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FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE 1
A. Définitions
1- Introduction
Soient A et B deux parties de
On dit que f est une fonction de A vers B si tout nombre réel x de A a pour image par f au plus un (i.e. un ou zéro) nombre réel de B. f ainsi définie est une fonction de la variable réelle x.2- Ensemble de définition
L'ensemble de définition
f D de f, est la partie de A dont leséléments ont une image dans B.
Le mot défini signifie déterminé. Le mot indéfini signifie infini. Rechercher l'ensemble de définition d'une fonction c'est déterminer le domaine (resp. l'intervalle) à l'intérieur duquel cette fonction n'admet que des valeurs finies.3- Notation et représentation graphique
La fonction f de A vers B est une application de A dans B qui à x fait correspondre y tel que : fAB x yfx Soit ,,Oi j un R.O.N.D. (i.e. un repère orthonormé direct) du plan P. http://ginoux.univ-tln.fr 2 La représentation graphique de f consiste en l'ensemble des pointsM de coordonnées
,xfx f xD . Le point M décrit la courbe représentativeC de f lorsque x décrit
f D.4- Détermination pratique de l'ensemble de définition
Trois cas génériques : Soient
Px et Qx deux fonctions 1 er cas : fonction du type PfxQ f est définie pour tout 0Q 2éme
cas : fonction du type fxQ f est définie pour tout 0Q 3éme
cas : fonction du type PfxQ f est définie pour tout 0Q N.B. : Ensemble et intervalle de définition.La fonction
1yfx x admet pour ensemble de définition f D Elle admet pour intervalle de définition l'intervalle : ,0 0, http://ginoux.univ-tln.fr 3B. Continuité
Une fonction
yfx est continue en un point 0 x où elle est définie si et seulement si elle admet en ce point une limite l finieOn dit que f est continue en
0 x ssi 0, 0!! tels que xI 00 xx fx fxC. Limites
1- Définition - Notation
Soit f une fonction
yfx définie sur un intervalle I contenant le point 0 x . On dit que f admet pour limite en ce point 0 x le nombre réel L ssi :0, 0 tels que xI
00 xx fx L
On note :
0 lim xx fxL2- Théorèmes
Th1 : Limite d'une fraction rationnelle En , la limite d'une fraction rationnelle est égale au quotient de ses termes de plus haut degré. http://ginoux.univ-tln.fr 4Th2 : Limite à gauche, à droite d'un point
0 x x x xLimite à gauche :
0 0 00 lim lim xx xx fx fx H ooLimite à gauche :
0 0 00 lim lim xx xx fx fx H ooFormes indéterminées :
0 0 0 Th3 : Règle de L'Hospital Guillaume de L'Hospital (1661-1704), marquis de Saint Mesme, est un élève de Jean Bernoulli qui lui apprend le calcul différentiel. C'est ainsi que L'Hospital est le premier à écrire un traité sur ce nouvel outil, le livre Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1696). C'est dans ce livre qu'apparait la célèbre règle de L'Hospital, qui permet parfois de lever des formes indéterminées du type 0/0. En 1707, L'Hospital publie également un traité sur les coniques (Traité
analytique des sections coniques ), qui sera pendant un siècle un classique du genre. La connaissance du calcul différentiel fait que L'Hospital est un de ceux qui résoud le problème de la brachistochrone, indépendamment de mathématiciens prestigieux comme Newton ou Leibniz.Toutefois, ce mérite est entâché par les déclarations, après la mort de son élève, de Jean
Bernoulli : à la suite d'un arrangement financier, L'Hospital aurait publié sous son propre nom
des résultats dus à Bernoulli. Lien hypertexte : http://www.bibmath.net/index.php3 http://ginoux.univ-tln.fr 5