Centre de masse d'un secteur circulaire Considérons Le centre de gravité d'un solide homogène est donné par : dv OA (voir calcul d'un volume) Et z z
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Centredemasse.
Considérons une plaque comme étant un secteur circulaire d"angle (en radian) et de rayon :L"élément de surface vaut ds=dr.r.d
Le centre de gravité d"un solide homogène est donné par : dvOAOGV vi∫∫∫= avec V = Volume du solide L"épaisseur étant constante, on peut écrire : dsOAOGS si∫∫= avec S = Surface de la plaque La position du centre de gravité de l"élément de surface ds est donné par : z.sin.rx.cos.rOAirrq+q= donc : ∫∫∫∫q+q= ss z.ds.sin.rx.ds.cos.rOGSrr aaqq+qq=0R 00R0z.d.r.dr.sin.rx.d.r.dr.cos.rOGSrr
aaqq+qq=0R 02 0R02z.d.sindr.rx.d.cosdr.rOGSrr
[ ][ ][ ][ ]z.3)cos1(Rx.3sinRz.cos.r31x.sin.r31OGS 330R 03 0R
03rrrra-+a=q-+q=aa
Si α=p alors 2R.2
1Sp=donc 2R.2
1Sa= z.R3 )cos1(R2x. R3 sinR2OG 2323rr
aa-+aa= donc : z.3 )cos1(R2x. 3 sinR2OGrr aa-+aa= Pour une plaque ayant la forme d"un quart de cercle : 2 p=a z.3 R4x. 3
R4OGrr
p+p=Vérification avec le théorème de Guldin
pour 2 p=a, la surface est un quart de cercle de surface 4RS2p=. Par rotation autour de
l"axe zr, le volume engendré est une demi-sphère de volume 3R2V3p=.
Le second théorème de Guldin nous donne la relation :Gr.S..2Vp= où rG est la distance du
centre de gravité du quart de cercle par rapport à l"axe zr.On obtient :
p=pp=p3R4roù"dr.
4 R..2 3 R2 GG23ce qui correspond au résultat trouvé par application de la définition du centre de gravité.
Soit un cône de révolution d"axe z , d"angle au somment 2a ayant une masse m.Le centre de gravité G est défini par :
dm.OPm1OGP∫=
On a h R z rtan==a donc h R.zr= 2222h dzR.zdzrdv.dmrp=rp=r= et 3 hR.v.m2rp=r= (voir calcul d"un volume) Et z.zOPr=
D"où
[ ]z.h4h3z.zh43z.dz.zh3z.hdzR.z.zhR3z.dm.zhR3OG34 h 04 3h 0 3 3222h02h 0 2 rrrrr===rp rp=rp=∫∫∫
On a finalement :
z.4 h3OGr=On applique les définitions suivantes :
iii G iiiGmymyetmxmx
Avec M = masse totale du système =
∑imIci )Rl.L.(S.M
2p-r=r=
xr yr Appelons S1 la plaque rectangulaire de dimensions L x l Et S2 le cercle de rayon R
On cherche les coordonnées du
centre de gravité G de la plaque. GGyxG 2222
2G21G1
iiiGRl.LaR
)Rl.L.(aR0. Mxmxm mxmxp-p-=p-rrp-r=-==∑ donc2222Rl.LbRRl.LaR
G p-p-p-p- 2222