ= 5etμ=13

Conclusion :?n?N, un= 5·3ncos?

nπ2 +13

·3nsin?

nπ2 2quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35