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Définition : Dans un triangle rectangle, on appelle : ○ Cosinus d'un angle aigu le quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle aigu par la longueur de

Mathématiques Terminale STD2A 2 27 mars 2018 Théorème d'Al-Kashi : exercices Exercice 1 PARTIE A:ÉTUDE DE LA MAILLE « PÉTALE » La maille

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d) Déduire de la question 2c que HA+BC ⩾ AB+AC 3 Conclure Exercice 14 Théorème d'Al-Kashi Le théorème de Pythagore permet de calculer la longueur

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Exercice Exercice 5 Soit x un réel appartenant à 0; 2 π 1) D'après le théorème d'Al-Kashi, on a: AC2 = AB2 + BC 2 − 2 × AC × BC × cos

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Dans le triangle ABC tel que: AB = 3 cm AC = 4,3 cm et BC = 6,7 cm Déterminer l 'angle Â D'après le théorème d'Al Kashi, BC² = AC² + AB² 2 AC AB

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Dans le cas d'un angle droit, le triangle est rectangle et la formule d'Al-Kashi correspond au théorème de Pythagore 3°) ABC est un triangle tel que AB = 3 ; AC

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Ex 3 : Théorème d'Al Kashi Combien existe-t-il de triangles ABC tels que AB=7 , AC=8 et ^ ACB=60 ° Ex 4 : Deux méthodes Soit ABCD un parallélogramme

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Fiche de travail ± Al-Kashi

Dans un triangle rectangle, on appelle :

·}]vµ[µvvPo]Pµo'µ}š]všoo}vPµµOEµ€š ivššvPo]Pµ‰OEoo}vPµµOEo[ZÇ‰}š vµX

·^]vµ[µvvPo]Pµo'µ}š]všoo}vPµµOEµ€š }‰‰} švPo]Pµ‰OEoo}vPµµOEo[ZÇ‰}š vµX

·dvPvš[µvvPo]Pµo'µ}š]všoo}vPµµOEµ€š }‰‰} švPo‰OEoo}vPµµOEµ€š ient à

cet angle aigu.

Déterminer la longueur BC.

On considère la hauteur du triangle ABC issue de ܣ. On note ܪ

Dans le triangle AHB, exprimer ܿ

En travaillant dans le triangle AHC et en utilisant le résultat de la question 1), prouver que : b) En déduire une expression de ݔ.

o[]OE µošš'µš]}vîšïU‰OE}µÀOEo(}OEuµo[l-Kashi :

Construire un triangle ABC tel que :

Document réalisé par Morgan Gilot, Académie d'Orleans-Tours

Fiche de travail - Archimède

>µš[OEZ]u š]š šOEu]vOEµv(}OEuµo‰}µOEoµoOEoÀ}oµu[µv}µoX x ʹܴܴ x ʹܴ ⃩U‰}µOEZ'µ}o]ošOEvZ[ ‰]µOEࣟ݄

Fiche de travail - Bernoulli

Première partie : Epreuve de Bernoulli

Définition :

épreuve de Bernoulli

a)  b) L:5;

2) ⃩L:5;

Deuxième partie : Schéma de Bernoulli

Définition :

schéma de Bernoulli⃩ 1) a) b) ⃠

Fiche de travail t Cavalieri

Première partie : Coµoo[]OEµ]'µ

Première version du principe de Cavalieri :

parallèles 55

565556

NNr4

2)묠

Deuxième partie : Calcul du volume de la boule

Une autre version du principe de Cavalieri (ou méthode des indivisibles) : N NN NN Document réalisé par Morgan Gilot, Académie d'Orleans-Tours U

1)

2)⃠

8 Lv uèN7 Troisième partie : µš]}vo[]OEde la sphère N

/o(µš'µ‰}oÇP}v}]vššOE‰š]š‰}µOE'µo[}v‰µ]}v] OEOE

'µ[]o POEvš oµOE (}OEu µOE o phère. S[ils étaient trop grands, cette

approximation n[aurait pas de sens. J

2)뀱

3) s uN

H#ENA@AH=OLD°NA

Lv uèN7 Document réalisé par Morgan Gilot, Académie d'Orleans-Tours

Fiche de travail - Diophante

‰OE}ouššOE]µ D šOE}}OE~ÀOEñìì'µ]‰OEušoµoOEo[P]}‰Zvšu}OEš

Passant, sous ce tombeau repose Diophante,

Et quelques vers tracés par une main savante

Vont te faire connaître à quel âge il est mort :

Des jours assez nombreux que lui compta le sort,

Le sixième marqua le temps de son enfance ;

Le douzième fut pris par son adolescence.

Des sept parts de sa vie, une encore s'écoula,

Puis, s'étant marié, sa femme lui donna

Cinq ans après un fils qui, du destin sévère Reçut de jours, hélas ! deux fois moins que son père. De quatre ans, dans les pleurs, celui-ci survécut : Dis, si tu sais compter, à quel âge il mourut.

Fiche de travail - Euclide

On considère un triangle ABC.

On sait que :

Déterminer la mesure de chacun des angles du triangle ABC.

1)On considère un triangle ABC.

6)Conclure sur la somme des angles du triangle ABC.

Quatrième partie : Généralisation

Fiche de travail - Euler

Première partie : Trois droites remarquables du triangle

Définitions :

On appelle :

médiatrice [µvPuvšoOE}]š‰OE‰v]µo]OEPuvš'µ]‰‰OE}vu]o]µX

médiane [µvšOE]vPoµvOE}]š'µ]‰‰OEµv}uušµšOE]vPoš‰OEou]o]µµ€š }‰‰} }uušX

hauteur [µvšOE]vPoµvOE}]š'µ]‰‰OEµv}uušµšOE]angle et qui est perpendiculaire au côté opposé à

ce sommet.

1)Tracer un triangle ABC.

2)Tracer en vert les trois médiatrices du triangle, en rouges les trois médianes du triangle, en bleu les trois hauteurs

du triangle. Que remarque-t-on sur ces trois triplets de droites ?

3)Quelle conjecture peut-on faire à propos des trois points ainsi obtenus ?

Deuxième partie : Démonstration de la concourance des médiatrices médiatrice de [AB]. On appelle ܱ

2)En déduire que ܱ

3)Que peut-on en conclure.

Définition W>‰}]vš[]všOEš]}všOE}]u ]šOE][µvšOE]vPoš‰‰o ocentre du cercle circonscrit au

triangle. Troisième partie : Démonstration de la concourance des hauteurs la droite parallèle à (AB) qui passe par C.

1)Quelle est la nature des quadrilatères AFBC et AECB ?

Définition W>‰}]vš[]všOEš]}všOE}]ZµšµOE[µvšOE]vPoš‰‰o o[orthocentre au triangle.

Propriété - définition W>šOE}]u ]v[µvšOE]vPo}vš}v}µOEvššoµOE‰}]vš[]všOEš]}vš‰‰o o

centre de gravité au triangle.

Propriété - définition : vµvšOE]vPoUovšOEµOEo]OE}vOE]šUo[}OEšZ}všOEšovšOEPOEÀ]š }vš

Fiche de travail - Euler

Première partie : Un problème à résoudre comprenait sept ponts, disposés selon le schéma ci-contre. promenade passant dans chacune des quatre parties de la ville mais une fois et une seule fois par chaque pont.

Cela est-il possible ?

Deuxième partie : Une schématisation du problème On appelle graphe un ensemble de points et de " liens » comme sur les figures ci-dessous :

Définition :

Les liens sont appelés les arêtes du graphe. Une arête a pour extrémités deux sommets. partent (ou qui arrivent).

On considère le graphe ci-contre.

1) Combien de sommet a ce graphe ?

2) Quel est le degré du sommet ༄͍

3) Quel est le degré du sommet ༉?

Troisième partie : Chaîne et cycle eulériens

Définitions :

Définition :

toutes les arêtes du graphe, prises chacune une fois et une seule. arêtes du graphe, prises chacune une fois et une seule.

On considère le graphe ci-contre.

3) Donner un exemple de chaîne eulérienne.

4) Est-ce un graph eulérien ?

6) Le graphe utilisé pour les questions 1) et 2) de cette partie possède-t-il une chaîne eulérienne ?

Quatrième partie : Une propriété très utile

1) Dessiner un graphe à 5 sommets qui possède une chaîne eulérienne.

2) Dessiner un graphe à 6 sommets qui soit eulérien.

sommets des graphes eulériens, que remarque-t-on ? b) Quelles propriétés peut-on conjecturer ?

4) Peut-on dessiner les enveloppes ci-contre sans lever le crayon et en passant une fois et une seule sur chaque trait

(mais on peut passer plusieurs fois par un même point) ? Justifier.

Fiche de travail - Fibonacci

Première partie : Un problème à résoudre Juliette se trouve face à son escalier qui composte 14 marches et se demande :

" Combien de possibilités ai-je pour monter cet escalier en sachant que je peux monter, à chaque fois, soit une

marche, soit deux marches. »

Par exemple :

est une possibilité.

1) ^]o[o]OE}u‰}OEšíuOEZU}u]v‰}]]o]š y a-t-il ? Les lister. On note ܨ

2) ^]o[o]OE}u‰}OEšîuOEZU}u]v‰}]]o]š Ç-t-il ? Les lister. On note ܨ

3) ^]o[o]OE}u‰}OEšïuOEZU}u]v‰}]]o]š Ç-t-il ? Les lister. On note ܨ

4) ^]o[o]OE}u‰}OEšðuOEZU}u]v‰}]]o]š Ç-t-il ? Les lister. On note ܨ

5) Répondre à la question de Juliette.

On peut monter, à chaque fois, soit une marche, soit deux marches.

On appelle ܨ

Etablir une relation de calcul qui permette de calculer ܨ௡ à partir de ܨ௡ିଵ et ܨ

Troisième partie : Manipulation de cette suite

1) Remplir la suite de Fibonacci suivante :

2 5

2) Compléter la suite de Fibonacci suivante :

9 241

3) Trouver la suite de Fibonacci commençant par 8 et dont le 7ème terme est 134 :

8 134

Fiche de travail - Héron

L=#$ L?#% L> 5 L

¥L:L

F=;:L F>;:L F?; L L L= E> E? t Lsr#% Lsu 1)

2)oµoOEo[]OEšOE]vPovµš]o]OEo(}OEuµo, OE}vX

Deuxième partie : Le cas du triangle rectangle isocèle L#% L=

1)oµoOEo[]OEšOE]vPov(}vš]}v=

2)$%=

3)s OE](]OE'µ[Ào(}OEuµo, OE}vU}vOEšOE}µÀ]vou!uOE µošš'µvo'µš]}víX

Troisième partie : Le cas du triangle équilatéral L= 1)%

2)oµoOEo[]OEšOE]vPov(}vš]}v=

3)s OE](]OE'µ[Ào(}OEuµo, OE}vU}vOEšOE}µÀ]vou!u

Quatrième partie : Le cas général

LT#* LD

1)#*$D?T

2)#*%D=á>T

T L=6 F>6 E?6 t=

4)Tvo[AE‰OE]}všOE}µÀ vo'µš]}víUu}všOEOEUo[]]vš]š OEuOE'µo'µ

D L F= E?;:> E= F?;:= E? F>;:= E> E?; t=

5)v µ]OE'µo[]OEµšOE]vPoš

quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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Fiche de travail ± Al-Kashi

Dans un triangle rectangle, on appelle :

Déterminer la longueur BC.

Dans le triangle AHB, exprimer ܿ

Construire un triangle ABC tel que :

Fiche de travail - Archimède

Fiche de travail - Bernoulli

Première partie : Epreuve de Bernoulli

Définition :

épreuve de Bernoulli

2) ⃩L:5;

Deuxième partie : Schéma de Bernoulli

Définition :

Fiche de travail t Cavalieri

Première partie : Coµoo[]OEµ]'µ

Première version du principe de Cavalieri :

565556

NNr4

2)묠

Deuxième partie : Calcul du volume de la boule

1)

2)⃠

2)뀱

H#ENA@AH=OLD°NA

Fiche de travail - Diophante

Passant, sous ce tombeau repose Diophante,

Et quelques vers tracés par une main savante

Des jours assez nombreux que lui compta le sort,

Le sixième marqua le temps de son enfance ;

Le douzième fut pris par son adolescence.

Des sept parts de sa vie, une encore s'écoula,

Puis, s'étant marié, sa femme lui donna

Fiche de travail - Euclide

On considère un triangle ABC.

On sait que :

1)On considère un triangle ABC.

6)Conclure sur la somme des angles du triangle ABC.

Quatrième partie : Généralisation

Fiche de travail - Euler

Définitions :

On appelle :

1)Tracer un triangle ABC.

2)Tracer en vert les trois médiatrices du triangle, en rouges les trois médianes du triangle, en bleu les trois hauteurs

3)Quelle conjecture peut-on faire à propos des trois points ainsi obtenus ?

2)En déduire que ܱ

3)Que peut-on en conclure.

1)Quelle est la nature des quadrilatères AFBC et AECB ?

Fiche de travail - Euler

Cela est-il possible ?

Définition :

On considère le graphe ci-contre.

1) Combien de sommet a ce graphe ?

2) Quel est le degré du sommet ༄͍

3) Quel est le degré du sommet ༉?

Définitions :

Définition :

On considère le graphe ci-contre.

3) Donner un exemple de chaîne eulérienne.

4) Est-ce un graph eulérien ?

6) Le graphe utilisé pour les questions 1) et 2) de cette partie possède-t-il une chaîne eulérienne ?

1) Dessiner un graphe à 5 sommets qui possède une chaîne eulérienne.

2) Dessiner un graphe à 6 sommets qui soit eulérien.

4) Peut-on dessiner les enveloppes ci-contre sans lever le crayon et en passant une fois et une seule sur chaque trait

Fiche de travail - Fibonacci

Par exemple :

1) ^]o[o]OE}u‰}OEšíuOEZU}u]v‰}]]o]š y a-t-il ? Les lister. On note ܨ

2) ^]o[o]OE}u‰}OEšîuOEZU}u]v‰}]]o]š Ç-t-il ? Les lister. On note ܨ

3) ^]o[o]OE}u‰}OEšïuOEZU}u]v‰}]]o]š Ç-t-il ? Les lister. On note ܨ

4) ^]o[o]OE}u‰}OEšðuOEZU}u]v‰}]]o]š Ç-t-il ? Les lister. On note ܨ

5) Répondre à la question de Juliette.

On appelle ܨ

Troisième partie : Manipulation de cette suite

1) Remplir la suite de Fibonacci suivante :

2) Compléter la suite de Fibonacci suivante :

9 241

3) Trouver la suite de Fibonacci commençant par 8 et dont le 7ème terme est 134 :

8 134

Fiche de travail - Héron

¥L:L

Première partie : Coµoo[]OEµ]'µ

1) ^]o[o]OE}u‰}OEšíuOEZU}u]v‰}]]o]š y a-t-il ? Les lister. On note ܨ

2) ^]o[o]OE}u‰}OEšîuOEZU}u]v‰}]]o]š Ç-t-il ? Les lister. On note ܨ

3) ^]o[o]OE}u‰}OEšïuOEZU}u]v‰}]]o]š Ç-t-il ? Les lister. On note ܨ

4) ^]o[o]OE}u‰}OEšðuOEZU}u]v‰}]]o]š Ç-t-il ? Les lister. On note ܨ

2)oµoOEo[]OEšOE]vPovµš]o]OEo(}OEuµo, OE}vX

3)s OE](]OE'µ[Ào(}OEuµo, OE}vU}vOEšOE}µÀ]vou!uOE µošš'µvo'µš]}víX

4)Tvo[AE‰OE]}všOE}µÀ vo'µš]}víUu}všOEOEUo[]]vš]š OEuOE'µo'µ

5)v µ]OE'µo[]OEµšOE]vPoš