commutatif ci-dessous à gauche (fonctorialité de Frobenius), on déduit une factorisation de FX par un S-morphisme FX/S : X −→ X(p), le Frobenius relatif X X S
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5 oct 2011 · est un homomorphisme, appelé homomorphisme de Frobenius Comme ho- momorphisme de corps, il est toujours injectif Pour un corps fini,
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lequel le morphisme de Frobenius x ↦→ xp est surjectif et prenons P un polynôme irréductible non constant de K[X] ayant des racines multiples (ce qui entraıne
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Notons que si σ ∈ DP, alors σ induit un morphisme σ ∈ H de mani`ere naturelle par σ([x]P)=[σ(x)]P De l`a, on voit qu'il existe un homomorphisme de groupes Φ :
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commutatif ci-dessous à gauche (fonctorialité de Frobenius), on déduit une factorisation de FX par un S-morphisme FX/S : X −→ X(p), le Frobenius relatif X X S
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∀ϕ : GLn(k) −→ M morphisme de groupe , ∃δ : k∗ −→ M morphisme de groupe tel que ϕ = δ ◦ det Comme k = F2 ou n = 2,ona:D(GLn(k)) = SLn(k)
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Lemme 1 Soit K un corps et M un groupe abélien On suppose K = 12 ou n = 2 Alors tout morphisme de groupes ϕ : GLn(K) → M se factorise par le déterminant
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23 jui 2005 · comme l'endomorphisme de Frobenius et l'isomorphisme de Cartier La relevabilité des schémas, des morphismes de Frobenius 2 le DR-
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On fixe un nombre premier p ∈ N impair Lemme : Le symbole de Legendre est l' unique morphisme de groupes non tri- vial de F ×
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C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 356 (2018) 717-719
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C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I
www.sciencedirect.comThéorie des groupes/Géométrie algébriqueExtension des scalaires par le morphisme de Frobenius, pour
les groupes réductifsFrobenius base change for reductive groups
Pierre Deligne
Institute for Advanced Study, School of Mathematics, 1 Einstein Drive, Princeton, NJ 08540, United States
i n f o a r t i c l er é s u m éHistorique de l"article:
Reçu
le 10 mai 2018Accepté le 16 mai 2018
Disponible
sur Internet le 24 mai 2018Présenté
par Pierre Deligne Soit Gun groupe réductif sur un corps kde caractéristique p >0. Pour nun entier ?0 et q :=p n , notons G {n} le groupe réductif sur kdéduit de Gpar l"extension des scalaires x ?-→x q :k -→k. Si kest parfait, cette définition garde un sens pour tout entier n. Nous montrons que, si kest parfait, il existe m >0tel que les groupes algébriques Get G {m} soient isomorphes. La classe d"isomorphie de G {n} , comme groupe réductif sur k, ne dépendalors que de nmodulo m. Dans le cas général, nous montrons qu"une telle périodicité reste
vraie pour nassez grand. ?2018 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés. a b s t r a c t Let Gbe a reductive group over a field kof characteristic p >0. For n ?0and q :=p n , let G {n} be deduced from Gby the extension of scalars x ?-→x q :k -→k. If kis perfect, this keeps making sense for n ?Z. We show that, if kis perfect, there exists m >0such that the algebraic groups Gand G {m} over kare isomorphic. The isomorphism class of G {n} , as a reductive group over k, then depends only on nmodulo m. For knot necessarily perfect, we show that such a periodicity remains true for nlarge enough. ?2018 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.1. Introduction
Soient Dune algèbre centrale simple sur un corps kde caractéristique p >0, et dsa classe dans le groupe de Brauer
Br(k). Pour nun entier ?0et q :=p
n , notons D {n} l"algèbre centrale simple sur kdéduite de Dpar l"extension des scalaires x ?-→x q :k -→k. La classe de D {n} dans Br(k)est p n·d. Si kest parfait, Br(k)est un groupe de
torsion dont les éléments sont d"ordre premier à p. Il existe donc m >0tel que d =p m d. Pour un tel m, les k-algèbres Det D {m} et donc aussi les k-groupes algébriques D et (D {m} =(D {m} sont isomorphes. L"isomorphie de D ?{n} et D ?{n+m} s"en déduit par le changement de base x ?-→x p n :k -→k.Adresse e-mail:deligne@math.ias.edu.
1631-073X/
?2018 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.718P. Deligne / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 356 (2018) 717-719
Après nous avoir donné cet argument, ainsi que des arguments analogues pour d"autres groupes classiques, S. Srinivasan
nous a demandé si une telle périodicité était vraie pour un groupe réductif quelconque. Nous montrons que oui. Le résultat
est utilisé dans [1].2. Notations
Soit pun nombre premier. Si Sest un schéma de caractéristique p, i.e. si p =0sur S, nous noterons F
S l"endomorphismede Frobenius de S. Rappelons qu"il est l"identité sur l"espace topologique sous-jacent à Set que, pour fune section locale
du faisceau structural O S , on a F S (f) =f p SiXest un schéma sur S, on note X
(p) le schéma sur Sdéduit de Xpar le changement de base F S :S-→S. Du dia- grammecommutatif ci-dessous à gauche (fonctorialité de Frobenius), on déduit une factorisation de F
X par un S-morphisme F X/S :X-→X (p) , le Frobenius relatif. XX SS F X F S XX (p) X SS F X/S (2.1) Procédant de même avec Frobenius remplacé par sa puissance n-ième, on définit X (p n , que nous noterons X {n} , et F n X /S :X-→X {n} . On a un isomorphisme canonique (X {n} {m} =X {n+m} et, pour cette identification, F m+n X /S =F m X {n} /S F n X /S La formation de F n X /S :X-→X {n} est fonctorielle en Xsur S, et compatible avec tout changement de base S -→S.Exemples.
(i) Si S=Spec(F p ), F S est l"identité, X {n} est canoniquement isomorphe à X, et F n X /S =F n X (ii)Si S=Spec(F
p )et que X=Spec(F p [u, u -1 ])est le schéma en groupe G m sur S, le morphisme F n Gm/S :G m -→G m est donné par F n?G m/S (u) =u p n :c"est x ?-→x p n au sens de la loi de groupe. On en déduit que, pour X=G Nm , i.e. pour Xun tore déployé sur Spec(F p ), F n X /S :X-→Xest encore x ?-→x p n (iii)Si X/Sest lisse, F
n X /Sest fini et fidèlement plat, ainsi qu"on le vérifie par réduction au cas des espaces affines A
N S . Si Xest un schéma en groupe lisse, le morphisme de schémas en groupe F n X /S fait donc de X {n} le quotient de Xpar le noyau de F n X /S3. Constructionpour T/S, un tore, d"un isomorphisme
can n :T-→T {n} .(3.1)Soit q =p
n . Montrons que si T/Sest un tore, l"endomorphisme x ?-→x q (au sens de la loi de groupe) est fini et fidèlement plat, de noyau celui de F n T /S . Il suffit de le vérifier localement pour la topologie étale sur S. On peut donc supposer le tore Tdéployé, isomorphe à G Nm pour Nconvenable. La formation de F n T /S :T-→T {n}étant compatible aux
changements de base, on se ramène au cas où S=Spec(F p )et on applique les exemples (i) et (ii) ci-dessus. On définit l"isomorphisme can n comme l"unique isomorphisme de Tavec T n tel que can -1n ◦F n T /S soit x ?-→x q , au sens de la loi de groupe : T F n X /S ---→T {n} can -1n ---→Testx?-→x qNous n"utiliserons pas le fait que la dualité de Cartier, qui est compatible avec les changements de base et donc avec
X?-→X
{n} , fournit une autre construction de (3.1): Test dual de Xétale sur S, et pour Xétale sur S, F X/S :X?-→X {n} est un isomorphisme, dont can -1n est le transposé.4. Torseurs
Supposons Sconnexe et soit Gun schéma en groupe réductif sur S. Il existe un groupe réductif déployé G
0 sur F p tel que, localement, pour la topologie étale de S, Gsoit isomorphe à l"image inverse de G 0 . Un tore maximalde Gest unsous-schéma en groupe fermé de Gqui est un tore sur Set qui, en chaque point géométrique de S, est un tore maximal.
Supposons que Gadmette un tore maximal T(c"est toujours le cas si Sest le spectre d"un corps) et soit T
0 un tore maximal déployé de G 0 . Localement, pour la topologie étale de S, (G, T)est isomorphe à l"image inverse de (G 0 , T 0 Soit T ad le tore maximal du groupe adjoint G ad image de T. L"action de Gsur lui-même par automorphismes intérieurs se factorise par une action de G ad . L"action de T ad sur Gfixe T, et on sait que le lemme ci-après est vérifié. Lemme