[PDF] [PDF] Evénements indépendants et probabilités conditionnelles

[PDF] Utilisation des tableaux de probabilités

La probabilité d'un événement A se note P(A) ; c'est un nombre positif compris entre 0 et 1 A ∩ B = "A inter B" se réalise quand les événements A ET B se réalisent conditionnelles On les calculera alors avec la formule : PB(A) = P(A ∩ B)

[PDF] Probabilités conditionnelles - Maths-francefr

Probabilité de A sachant B Soient A et B deux événements, l'événement B étant de probabilité non nulle La probabilité de l'événement A sachant que l' événement B est réalisé est notée pB(A) (ou aussi p(A\B)) Elle est donnée par la formule

[PDF] Evénements indépendants et probabilités conditionnelles

Indépendance Probabilité conditionnelle P(A ∩ B) = P(A) P(B) Attention : Ne pas confondre indépendants et disjoints (A Formule des probabilités totales

[PDF] Probabilités conditionnelles

A et à B est noté A n B (se lit « A inter B » ou « A et B »), A n B = « obtenir une carte paire et inférieures strictement à six » : A n B = 1 2; 4 l, VII Les formules

[PDF] Probabilités conditionnelles et indépendances Terminale S Exercice

➀ Calculer p(A ∪ B) si p(A)=0 2,p(B)=0 45 et p(A ∩ B)=0 3; ➁ Calculer pB(A) si p(A ∩ B)=0 35 et p(B)=0 6 D'apr`es la formule des probabilités totales :

[PDF] Théorème axiomes et théorèmes de probabilité

alors P(A B) P(A) P(B) ∩ = ∅ ∪ = + (La probabilité de la réunion de deux événements incompatibles est égale à la somme de leurs probabilités) Théorèmes 

[PDF] Seconde - Calcul de probabilités - Apimaths

3) Une formule Soit deux événements A et B d'un même univers sur lequel on a défini une loi de probabilité p Pour tout A et tout B on a p ( A ⋂ B) + p ( A ∪ B ) 

[PDF] formule probabilité p(a) sachant b

[PDF] formule probabilité totale

[PDF] formule proportion

[PDF] formule rédaction de courrier administratif

[PDF] formule révision des prix marchés publics

[PDF] formule semi développée acetone

[PDF] formule semi développée acide ascorbique

[PDF] formule semi développée acide pyruvique

[PDF] formule semi développée ethanol

[PDF] formule semi développée fructose

[PDF] formule semi développée vitamine c

[PDF] formule statistique maths

[PDF] formule suite géométrique

[PDF] formule tableau de bord bts muc

[PDF] formule taux de réalisation

IndependanceP robabilitec onditionnelle

Chapitre 3

Evenements independants etProbabilites conditionnellesRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

IndependanceP robabilitec onditionnelle

IndependanceDenition

Deux evenementsAetBsont ditsindependantssi

P(A\B) =P(A):P(B)Attention :Ne pas confondre independants et disjoints! (A etBsont disjoints siP(A\B) = 0, cadA\B= 0 ) Exemple 1On tire au hasard, dans un jeu de 32 cartes non truque, une carte, puis sans la remettre, une autre. Soit

A: "la premiere carte tiree est un coeur"

B: "la seconde carte tiree est un coeur"

Les evenements A et B sont-ils independants?P(A) =card(A)card( =832 =14

P(B) =card(B)card(

); card(B) depend de la premiere etapeRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

IndependanceP robabilitec onditionnelle

SiAalors card(B) = 7 etP(B) =731

SiAalors card(B) = 8 etP(B) =831

Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

IndependanceP robabilitec onditionnelle

P(A\B) =14

x731 =7124

P(A\B) =14

x2431 =631

P(A\B) =34

x831 =631

P(A\B) =34

x2331 =69124

Rq :P(A\B) +P(A\B) +P(A\B) +P(A\B) = 1

P(B) =P(A\B)[(A\B)=P(A\B) +P(A\B) =

7124
+631
=14

P(A\B)6=P(A)P(B))A et B ne sont pas independantsRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

IndependanceP robabilitec onditionnelle

Avec remise, on a

P(A\B) =14

x14

=P(A)P(B))A et B sont independantsRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

IndependanceP robabilitec onditionnelle

Exemple 2 :

Soit une famille de deux enfants. A="la famille a des enfants des 2 sexes", B="la famille a, au plus, une lle".

A et B sont-ils independants?

A=f(F;G);(G;F)g )P(A) =24

=12

B=f(F;G);(G;F);(G;G)g )P(B) =34

(B=f(F;F)g)

A\B=A)P(A\B) =12

6=P(A)P(B)

)A et B ne sont pas independantsRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

IndependanceP robabilitec onditionnelle

M^eme question avec 3 enfants.

=f(F;F;F);(F;F;G);(F;G;F);(F;G;G); (G;F;F);(G;F;G);(G;G;F);(G;G;G)gA=f(F;F;F);(G;G;G)g )P(A) =68 =34

B=f(F;G;G);(G;F;G);(G;G;F);(G;G;G)g )

P(B) =48

=12

A\B=f(F;G;G);(G;F;G);(G;G;F)g

)P(A\B) =38 =P(A)P(B) )A et B sont independants

(ceci est uniquement vrai pourn=3)Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

IndependanceP robabilitec onditionnelle

Remarques

1Pour tout evenement A, A et

sont independants P( ) = 1)P(A\ ) =P(A) =P(A)P( )2Soient A et B deux evenements non impossibles. Si A et B sont disjoints, alors A et B ne sont pas independants.

A\B= 0)P(A\B) = 06=P(A)P(B)

car A et B ne sont pas impossibles3Si A et B sont independants alors A etB le sont aussi.

P(A) =P((A\B)[(A\B)) =P(A\B) +P(A\B))

car (A\B) et (A\B) sont disjoints =P(A)P(B) +P(A\B) carAetBsont independants )P(A\B) =P(A)P(A)P(B) =P(A)(1P(B)) =P(A)P(B) )A etB sont independants Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

IndependanceP robabilitec onditionnelle

GeneralisationDenition

Les evenementsA1;A2;:::;Ansontmutuellement

independantssi8p2Ntel que 2pnet pour toute collection de p evenementsAi1;Ai2;:::;Aipon a

P(Ai1\Ai2\:::\Aip) =P(Ai1)P(Ai2):::P(Aip)Remarque:il y aC2n+C3n+:::+Cnn= 2nC1nC0n= 2nn1 conditions a verier

Cas particulier :Trois evenements A, B et C sont

mutuellement independants si :P(A\B) =P(A)P(B),

P(A\C) =P(A)P(C),P(B\C) =P(B)P(C) et

P(A\B\C) =P(A)P(B)P(C)Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

IndependanceP robabilitec onditionnelle

ProbabiliteconditionnelleDenition

Soient A et B deux evenements d'une m^eme epreuve et B un evenement non impossible (P(B)6= 0). On appelle probabilite conditionnellede A sachant (que l'evenement) B (s'est realise), noteePB(A) =P(AjB) =P(AsachantB), la probabilite

P(A\B)P(B)Remarques

1Si A et B sont independants

P(AjB) =P(A\B)P(B)=P(A)P(B)P(B)=P(A)2P(BjA) =P(B\A)P(A)=P(AjB)P(B)P(A)Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

IndependanceP robabilitec onditionnelle

Dans les exemples precedents:

Jeu de carte sans remise

P(BjA) =P(A\B)P(A)=7=1241=4=731

P(AjB) =P(A\B)P(B)=7=1241=4=731

Famille de 2 enfants

P(AjB) =P(A\B)P(B)=1=23=4=23

P(BjA) =P(A\B)P(A)=1=21=2= 1 (AB)9 boules numerotees dans une urne ; A="le n tire est un multiple de 3"; B="le n

tire est impair"A=f3;6;9g )card(A)=3)P(A) =13B=f1;3;5;7;9g )card(B)=5)P(B) =59A\B=f3;9g )card(A\B)=2)P(A\B) =29

P(AjB) =P(A\B)P(B)=25

P(BjA) =P(A\B)P(A)=23

Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

IndependanceP robabilitec onditionnelle

Formule des probabilites totalesTheoreme

Soit (Ai)i=1::nune collection d'evenements non impossibles formant une partition de . Alors pour tout evenementBde

P(B) =nX

i=1P(B\Ai) =nX i=1P(BjAi)P(Ai)Corralaire

Soit A un evenement de

tel que 0P(B) =P(B\A)+P(B\A) =P(BjA)P(A)+P(BjA)P(A)Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

IndependanceP robabilitec onditionnelle

Exemple :Une compagnie d'assurance a deux categories de clients :les jeunes conducteurs qui ont une probabilite d'accident de 40% (sur 5 ans)les autres, dont la probabilite d'accident est 20% Les jeunes conducteurs representent 30% de la clientele de la compagnie. Quelle est la probabilite d'avoir un accident pour un client quelconque? Soit A l'evenement "avoir un accident"et J l'evenement "^etre un jeune conducteur". Alors

P(A) =P(AjJ)P(J) +P(AjJ)P(J)

= 0;4x0;3 + 0;2x0;7 = 0;26Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

IndependanceP robabilitec onditionnelle

Formule de Bayes

Formule de probabilite des causes.

Exemple :Un labo commercialise un test medicalle test est positif chez 95% des personnes atteintes (5%

de "faux negatifs")le test est negatif chez 99% des personnes saines (1% de "faux positifs") La maladie touche 0,5% de la population. Une personne passe le test et le resultat est positif. Quel est la probabilite qu'elle soit atteinte? Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

IndependanceP robabilitec onditionnelle

Formule de Bayes

Theoreme

SoientAetBdeux evenements non impossibles. Alors

P(AjB) =P(A\B)P(B)=P(BjA)P(A)P(BjA)P(A) +P(BjA)P(A)Dans l'exemple, en denissant A="la personne est atteinte"et

B="le test est positif", on aP(A) = 0;005P(BjA) = 95% et

P(BjA) = 0;01. Ainsi

P(AjB) =0;95x0;0050;95x0;005 + 0;01x0;995'0;32Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

IndependanceP robabilitec onditionnelle

Formule de Bayes

Generalisation

quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3