Le morphisme de Frobenius est une bijection (en fait un automorphisme de corps ) sur un ensemble fini (en fait un corps fini) Quel est donc la signature de cette
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[PDF] Corps finis Morphisme de Frobenius Résultats - Objectif Agrégation
On note Fqn « le » corps fini à qn éléments Proposition-Définition 1 Morphisme de Frobenius Soient A un anneau commutatif unitaire de caracté- ristique p (voir l
[PDF] Signature et corps finis - Objectif Agrégation
Le morphisme de Frobenius est une bijection (en fait un automorphisme de corps ) sur un ensemble fini (en fait un corps fini) Quel est donc la signature de cette
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5 oct 2011 · est un homomorphisme, appelé homomorphisme de Frobenius Comme ho- momorphisme de corps, il est toujours injectif Pour un corps fini,
[PDF] Corps finis
lequel le morphisme de Frobenius x ↦→ xp est surjectif et prenons P un polynôme irréductible non constant de K[X] ayant des racines multiples (ce qui entraıne
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Notons que si σ ∈ DP, alors σ induit un morphisme σ ∈ H de mani`ere naturelle par σ([x]P)=[σ(x)]P De l`a, on voit qu'il existe un homomorphisme de groupes Φ :
[PDF] Extension des scalaires par le morphisme de Frobenius, pour les
commutatif ci-dessous à gauche (fonctorialité de Frobenius), on déduit une factorisation de FX par un S-morphisme FX/S : X −→ X(p), le Frobenius relatif X X S
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∀ϕ : GLn(k) −→ M morphisme de groupe , ∃δ : k∗ −→ M morphisme de groupe tel que ϕ = δ ◦ det Comme k = F2 ou n = 2,ona:D(GLn(k)) = SLn(k)
[PDF] Théorème de Frobenius-Zolotarev - ENS Rennes
Lemme 1 Soit K un corps et M un groupe abélien On suppose K = 12 ou n = 2 Alors tout morphisme de groupes ϕ : GLn(K) → M se factorise par le déterminant
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23 jui 2005 · comme l'endomorphisme de Frobenius et l'isomorphisme de Cartier La relevabilité des schémas, des morphismes de Frobenius 2 le DR-
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On fixe un nombre premier p ∈ N impair Lemme : Le symbole de Legendre est l' unique morphisme de groupes non tri- vial de F ×
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![[PDF] Signature et corps finis - Objectif Agrégation](https://pdfprof.com/Listes/17/25970-17signature-frobenius.pdf.pdf.jpg "[PDF] Signature et corps finis - Objectif Agrégation")
Signature et corps finis
Motivations.
L"objectif de cette note est de donner une expression de la signature du morphisme de Frobenius sur un corps
fini. Le morphisme de Frobenius est une bijection (en fait un automorphisme de corps) sur un ensemble fini
(en fait un corps fini). Quel est donc la signature de cette bijection? Cette question a été posée à l"oral de
l"agrégation en 2001. Cette note fait écho à celle de Daniel Ferrand http ://agreg-maths.univ-rennes1.fr/documentation/docs/SignFrob.pdf et celle de Stef Graillat http ://gala.univ-perp.fr/≂graillat/papers/SignFrob.pdf.La réponse donnée par Stef Graillat utilise une généralisation du symbole de Legendre : le symbole de
Zolotarev. Celle de Daniel Ferrand repose sur l"étude du problème suivant. À une bijectionfsur un ensembleX,
on peut associer de façon naturelle d"autres bijections, comment relier la signature de ces nouvelles bijections
à celle def? Par exemple, on trouvera dans la note de Daniel Ferrand une expression de la signature de la
bijection induite parfsur l"ensemble des parties de cardinalkdeXen fonction de celle def.La démonstration proposée ici aboutit à une nouvelle expression. Elle est l"occasion d"appliquer les résultats
de base sur les corps finis qu"il est indispensable d"avoir vupendant son année d"agrégatif et que l"on trouvera
dans la note " Corps finis » disponible en ligne http ://www.h-k.fr/publications/objectif-agregation.Notations.
Soientpun nombre premier,m,n?N?etq=pm. On noteFqn" le » corps fini àqnéléments (voir [per, III.2.5])
et on poseF:?Fqn-→Fqn
x?-→xqlem-ième itéré du morphisme de Frobenius deFqn(voir la note " Corps finis »). Pour les besoins de la preuve
on introduit, pourd?N, l"ensemble q(d) ={P?Fq[X],Pirréductible surFqunitaire de degréd} et son cardinalmq(d) =|μq(d)|.Prérequis.
La preuve présentée ici utilise les résultats suivants sur les corps finis (voir les lemmes 3, 4, 5 et 9 de la note
" Corps finis »).1. Pour toutx?Fqn, on axqn=x.
2. SoientP?Fq[X],x?Fqnets?N, alorsP(xqs) = (P(x))qs.
3. L"ensemble des points fixes deFest le sous-corpsFqdeFqn, autrement dit
{x?Fqn, xq=x}=Fq.4. SurFq, la décomposition deXqn-Xen polynômes irréductibles est donnée par
X qn-X =? d|n?P?μq(d)P.
Polynômes minimaux des éléments d"un corps fini.Lemme 1
Orbites.Soientx,y?Fqn. Les élémentsxetyont le même polynôme minimal surFqsi et seulement sixetysont dans la même orbite sousF. Preuve.(?)(?)(?)Soientx?Fqnetydans son orbite sousF. Par hypothèse, il existes?Ntel quey=xqs.ConsidéronsP?Fq[X]et montrons que l"on a alors
P(y) = 0??P(xqs) = 0??(P(x))qs= 0??P(x) = 0.(?)
La première équivalence repose sur l"égalitéy=xqs. La deuxième équivalence est un cas particulier du point2
des prérequis. La troisième équivalence repose simplementsur le fait que, dans un anneau intègre (ici le corps
F qn), on dispose de l"équivalence a k= 0??a= 0.L"équivalence(?)implique que les idéaux formés des polynômes annulateurs dexet deycoïncident. Les
polynômes minimaux dexetycoïncident donc aussi.(?)(?)(?)Soitx?Fqn. Les éléments deFqnqui ont le même polynôme minimal quexsont les éléments deFqnqui
sont racines du polynôme minimalπxdex. On noteOxl"orbite dexsousF. On définit alors P = y?Ox(X-y).D"après(?)(?)(?)tout élément de l"orbite dexest racine de son polynôme minimal et doncPdiviseπx. De plus,
commeFinduit une bijection surOx, on en déduit que y?Ox(X-F(y)) =? y?Ox(X-y) = P.Ceci signifie que les coefficients dePsont invariants sous l"action deF, ce qui montre queP?Fq[X]grâce au
point 3 des prérequis. Orx? Ox, doncPest un polynôme deFq[X]qui annulexet ainsiπx|P. Commeπx
etPsont unitaires, on en déduit queP =πx. Ainsi l"expression factorisée dePmontre que les racines deπx
appartenant àFqnsont les éléments de l"orbite dexsousF, ce qui achève la preuve. Remarque 2Inclusions.Remarquez que l"implication(?)(?)(?)n"utilise que l"inclusionFq? {x?Fqn, xq=x}. De même, l"implication(?)(?)(?)n"utilise que l"inclusion{x?Fqn, xq=x} ?Fq.Remarque 3
Avec le langage de la théorie de Galois.Le lemme 1 repose sur le fait que l"extension F q?Fqnest galoisienne de groupe de Galois engendré parF(voir les définitions dans [goz]).Lemme 4
Polynômes minimaux et corps finis.SoitP?μq(d). Le polynômePest le polynôme minimal surFqd"un élément deFqnsi et seulement sid|n.Preuve.Supposons qued|n. D"après le point 4 des prérequis, le polynômePdiviseXqn-X. Par ailleurs, le
point 1 des prérequis appliqué au corpsFqnmontre queXqn-Xpossède au moinsqnracines distinctes. Il est
donc scindé à racines simples surFqnet doncPaussi. AinsiPa une racinex?Fqnet est donc le polynôme
minimal dexsurFq(carP?Fq[X]est irréductible surFqet unitaire). Réciproquement, soitx?Fqntel quePsoit le polynôme minimal dexsurFq. D"après le point 1 desprérequis,xest racine deXqn-X?Fq[X]et doncP|Xqn-X. Le point 4 des prérequis assure alors qued|n.
Le lemme précédent peut se reformuler ainsi : les polynômes minimaux surFqdes éléments deFqnsont les
polynômes à coefficients dansFqunitaires irréductibles surFqet dont le degré divisen.Signature du morphisme de Frobenius.
Proposition 5
Signature.La signature du morphisme de Frobenius est donnée parε(F) = (-1)q
n+? d|nm q(d)Preuve.La preuve repose sur la décomposition d"une permutation en cycles à supports disjoints : on exhibe
cette décomposition pourF. Les cycles intervenant dans la décomposition d"une permutation en cycles à sup-
ports disjoints sont déterminés par les orbites sous cette permutation [rdo1, 2.4.2 Théorème I]. Ainsi d"après
le lemme 1, il suffit de déterminer les polynômes minimaux surFqdes éléments deFqn. Or d"après le lemme 4,
les polynômes minimaux surFqdes éléments deFqnsont les polynômesPunitaires irréductibles surFqdont le
degré divisen. De plus, on a vu dans la preuve du lemme 4 que de tels polynômessont scindés surFqn. Ainsi
Finduit un cycle de longueurdegPsur l"ensemble des racines deP. On en déduit alorsε(F) = (-1)?
d|n(d+1)mq(d) De plus, d"après le point 4 des prérequis, on a d|ndm q(d) =qn. Ainsiε(F) = (-1)q
n+? d|nm q(d)Remarque 6Signature : une autre expression.Soitσune permutation d"un ensemble àkéléments etj
le nombre d"orbite deσ. On a alorsε(σ) = (-1)k-j(voir [rdo1, 2.4.3]).Dans notre situation, on ak=qnetj=?
d|nm q(d), ce qui redonne le résultat.Une autre expression.
Supposons à présent quepest un nombre premier impair etm= 1. L"automorphismeF :x?→xpdeFpnestFp-linéaire. Ainsi, on peut utiliser le théorème de Frobenius-Zolotarev [bpm, exercice 5.4] pour obtenir la
signature de cet automorphisme en fonction de son déterminant.Proposition 7
Signature du morphisme de Frobenius.Soientpun nombre premier impair,n?N?etF:?Fpn-→Fpn
x?-→xp.On aε(F) = (-1)(p-1)(n+1)
2.Preuve.Il s"agit donc de trouver une " bonneFp-base » deFpnpour pouvoir calculer le déterminant deF.
Comme l"extensionFp?Fpnest galoisienne de groupe de galois cyclique d"ordrenengendré parF[goz], le
théorème de la base normale [goz] assure alors l"existence d"une base de la formeB= (x,F(x),...,Fn-1(x)).
CommeFn= id, on en déduit que la matrice deFdans la baseBest MatB(F) =?????1
11?????
La matriceMatB(F)est une matrice de permutation : celle d"un cycle de longueurn. On en déduit alors que
det(F) = (-1)n+1. Le théorème de Frobenius-Zolotarev donne