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5 oct 2011 · est un homomorphisme, appelé homomorphisme de Frobenius Comme ho- momorphisme de corps, il est toujours injectif Pour un corps fini, 

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lequel le morphisme de Frobenius x ↦→ xp est surjectif et prenons P un polynôme irréductible non constant de K[X] ayant des racines multiples (ce qui entraıne 

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Notons que si σ ∈ DP, alors σ induit un morphisme σ ∈ H de mani`ere naturelle par σ([x]P)=[σ(x)]P De l`a, on voit qu'il existe un homomorphisme de groupes Φ :  

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commutatif ci-dessous à gauche (fonctorialité de Frobenius), on déduit une factorisation de FX par un S-morphisme FX/S : X −→ X(p), le Frobenius relatif X X S

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∀ϕ : GLn(k) −→ M morphisme de groupe , ∃δ : k∗ −→ M morphisme de groupe tel que ϕ = δ ◦ det Comme k = F2 ou n = 2,ona:D(GLn(k)) = SLn(k)

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Lemme 1 Soit K un corps et M un groupe abélien On suppose K = 12 ou n = 2 Alors tout morphisme de groupes ϕ : GLn(K) → M se factorise par le déterminant  

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23 jui 2005 · comme l'endomorphisme de Frobenius et l'isomorphisme de Cartier La relevabilité des schémas, des morphismes de Frobenius 2 le DR- 

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On fixe un nombre premier p ∈ N impair Lemme : Le symbole de Legendre est l' unique morphisme de groupes non tri- vial de F ×

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´Ecole Polytechnique f´ed´erale de Lausanne

Section de Math

´ematiques

Projet de semester, Master I

R´epartition de Frobenius et application aux

courbes elliptiques

Auteur : Corentin Perret-Gentil

Supervis´e par Nahid Walji

Chaire de Th´eorie analytique des nombres

Prof. Philippe Michel

Printemps 2013

R´esum´e

Ce document est le r´esultat d"un projet de semestre de master, dont le but ´etait d"´etudier des questions de r´epartition d"images de repr´esentations galoisiennes, puis les applications de ceci aux courbes elliptiques, pour essayer notamment de comprendre les formulations de la conjecture de

Sato-Tate.

Afin de travailler dans un cadre g´en´eral, nous adoptons l"approche de Serre sur la r´epartition de suites, index´ees par des id´eaux premiers de corps de nombres, dans les classes de conjugaison de groupescompacts. Celle-ci permettra en effet de comprendre dans le mˆeme contexte le th´eor`eme des id´eaux premiers, le th´eor`eme de densit´ede Chebotarev et les r´epartition du nombre de points rationnels des r´eductions modulo pd"une courbe elliptique dans les cas CM et non-CM. Le travail se s´epare en deux parties : dans la premi`ere, nous ´etudions la th´eorie de la ramification, l"´equir´epartition dans les groupes compacts et les questions de densit´es d"ensembles d"id´eaux premiers, puis les fonc- tionsLassoci´ees `a l"approche de Serre et leur relation avec des ´enonc´es d"´equir´epartition. Dans la seconde, nous commen¸cons par ´etudier le degr´e d"isog´enies `a l"aide de la g´en´eralisation de la th´eorie de la ramification aux anneaux de Dedekind, puis on applique cette notion pour ´etudier lesgroupes de torsion, d´efinir le module de Tate, les repr´esentations?-adiques et ´etudier les courbes elliptiques sur les corps finis. Apr`esavoir donn´e les propri´et´es fondamentales de la r´eduction modulo un id´eal premier d"une courbe elliptique d´efinie sur un corps de nombres, on passe `a l"´etude de la r´epartition du nombres de points rationnels des r´eductions d"une courbe fix´ee, en reformulant le probl`eme dans le contexte de la premi`ere partie. Pour cela, on se ram`ene par th´eorie de Galois `a des corps denombres, dont on combine les Frobenius. Comme premier exemple de ce lien entre les deux parties, nousutili- sons un th´eor`eme de Serre pour appliquer le th´eor`eme de Chebotarev au calcul de densit´es d"ensembles de premiers v´erifiant des relations polyno- miales pour le nombre de points rationnels de r´eductions. Ensuite, nous illustrons la preuve de l"´equir´epartition desθpdans le cas CM (dans le contexte de la premi`ere partie et en utilisant un th´eor`eme de Hecke sur la r´epartition d"entiers de corps quadratiques dans des secteurs). Finale- ment, nous r´einterpr´etons la conjecture de Sato-Tate dans le contexte de la premi`ere partie, ce qui permet d"en donner plusieurs reformulation et de comprendre la provenance de la mesure impliqu´ee.

Table des mati`eresIntroduction4

I R´epartition de Frobenius7

1 Th´eorie de la ramification et extensions galoisiennes de corps

de nombres8

1.1 D´ecomposition d"id´eaux premiers dans des extensions. . . . . 8

1.2 Cas des extensions galoisiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 G´en´eralisation aux anneaux de Dedekind . . . . . . . . . . . .. 17

2 Densit´e d"ensembles d"id´eaux et ´equir´epartition dansles

groupes compacts19

2.1 Equir´epartition dans les groupes compacts . . . . . . . . . .. . 20

2.2 Densit´e et r´epartition d"ensembles d"id´eaux premiers . . . . . . 25

3 FonctionsLassoci´ees `a des repr´esentations de groupes com-

pacts28

3.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2 Th´eorie g´en´erale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3 FonctionsLd"Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 R´epartition de Frobenius et th´eor`eme de densit´e de Chebo-

tarev36

4.1 Sommes d"images de Frobenius et fonctionsL. . . . . . . . . . 36

4.2 Le th´eor`eme des id´eaux premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3 Relation entre ´equir´epartition et fonctionsL. . . . . . . . . . . 39

4.4 Le th´eor`eme de densit´e de Chebotarev . . . . . . . . . . . . . .40

II Application aux courbes elliptiques 42

5 Degr´e d"isog´enies et cons´equences 43

5.1 Morphisme de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.2 Degr´e d"un morphisme de courbes . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.3 Degr´e et isog´enies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2

Table des mati`eres3

5.4 Points d"ordre fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.5 Le module de Tate et repr´esentations?-adiques . . . . . . . . . 52

6 Courbes elliptiques sur les corps finis 56

6.1 Nombre de points rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.2 Structure du groupe des points rationnels . . . . . . . . . . . .61

6.3 Courbes supersinguli`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7 R´eduction modulo un premier 65

7.1 R´eduction modulop. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7.2 Bonnes et mauvaises r´eductions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

7.3 R´eduction des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7.4 Noyau de la r´eduction modp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8 R´epartition desapet la conjecture de Sato-Tate 70

8.1 Pr´elude : multiplication complexe . . . . . . . . . . . . . . . . .70

8.2 R´einterpr´etation du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71

8.3 Densit´es : application du th´eor`eme de Chebotarev . . .. . . . 76

8.4 Distribution desθp: observations num´eriques . . . . . . . . . . 77

8.5 Le cas CM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

8.6 Le cas non-CM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Perspectives91

Bibliographie92

A Compl´ements sur les courbes elliptiques 94

Introduction

Pour toute paire d"entiersa,mpremiers entre eux, le th´eor`eme de la progres- sion arithm´etique de Dirichlet indique que ?(m)xlogx+o?xlogx? quandx→+∞. En d"autres termes, les images des premiers ne divisant pas msont ´equir´eparties dans (Z/m)×. Rappelons que la d´emonstration de ce r´esultat se base sur la non-annulation en 1 de fonctionsLattach´ees `a des caract`eres de Dirichlet. En interpr´etant (Z/m)×comme le groupe de Galois du corps cyclotomique gression arithm´etique peut alors ˆetre vu comme un ´enonc´e de r´epartition dans pasm. Dans ce point de vue, les caract`eres de Dirichlet modulomdeviennent des caract`eres du groupe de Galois. A partir de cette observation, il est possible de g´en´eraliser grandement le th´eor`eme : les corps cyclotomiques sont remplac´es par des corps de nombres galoisiens et la suite d"automorphismes par lesFrobeniusassoci´es aux premiers ne se ramifiant pas dans l"extension. En g´en´eralisant les fonctionsLde Diri- chlet et leurs propri´et´es, on obtient alors leth´eor`eme de densit´e de Chebotarev, parfait ´equivalent du th´eor`eme de Dirichlet dans ce contexte. De mani`ere encore plus g´en´erale, on peut s"int´eresser `a des questions de r´epartition de suites index´ees par des id´eaux premiers de corps de nombres dans les classes de conjugaison degroupes compacts(en particulier des groupes de Galois, finis ou non). L`a encore, il est possible de d´efinir des fonctionsL

reli´ees `a des repr´esentations et l"´equir´epartition de suites est caract´eris´ee par

des propri´et´es de prolongement et de non-annulation de ces fonctions. En plus de donner un contexte plus global au th´eor`eme de Dirichlet et de le g´en´eraliser, cette approche peut par exemple s"appliquer `a l"´etude d"´enonc´es statistiques sur les r´eductions de courbes elliptiques : siEest une courbe elliptique d´efinie surQ(ou plus g´en´eralement sur un corps de nombres), on peut s"int´eresser aux propri´et´es de ses r´eductions modulo les premiers de bonne r´eduction. En d"autres termes, on proc`ede `a une analyse locale de la courbe. 4

Introduction5

En particulier, on peut s"int´eresser `a la r´epartition dunombre de points ration- nels des ´el´ements "locaux" de la courbe. A partir derepr´esentations?-adiques Gal(

Q/Q)→GL2(Z?)

associ´ees `a la courbe, on voit que ce probl`eme revient en fait `a ´etudier la r´epartition deFrobeniusdans les classes de conjugaison de groupes compacts comme des groupes de Galois,R/Zou SU2(C). Certaines questions deviennent alors plus claires dans ce contextes. Par exemple, laconjecture de Sato-Tatese transforme en un ´enonc´e d"´equir´epartition dans les classes de conjugaison de SU

2(C), alors qu"elle contient `a la base une distribution difficile `a interpr´eter.

Grˆace aux g´en´eralisations du th´eor`eme de Dirichlet, ces questions se refor- mulent de mani`ere naturelle en termes de prolongement et non-annulation de fonctionsL, o`u elles sont ´egalement plus tangibles. Dans ce qui suit, nous pr´esenterons les questions de r´epartition deFrobenius dans les classes de conjugaison de groupes compacts et les relations avec des fonctionsL, puis nous appliquerons ceci `a des questions sur les courbes el- liptiques comme esquiss´e ci-dessus. La th´eorie de la ramification d´evelopp´ee dans le premier chapitre sera ´egalement utilis´ee pour ´etudier des propri´et´es des courbes elliptiques.

Th. de la ramification

r´epartition de Frobenius degr´e

R´ep. dans les grpes. compacts??

Thm. de Chebotarev

E/Fp??R´epartition des|Ep(Fp)|??Conj. de Sato-Tate Figure0.1: Les deux parties du document et leurs liens.

R´ef´erences d´etaill´ees

Une bibliographie compl`ete est pr´esente `a la fin de ce document. Une liste d´etaill´ees des r´ef´erences principales pour chaque chapitre est la suivante : -Chapitre 1 :ce chapitre se base principalement sur les chapitres V et VI de [Sam71] et sur la section I.9 de [Neu99]. La g´en´eralisation aux anneaux Dedekind est tir´ee de [Lor96]. -Chapitre 2 :[Var07] pour les questions sur les groupes compacts et [Ser02] pour les questions d"´equir´epartition. -Chapitre 3 :ce chapitre se base principalement sur [Ser02], dont on fournit les preuves laiss´ees en exercices. La discussion sur les fonctionsLd"Artin a ´egalement ses sources dans le chapitre VII de [Neu99]. -Chapitre 4 :les r´ef´erences principales sont les chapitre 7-8 de [Ser02] et le chapitre XV de [Lan94]. Dans [Ser02], la d´emonstration du th´eor`eme de Chebotarev est d"abord pr´esent´ee, puis g´en´eralis´ee au contexte plus g´en´eral. Nous proc´edons de mani`ere inverse, en compl´etant les preuves du cas g´en´eral `a partir de celle du th´eor`eme de Chebotarev. Ensuite, on en d´eduit ce dernier de deux mani`eres, ainsi que le th´eor`eme des id´eaux premiers. -Chapitre 5 :[Sil86], [Har77] et [Ful89]. La discussion sur la relation entre th´eorie de la ramification et degr´e se base sur [Lor96]. -Chapitre 6 :[Sil86], [Was08] et plusieurs de leurs exercices (notam- ment pour les r´esultats concernant les courbes supersinguli`eres). -Chapitre 7 :[Sil86, VII.2-3, VIII.1] et [Hus04, Chap. 5.1-5, 15.1], dont on simplifie la pr´esentation pour pouvoir parler de r´eduction modulo un id´eal premier d"un corps de nombres sans parler decorps locaux puis globaux. -Chapitre 8 :ce chapitre est principalement compos´e d"exercices visant `a d´etailler ou expliciter les ´el´ements pr´esent´es au bas de la page 76 de [Ser02] et dans le cours d"introduction de [RM09].La section sur les th´eor`emes de Deuring se base sur [Lan87] et[Cox89,

Chapitre 14].

-Annexe A :cette annexe se base sur [Sil86], [Mil06], [Hus04] et [Was08], dont on tente d"extraire un ensemble aussi ind´ependant que possible des r´esultats et concepts n´ecessaires dans le travail et pour le calcul du degr´e desZ-multiplications et du morphisme de

Frobenius.

Calculs num´eriques

Les calculs non-triviaux pr´esents dans certains exemplesou figures ont ´et´e obtenus `a l"aide du logiciel open-sourcesage, disponible `a l"adresse sagemath.org. Merci `a Nahid Walji pour avoir supervis´e ce projet de semestre.

Premi`ere partie

R´epartition de Frobenius

7

Chapitre 1

Th´eorie de la ramification et extensions galoisiennes de corps de nombres Dans ce chapitre pr´eliminaire, nous ´etudions les d´ecompositions d"id´eaux pre- miers dans des extensions de corps de nombres, puis le cas particulier d"ex- tensions galoisiennes qui sera celui ´etudi´e par la suite.Finalement, nous ex- pliquons comment ces r´esultats se g´en´eralisent pour desextensions de corps de fractions d"anneaux de Dedekind, situation qui sera ´egalement utilis´ee plus tard. Comme donner les d´emonstrations de tous les r´esultats en jeu prendrait trop de place et qu"il ne s"agit pas du but principal de ce projet, nous renvoyons `a [Sam71] pour la plupart d"entre elles. A la place, nous donnons des exemples d´etaill´es, dont une d´etermination des Frobenius des corps quadratiques et cy- clotomiques, menant en particulier `a une d´emonstration de la loi de r´eciprocit´e quadratiques.

1. D´ecomposition d"id´eaux premiers dans des extensions

Consid´erons une extension de degr´e finiL/Kd"un corps de nombreK. Par suite,Lest aussi un corps de nombre et on d´enote parOK(resp.OL) l"anneau des entiers deK(resp.L). L OLpOL KOKp Q Z Un id´eal premierpdeOKne reste pas forc´ement premier quand on le regarde comme id´eal deOL`a travers l"applicationp?→pOL. Plus pr´ecis´ement, comme O Lest un anneau de Dedekind, il va s"´ecrire de fa¸con unique (`a ordre pr`es) comme pOL=r? i=1P ei, 8 Chapitre 1. Th´eorie de la ramification et extensions galoisiennes de corps de nombres9 o`uP1,...,Prsont des id´eaux premiers distincts deOLete1,...,er≥1 des entiers. On appelleeil"indice de ramificationdePi. Exemple1.1.Par exemple, on peut consid´erer le casK=Qet ´etudier la d´ecomposition des id´eaux premierspZ(pun premier) dans l"anneau des entiers d"un corps de nombresL. DansL=Q(i), on a par exemple

3OL´egalement id´eal premier deOL,

5OL= (2 +i)(2-i) produit de deux id´eaux premiers,

comme on le verra plus tard. On a une caract´erisation simple des id´eaux premiers divisantpOL: Proposition 1.2.Les id´eaux premiers divisantpOLsont les id´eaux premiers

PdeOLtels queP∩ OK=p.

D´emonstration.Voir [Sam71, V.2, proposition 1]. De ce fait, lesPisont appel´es id´eauxau-dessus dep. Remarquons que l"on a alors pour toutiune injection canoniqueOK/p?→ O L/Pipour touti= 1,...,r. Puisque l"on consid`ere des anneaux de De- dekind, tout id´eal premier est maximal, donc ces deux anneaux sont en fait descorps. Il s"agit mˆeme de corpsfinis(de cardinalit´e la norme des id´eaux premiers respectifs). En particulier, on peut faire la d´efinition suivante : D´efinition 1.3.La dimension deOL/PisurOK/pest appel´eedegr´e r´esiduel dePi, que l"on notefi. Similairement, on a une injectionOK/p?→ OL/pOLetOL/pOLest unOK/p- espace vectoriel de dimension finie, puisqueOLest unOK-module de type fini.

Th´eor`eme 1.4.On a la relation

r i=1e ifi= [OL/pOL:OK/p] = [L:K]. D´emonstration.Voir [Sam71, V.2, th´eor`eme 1]. D´efinition 1.5.On dit qu"un id´eal premierpdeOKestramifi´edansOLsi l"un des indices de ramification est strictement sup´erieur`a 1. Il existe une caract´erisation ´el´ementaire des id´eaux qui se ramifient en fonction du discriminant de l"extension : Chapitre 1. Th´eorie de la ramification et extensions galoisiennes de corps de nombres10 Proposition 1.6.Un id´eal premier deOKest ramifi´e dansOLsi et seule- ment s"il contient le discriminant relatifDL/K. D´emonstration.Voir [Sam71, V.3, th´eor`eme 1]. Corollaire 1.7.Il n"existe qu"un nombre fini d"id´eaux premiers deOKqui sont ramifi´es dansOL.

1.1. Exemples

primitiveq`emede l"unit´e. Consid´erons le casK=QetLle corps cyclotomique d

L= (-1)q(q-1)

2pq-2.

De mani`ere naturelle, on dit qu"un nombre premierpest ramifi´e si l"id´ealpZ l"est. Par la proposition 1.6, le seul nombre premier qui estramifi´e dansLest p. Exemple1.9 (Corps quadratiques).Soitdun entier sans facteur carr´e. Consid´erons le casK=QetLle corps quadratiqueQ(⎷ d). Le discriminant deLest (l"id´eal engendr´e par) d L=?

4dsid≡2,3 (mod 4)

dsid≡1 (mod 4). Par la proposition 1.6, les seuls nombres premiers ramifi´esdansLsont les diviseurs premiers ded, auxquels on adjoint 2 sid≡2,3 (mod 4). Plus pr´ecis´ement, soitpun premier, et consid´erons la d´ecompositionpOL=?ri=1Pei depZdansOL, pourPides id´eaux premiers deOLetei≥1 des entiers. Par la proposition 1.4, on a?ri=1eifi= 2 avecfile degr´e r´esiduel dePi. Par cons´equent, les trois possibilit´es suivantes peuvent avoir lieu : a)r= 1 et (e1,f1) = (1,2), c"est-`a-dire quepOL=P1. En d"autres termes, preste premier(ou estinerte) dansOL. b)r= 1 et (e1,f1) = (2,1), c"est-`a-dire quepOL=P21. Dans ce cas,pest ramifi´e. c)r= 2 ete1=e2=f1=f2= 1, c"est-`a-dire quepOL=P1P2avec P

1?=P2On dit quepses´epare.

Il est possible de d´eterminer plus explicitement quand chacune de ces situa- tions survient en ´etudiant l"anneauR:=OL/pOL. Par le th´eor`eme chinois, R =r? i=1O

L/Peii,

Chapitre 1. Th´eorie de la ramification et extensions galoisiennes de corps de nombres11 doncRpeut prendre les formes suivantes : a) Sipreste premier,Rest un corps. b) Sipse ramifie,Ra des ´el´ements nilpotents. c) Sipse s´epare,Rest le produit de deux corps. Comme un corps n"a pas d"´el´ements nilpotent et que le produit de deux corps n"est pas un corps, mais n"a pas d"´el´ements nilpotent, cesimplications sont des ´equivalences. Or, on connaˆıt explicitement l"anneaudes entiersOL, O

L=?Z[⎷

d] sid≡2,3 (mod 4)

Z[1+⎷

d

2] sid≡1 (mod 4),

donc on peut d´eterminer explicitementR. Supposons quepsoit impair. Dans ce cas, 1 + d

2≡(1 +p)1 +⎷

d

2=1 +p2(1 +⎷d) dansOL/pOL,

doncR=Z[⎷ d]/pZ[⎷d] dans tous les cas. CommeZ[⎷d]≂=Z[X]/(X2-d), on peut r´e´ecrire ce quotient comme R =?Z[X]/(X2-d)?/(p)

Z[X]/(p,X2-d)

Fp[X]/(X2-d).

Le polynˆomeX2-d?Fp[X] peut ˆetre :

a) irr´eductible, quand?d p? =-1. b) produit de deux termes lin´eaires distincts, quand?d p? =-1. c) ´egal `aX2, quand?d p? = 0. L"anneauRest alors respectivement a) un corps b) un produit de deux corps (th´eor`eme chinois) c) un anneau poss´edant un ´el´ement nilpotent. Ainsi, en combinant les deux approches, on conclut que sipest impair, p ?reste premier si ?d p? =-1 se ramifie si?d p? = 0 se s´epare si?d p? = 1. Le casp= 2 se traite de mani`ere similaire, mais en distinguant les casd≡2,3 (mod 4) etd≡1 (mod 4). On trouve alors que 2 reste premier quandd≡5 (mod 8), se ramifie quandd≡2,3 (mod 4) et se s´epare quandd≡1 (mod 8).quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13