Etudier l'existence d'une limite pour les suites suivantes 1) Montrer que x = sup(A) ssi (x majore A et il existe une suite (xn)n∈N de A trique de raison −1 2
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[PDF] I Suites arithmétiques II Suites géométriques III Suites arithmético
Retrouver l'expression du terme général de la suite (un)n∈N `a partir du terme général d'une suite géomé- trique Exemple : Soit (un)n∈N la suite définie par
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Il choisit alors de modéliser l'évolution du nombre de poissons par la suite géomé- trique (vn), de raison q = 0,935 et de premier terme v0 = 5 150 Ainsi vn
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2 1 2 Algorithmes associés aux suites géométriques L'algorithme suivant permet de calculer un terme de rang N donné pour une suite géomé- trique de
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Sont-ce les premiers termes d'une suite géoém- trique ? Pourquoi ? 2 Quel serait le terme suivant ? VII (5 points) Pierre se constitue une tirelire afin d' acheter
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Etudier l'existence d'une limite pour les suites suivantes 1) Montrer que x = sup(A) ssi (x majore A et il existe une suite (xn)n∈N de A trique de raison −1 2
Calculer les termes dsune suite arithme tique Raison : 1 er terme
Matrice 5 Calculer les termes dsune suite ge ome trique On étudie une suite géométrique Utiliser les cases grises pour compléter les cases blanches Raison :
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est la somme des n + 1 premiers de la suite géomé- trique an = 1 · (2x) n ∀n : N qui a premier terme 1 et raison 2x Par le théorème R 16, on a donc 1+2 · x + 2
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Lorsque la suite est arithmétique ou géomé- trique, calculer la somme des vingt- cinq premiers termes 1) un = − 5(n −2), n ∈ N; 2) vn = 1+4 2(n + 3), n ≥ 1;
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Math I Analyse,
Feuille3: Suites numériques
1 Existence et calculs de limite
Exercice 1.Etudier l"existence d"une limite pour les suites suivantes. a)un=nn+1 b)un=3n12n+3 c)un=sin(n)n d)un=12 n+13 n e)un= 1 +13 +13 2++13 n f)un=pn+ 1pn g)un=3n2+25n+1h)un=ncosn+ 2n. Exercice 2.Montrer que la suite(un)n0définie parun=pn2+nnest convergente, et
calculer sa limite (Indication : multiplierunparpn2+n+n).
Exercice 3.Montrer que les suites(un)suivantes sont convergentes, et calculer leur limite : u n=nn2+ 1+nn
2+ 2++nn
2+n; un=nX
k=1npn 4+k: Exercice 4.En n"utilisant que la définition d"une limite, montrer que : lim n!+11n = 0,limn!+12n= +1,limn!+1n2 = +1,limn!+13n12n+ 3=32 Exercice 5.Montrer que la suite(un)n2Ndéfinie parun= (1)n+1n n"est pas convergente.Exercice 6.Étudier la suiteun=anbna
n+bn,aetbétant donnés dansN. Exercice 7.SoitAune partie bornée deRetxun réel.1) Montrer quex= sup(A)ssi (xmajoreAet il existe une suite(xn)n2NdeAqui converge
versx).2) Enoncer un résultat analogue pourinf(A).
2 Exercices théoriques
2.1 Monotonie, suites extraites et suites de Cauchy
Exercice 8.a) Soit(un)telle que les suites extraites(u2n)et(u2n+1)convergent vers une même limitel. Montrer alors queunconverge versl. 1 b) Soit(un)telle que(u2n),(u2n+1)et(u3n)soient convergentes (cette fois sans hypothèse sur la valeur de leur limite). Montrer que les trois limites sont en fait égales, et queunconverge vers cette limite.Exercice 9.On définit la suite(un)parun=sin13
+sin232++sinn3
n. Montrer que la suite (un)est de Cauchy. Conclure.2.2 Suites arithmétiques, suites géométriques
Exercice 10.On étudie la convergence d"une suite géométrique de raisona.1) i) Rappeler la formule du binôme de Newton.
ii) Soita >1. En écrivanta= 1 +b, avecb >0, montrer que(an)1 +nb. iii) En déduire quelimn!+1an= +1:2) En déduire que si0a <1,limn!+1an= 0.
3) Sia0, conclure queun=anest convergente si et seulement si0a1.
Exercice 11.Soitr2Rfixé et(un)définie paru02Rfixé, et8n2N; un+1=un+r.1) Calculeru1;u2;u3.
2) Calculer explicitement le terme généralunen fonction den.
3) La suite(un)est-elle monotone? Si oui, préciser si elle est croissante ou décroissante en
fonction du signe der.4) La suite est-elle convergente? Bornée?
On définit la suite(vn)n0parvn=Pn
k=0uk.5) Calculer le terme généralvnen fonction den. La suite(vn)est-elle convergente?
Exercice 12.1) Soit(un)une suite réelle.
i) On suppose :9n02N; k2]0;1[:8nn0;jun+1j kjunj. Montrer quelimn!1un= 0 ii) On suppose :(un)est à valeurs positives et9n02N; k >1 :8nn0; un+1kun.Montrer queun!+1.
iii) Application : montrer que8a2R;limn!1a nn!= 0.2) Généralisation : on considère(un)suite à valeurs dansR+telle que(un+1u
n)converge versl. i) Sil >1,un!+1. ii) Sil <1alorsun!0. Indication pour i) (respectivement pour ii)) : montrer qu"il existek >1(respectivement k <1),n02Ntels que8nn0; un+1kun(respectivementun+1kun)3 Suites récurrentes
Exercice 13.Soit(un)n2Nla suite réelle définie par récurrence en posantu0= 1etun+1=p1 +unsin2N.