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[PDF] Suites récurrentes linéaires dordre 2 - Mathieu Mansuy

Soient (a, b) ∈ C × C∗ et (un)n∈N une suite définie par (u0,u1) ∈ C2 et : ∀n ∈ N,un+2 Propriété 1 ( Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 (Cas complexe))

[PDF] Suites récurrentes linéaires - Numdam

en facteurs linéaires modulo p après 0(log p) calculs, I Notations et préliminaires Une suite u = ~u ~ n n>0 de nombres est dite récurrente 

[PDF] SUITES RECURRENTES LINEAIRES DORDRE 2

Une suite u est récurrente linéaire d'ordre 2 si elle satisfait à la relation de récurrence suivante : ∀n ∈ N, un+2 = aun+1 + bun (E) Exemple : suite de Fibonacci 

[PDF] Etude de suites définies par différents types de - Epsilon 2000

u 2) Suites récurrentes non linéaires d'ordre 1 théorème du point fixe 1 Soit E une partie fermée 

[PDF] Deux propriétés décidables des suites récurrentes linéaires - CORE

L'ensemble des nombres premiers divisant au moins un terme de la suite est-il fini ? Introduction Les termes d'une suite récurrente linéaire à coefficients entiers  

[PDF] Suites récurrentes linéaires et séries formelles en plusieurs variables

algébriques des suites récurrentes linéaires `a coefficients constants ou termes d'une suite récurrente linéaire sur un corps sont des coefficients d'une série 

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Suites récurrentes linéaire d'ordre 1 à coefficients constants et à second membre constant ∀n ∈ N, un+1 = aun + b Cas particuliers • a = 0 : suite constante 

[PDF] Polycopié de cours - Julie Scholler

2 2 Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 à coefficients constants avec second membre 35 2 3 Étude complète d'une relation de récurrence linéaire à 

[PDF] SUITES RÉCURRENTES LINÉAIRES

Suites récurrentes linéaires d'ordre 1 Soit ut = aut−1 +vt une suite récurrente linéaire d'ordre 1 Les solutions (ut) de cette équation sont du type ut = λat + xt

[PDF] Méthode : recherche dune solution particulière pour certaines suites

suites récurrentes linéaires d'ordre 2 avec second membre Clémentine Laurens Problème Exhiber une solution particulière pour une suite récurrente linéaire 

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C1. SUITES RÉCURRENTES D"ORDRE1

OU

ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES FINIES

D"ORDRE1

Julie Scholler - Bureau B246

janvier 2020.

Suite récurrente

On dit qu"une suite(un)n?Nest unesuite récurrented"ordre p?N?s"il existe une fonctionftelle que ?n?N,un+p=f(un+p-1,un+p-2,...,un,n)Suite récurrente linéaire à coefficients constants On dit qu"une suite(un)n?Nest unesuite récurrente linéaire à coefficients constantsd"ordrep?N?s"il existe des réels a

1,...,ap,bet une fonctionftels que

u n+p-a1un+p-1-a2un+p-2- ··· -apun=f(n) I. SRLO1 à coefficients constants et à second membre constant Suites récurrentes linéaire d"ordre 1 à coefficients constants et à second membre constant ?n?N,un+1=aun+bCas particuliers a=0 :suite constante égale àbà partir du rang 1• b=0 :suite géométrique de raisona• a=1 etb=0 :suite constante

a=1 etb?=0 :suite arithmétique de raisonb→Suites arithmético-géométriquesI. SRLO1 à coefficients constants et à second membre constant

Exemples

Compte épargne :

u

0=100 et?n?N,un+1= (1+t)un+10

Évolution de capital :

K n+1= (1-δ)Kn+Iavec 0< δ <1Questions

Compte épargne :

•Combien d"argent aura-t-on sur le compte au bout d"un an (12 périodes)? •Au bout de combien de temps aura-t-on 1000 euros sur le compte? Évolution de capital : comportement sur le long terme I. SRLO1 à coefficients constants et à second membre constant Point d"équilibreUnpoint d"équilibreou une valeur stationnaire d"une équation aux différences finies est une valeur deu0pour laquelle le système est stationnaire, c"est-à-direun+1=un, pour tout entier positifn.Point fixe Un point d"équilibre est un point fixe de la fonctionfdéfinissant la relation de récurrence.I. SRLO1 à coefficients constants et à second membre constant Terme général d"une suite arithmético-géométrique

Soit(un)n?Ntelle que?n?N,un+1=aun+b, aveca?=1.

On pose?l"unique solution de l"équation?=a?+b.

Alors la suite de terme généralun-?est une suite géométrique de raisona pour tout entiernpositif ou nul, on a u n=an(u0-?) +?=an-1(u1-?) +? I. SRLO1 à coefficients constants et à second membre constant

Limite

Soit(un)n?Ntelle que?n?N,un+1=aun+b, aveca?=1.

La suite(un)n?Nconverge si et seulement si|a|<1.

Si elle converge, alors sa limite est?=b1-a.Point d"équilibre Quand une suite arithmético-géométrique converge, sa limite est le point d"équilibre de l"équation aux différences finies vérifiée par la suite.I. SRLO1 à coefficients constants et à second membre constant

Exemples

Compte épargne

u

0=100 et?n?N,un+1= (1+t)un+10

u n→+∞+∞•

Évolution de capital

K n+1= (1-δ)Kn+Iavec 0< δ <1 I. SRLO1 à coefficients constants et à second membre constant

Modèle de Cobweb

Demande :Qdt=α-βPt(α,β >0)

Offre :Qst=-γ+δPt-1(γ,δ >0)

Équilibre :Qdt=QstI. SRLO1 à coefficients constants et à second membre constant

Les différents comportements

Cas particuliers

Casa=1 :

divergence régulière?××××××

Casa=-1 :

divergence oscillatoire, oscillations entretenues?××× I. SRLO1 à coefficients constants et à second membre constant

Les différents comportements : cas oùa>1

•a>1 etu0> ?: divergence régulièreu 0u 1u 1u 2u 2u 3u 3u 4u 4u 5u 5u 6u

6?×××××

•a>1 etu0< ?: divergence régulièreu 0u 1u 1u 2u 2u 3u 3u 4u 4u 5u 5u 6u

6?××××

×I. SRLO1 à coefficients constants et à second membre constant

Les différents comportements : cas où 0 •0 ?: convergence régulièreu 0u 1u 1u 2u 2u 3u 3u 4u 4u 5u 5u

6?×

I. SRLO1 à coefficients constants et à second membre constant

Les différents comportements : cas oùa<0

•a<-1 : divergence oscillatoire, oscillations explosivesu 0u 1u 1u 2u 2u 3u 3u 4u 4u 5u 5u 6u 6u 7u 7u 8u

6?×××

• -16?×××

×××II. Équations aux différences finies d"ordre 1 non linéaires Équation aux différences finies non linéaire homogène du premier ordre y t+1=f(yt),?t?N ou u n+1=f(un),?n?N avecf:I →R,I ?ROn se limite au cas oùfest continue surI.Premiers exemples ?n?N,un+1=u2n ?n?N,vn+1=⎷v n ?n?N,wn+1=11-wn II. Équations aux différences finies d"ordre 1 non linéaires

Existence du processus

Intervalle stable par une fonction

Soitfune fonction telle quef:D→RavecD?R.

On dit qu"un intervalleI ?Deststableparfsi et seulement si

f(I)? I.Cas de bonne définition d"une suiteSi l"intervalleIest stable parfet si le premier termeu0appartient

à l"intervalleI, alors pour tout entier natureln, le termeunexiste et appartient àI.II. Équations aux différences finies d"ordre 1 non linéaires

Point d"équilibre

valeur deu0telle queun+1=un,?n?NPoint fixe def valeurxtelle quef(x) =x Les points d"équilibre de l"équationun+1=f(un)correspondent aux points fixes de la fonctionf.Limite potentielle Si la suite(un)n?Nconverge, alors elle converge vers un point fixe de la fonctionf, c"est-à-dire vers un de ses états d"équilibre. II. Équations aux différences finies d"ordre 1 non linéaires

Théorème de la limite monotone

Toute suite réelle monotone admet une limite (finie ou infinie).

1.Soit(un)n?Nune suite croissante.

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