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IMN428
Chapitre 2 - Transformations géométriques
Olivier Godin
Université de Sherbrooke
22 janvier 2014
Transformations géométriques1 / 104
Plan de la présentation
1Vecteurs et matrices
2Systèmes de coordonnées
3Transformations affines 2D
4Transformations affines 3D
5Gestion des matrices dans OpenGL
6Transformation fenêtre clôture
7Changement de repère
8Références
Transformations géométriques2 / 104
Vecteurs et matrices
1Vecteurs et matrices
2Systèmes de coordonnées
3Transformations affines 2D
4Transformations affines 3D
5Gestion des matrices dans OpenGL
6Transformation fenêtre clôture
7Changement de repère
8Références
Transformations géométriques3 / 104
Propriétés des vecteurs
Les vecteurs sont utiles pour représenter despositions(points, objets, caméra), desorientations(directions, normales), des mouvements(translation), desinformations sur les surfaces (couleur, propriétés lumineuses) etc. Dans le cours d"infographie, on rencontrera des vecteurs à2, 3 et 4 dimensions:(x;y),(a;b;c),(;; ;).Transformations géométriques4 / 104Propriétés des vecteurs
Soient deux scalaires,aetbet 3 vecteurs,P,QetR. On a les propriétés suivantes : (a)P+Q=Q+P (b)(P+Q) +R=P+ (Q+R) (c)(ab)P=a(bP) (d)a(P+Q) =aP+aQ (e)(a+b)P=aP+bPTransformations géométriques5 / 104Propriétés des vecteurs
Les vecteurs s"additionnent et se soustraientcomposante à composante, c"est-à-dire que siP= (P1;P2;:::;Pn)etQ= (Q1;Q2;:::;Qn);
alors P+Q= (P1+Q1;P2+Q2;:::;Pn+Qn):Transformations géométriques6 / 104Propriétés des vecteurs
On évalue l"amplitude(ou lanorme) d"un vecteurVde dimensionn avec la formule jVj=v uutn X i=1V 2i: Par exemple, dans le cas d"un vecteur de dimension 3(Vx;Vy;Vz), on aura jVj=qV2x+V2y+V2z:
Un vecteur ayant une norme de 1 sera ditvecteur unitaire.Transformations géométriques7 / 104Propriétés des vecteurs
Soit un scalaireaet deux vecteursPetQ. On a les propriétés suivantes : (a)jPj 0 (b)jPj=0 si et seulement siP= (0;0;:::;0) (c)jaPj=jajjPj (d)jP+Qj jPj+jQjCette dernière propriété porte le nom d"inégalité du triangle.Transformations géométriques8 / 104
Propriétés des vecteurs
Un vecteurVnon nul (au moins une des composantes doit être différente de 0) peut être ramené à un vecteur unitaire en le multipliant par1jVj. Cette opération s"appelle lanormalisation.
Attention à ne pas confondre la normalisation avec le concept de vecteur normal. Un vecteur normal est un vecteur perpendiculaire à une surface en un point donné.Transformations géométriques9 / 104
Produit scalaire
Leproduit scalairesert à mesurer ladifférence entre deux directionsdonnées par des vecteurs. On évalue le produit scalaire de deux vecteurs de taillen,PetQ, à l"aide de la formule PQ=nX i=1P iQi Cette formule peut aussi être exprimée sous la forme d"unproduit matriciel:PQ=PTQ=P1;P2;:::;Pn2
6 664Q1 Q 2... Q n3 7