[PDF] [PDF] ESPÉRANCE CONDITIONNELLE MARTINGALES - Institut de

[PDF] ESPÉRANCE CONDITIONNELLE MARTINGALES - Institut de

Un processus (Xn)n∈N est adapté à la filtration (Fn)n∈N si pour tout n ∈ N, Xn est mesurable par rapport à la tribu Fn Soit (Xn)n∈N un processus sur (Ω, A, P)

[PDF] Probabilité et Espérance conditionnelle - CMAP

tribu de F Il existe une variable aléatoire Y telle que : 1) Y est qui préc`ede prendre son espérance conditionnelle par rapport `a G, Yn = E(XnG) D'autre part 

[PDF] Espérances conditionnelles et martingales - Page WEB de Daniel Li

tribu de A Pour toute v a r X ∈ L1(Ω, A , P ), on appelle espérance condi- tionnelle de X par rapport à B, ou sachant B, l'unique v a r , notée E U (X),

[PDF] Espérance Conditionnelle - LAMA - Univ Savoie

L'existence de σ(C) résulte du fait qu'une intersection quelconque de tribus sur Ω est une tribu sur Ω • Si A ⊂ Ω, σ({A}) = {∅,Ω, A, Ac} Définition (Tribu borélienne)  

[PDF] Lespérance et lespérance conditionnelle Plan de la présentation L

Comme {∅, Ω} est une tribu engendrée par Ω, alors en appliquant la définition d' espérance conditionnelle de X par rapport `a cette tribu, nous obtenons ∀ω 

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espérance conditionnelle par rapport `a une tribu Il est impératif ce chapitre espérance conditionnelle d'une variable aléatoire réelle sachant G , lorsque cette

[PDF] Notion de conditionnement

née soit par un rapport de probabilités dans le cas discret, soit par un Dans le cas d'une sous-tribu générale A, l'espérance conditionnelle d'une variable X sa 

[PDF] Espérance conditionnelle et martingales

On a ainsi fait le lien entre espérance de X sachant un événement et espérance de X par rapport à une tribu (ou selon une tribu) Cas où B = {∅,B,Bc,Ω}, P(B) = 1

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J NEVEU Sur l'espérance conditionnelle par rapport à par rapport à un mouvement brownien J NEVEU famille croissante de sous-tribus de ~/ Soient (~r 

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ESPÉRANCE CONDITIONNELLE

MARTINGALES

Préparation à l"Agrégation Bordeaux 1

Année 2012 - 2013

Jean-Jacques Ruch et Marie-Line Chabanol

Table des Matières

Chapitre I. Espérance conditionnelle5

1. Introduction5

2. Définition de l"espérance conditionnelle 7

2.A. Cas particulier des variables aléatoires de carré intégrable 7

2.B. Cas général7

3. Propriétés de l"espérance conditionnelle analogues à celles de l"espérance 8

4. Propriétés spécifiques à l"espérance conditionnelle 9

5. Calculs d"espérance conditionnelle 10

Chapitre II. Martingales13

1. Introduction13

2. Définition des martingales 14

3. Surmartingale et sous-martingale 15

4. Temps d"arrêt16

5. Propriétés des martingales par rapport aux temps d"arrêts 17

6. Théorèmes d"arrêt18

7. Inégalités maximales19

8. Convergence des martingales 20

9. Convergence des martingalesL223

10. Convergence dansL124

3

CHAPITRE I

Espérance conditionnelle

1. Introduction

Pour de nombreux problèmes concrets (prédiction, observation incomplète, etc.) il est important de

pouvoir estimer une variable aléatoire sur laquelle on n"a qu"une information partielle. Dès lors, on

comprend l"importance de la notion d"espérance conditionnelle. La définition axiomatique de cette notion

est motivée par le cas discret traité dans le premier paragraphe. Le calcul explicite des espérances

conditionnelles, qui est en général un problème difficile, est illustré sur plusieurs cas, dont le cas gaussien

particulièrement important pour les applications.

On note(

;A;P)un espace probabilisé. SoitB2 Aun événement tel queP(B)>0. On peut définir une nouvelle probabilité sur( ;A), appeléeprobabilité conditionnellesachantB, en posant pour toutA2 A,

P(AjB) =P(A\B)P(B)=E[1A1B]P(B)

De même, pour toute variable aléatoireXpositive ou dansL1( ;A;P), l"espérance conditionnelledeX sachantBest définie par

E[XjB] =E[X1B]P(B):

Cette quantité est aussi l"espérance deXsous la probabilitéP(jB), et elle s"interprète comme la valeur

moyenne deXquandBest réalisé.

Considérons une variable aléatoireYà valeurs dans un espaceEdénombrable et soity2Etel que

P(Y=y)>0. Pour toute variable aléatoireX2L1(

;A;P)on peut définir, comme un cas particulier de ce qui précède,

E[XjY=y] =E[X1Y=y]P(Y=y):

Définition 1.SoitX2L1(

;A;P)etYune variable aléatoire discrète sur . L"espérance condition- nelle deXsachantYest la variable aléatoire réelle définie par

E[XjY] ='(Y);

où la fonction':E!Rest donnée par '(y) =E[XjY=y]siyest tel queP(Y=y)>0

0sinon

En particulier siXest également discrète,E[XjY=y] =P

kxkP(X=xkjY=y).Le choix de la valeur de'lorsqueP(Y=y) = 0n"a pas d"importance, puisque c"est un ensemble de

probabilité nulle. En effet si on noteE0=fy2EjP(Y=y) = 0galors

P(Y2E0) =X

y2E0P(Y=y) = 0:

Donc, si on changeait la définition de'surE0cela donnerait la même variable aléatoireE[XjY]à un

ensemble de mesure nulle près.

Dans le cas général, l"espérance conditionnelle sera toujours définie à un ensemble de probabilité nulle

près. En comparant avec le conditionnement par rapport à un événement, on observe que l"espérance

5

6Chapitre I. Espérance conditionnelle

conditionnelleE[XjY]est maintenant une variable aléatoire : c"est la variable aléatoire qui donne la

valeur moyenne deXquand on connaitY: on a presque sûrement

E[XjY](!) =E[XjY=y];siY(!) =y:

On a donc aussi le résultat suivant.

LorsqueYest une variable discrète à valeurs dansE

E[XjY](!) =X

y2E1

Y1(fyg)(!)E[XjY=y]:Remarquons queE[XjY]est une fonction deYdonc une variable aléatoire(Y)-mesurable. Dans un sens

qui sera précisé plus loin, c"est la meilleure approximation deXpar une fonction deY.

Exemple :Lancer d"un dé. On prend

=f1;2;:::;6getP(f!g) = 1=6pour tout!. Soient

Y(!) =1si!est impair

0si!est pair

etX(!) =!:Alors,

E[XjY](!) =3si!2 f1;3;5g

4si!2 f2;4;6g:

Proposition 2.SoitX2L1(

;A;P). On a

E[jE[XjY]j]E[jXj];

en particulierE[XjY]2L1( ;A;P). De plus pour toute variable aléatoireZbornée et(Y)-mesurable

E[ZE[XjY]] =E[ZX]:

en particulierE[E[XjY]] =E[X].Démonstration.D"après la définition de l"espérance conditionnelleE[XjY], on a

E[jE[XjY]j] =X

y2EnE0P(Y=y)jE[XjY=y]j X y2EnE0P(Y=y)E[X1Y=y]P(Y=y) X y2EE[jXj1Y=y] =E[jXj]:

Pour la deuxième assertion, on utilise le fait qu"on peut écrireZ= (Y), avec une fonction bornée.

Alors,

E[ (Y)E[XjY]] =X

y2EnE0P(Y=y) (y)E[XjY=y] =X y2EnE0P(Y=y) (y)E[X1Y=y]P(Y=y) X y2EnE0 (y)E[X1Y=y] =X y2EnE0E[ (y)X1Y=y] X y2EnE0E[ (Y)X1Y=y] =E2 4 X y2EnE0 (Y)1Y=yX3 5 =E[ (Y)X]

Enfin, on peut vérifier que siY0est une autre variable aléatoire discrète telle que(Y) =(Y0), on a

E[XjY] =E[XjY0]p.s.

Ceci suggère que la bonne notion de conditionnement est la notion de conditionnement par rapport à une

tribu. C"est cette notion que nous allons développer dans la suite.

Esp. cond.

2.Définition de l"espérance conditionnelle7

2. Définition de l"espérance conditionnelle

2.A. Cas particulier des variables aléatoires de carré intégrable.SiYest discrète, on peut

vérifier que la définition précédente entraine que siXest de carré intégrable, alorsE[XjY]aussi; de plus

la proposition précédente entraine alors que(E[XjY]X)est orthogonal (au sensL2) à toute variable

aléatoireZbornée(Y)mesurable.

Cela suggère une généralisation de la définition lorsqueYn"est pas forcément discrète en terme de

projection orthogonale. Avant d"énoncer le résultat, rappelons que siBest une sous-tribu deAalorsL2( ;B;P)s"identifie à un sous-espace fermé deL2( ;A;P), à savoir l"espace des éléments deL2( ;A;P)dont un représentant au moins estB-mesurable.

Définition 3.SiX2L2(

;A;P)et siBest une sous tribu deAalorsE[XjB]est la projection orthogonale deXsurL2( ;B;P). En particulierE[XjB]2L2( ;B;P).

SiYest une variable aléatoire, on noteE[XjY] =E[Xj(Y)].On en déduit immédiatement la proposition suivante :

Proposition 4.

Si X2L2(

;A;P)alors

E[(XE[XjB])2] = infZ2L2(

;B;P)E[(XZ)2]:

On a p ourtoute variable alé atoireZ2L2(

;B;P)

E[ZE[XjB]] =E[ZX]

En particulier, pour toute fonction mesurable telle que (Y)est de carré intégrable,

E[ (Y)E[XjY]] =E[ (Y)X]

L"esp érancec onditionnelleE[XjB]est caractérisée par

8B2 B;E[1BE[XjB]] =E[1BX]Ces propriétés suggèrent la définition dans le casL1.

2.B. Cas général.

Théorème 5.SoitBune sous-tribu deA, et soit une variable aléatoireX2L1( ;A;P). Il existe alors une unique variable aléatoire dansL1( ;A;P), notéeE[XjB], telle que

8B2 B;E[X1B] =E[E[XjB]1B]:

De manière équivalente on a, pour toute variable aléatoire,Z,B-mesurable et bornée

E[XZ] =E[E[XjB]Z]:

En particulier, siZ= 1on a

E[E[XjB]] =E[X]:L"espérance conditionnelle par rapport une tribu est caractérisée par l"une des deux propriétés ci-dessus.

L"équivalence entre les deux points est assez facile à voir. La premier point nous dit que l"on a le résultat

pour toutes les indicatricesB-mesurables. Donc par somme et passage à la limite, il est encore vrai pour

J.-J. Ruch et M.-L. Chabanol

8Chapitre I. Espérance conditionnelle

les fonctions étagées puis pour les fonctions bornées etB-mesurables. Pour la réciproque il suffit de poser

Z= 1B.

Démonstration.On a vu plus haut le cas oùX2L2( ;A;P): dans ce casE[XjB]est la projection orthogonale deXsurL2( ;B;P). Passons maintenant au cas général, c"est-à-direX2L1( ;A;P). En posant classiquementX=X+X, il est clair que l"on peut se ramener au cas oùX0. Soit pourn2N,Xn=X^n. D"après ce qui

précède on peut prendre son espérance conditionnelle par rapport àB,Yn=E[XnjB]:D"autre part,Xn

tend simplement en croissant versX. Pour lesYnremarquons que0YnYn+1presque sûrement. Il

suffit pour cela de vérifier que siU0alors son espérance conditionnelle vérifieV=E[UjB]0. En effet,

par l"absurde : siP(V <0)>0alors il existe" >0tel queP(V <")>0. Or commefV <"g 2 Bon a

0E[U1V <"] =E[V1V <"] "

ce qui est impossible. PosonsY= limsupYnqui estBmesurable. Pour toutB2 Bon a :

E[Y1B] = limn!+1E[Yn1B]par convergence monotone

= lim n!+1E[Xn1B] =E[X1B]par convergence monotone. Pour l"unicité, soientYetY0deux variables aléatoires dansL1( ;A;P),B-mesurables, et telles que

8B2 B;E[Y1B] =E[X1B] =E[Y01B]:

CommeYetY0sontB-mesurables,B1=fY > Y0getB2=fY0> Ygle sont aussi. D"où on obtient

E[Y1B1] =E[Y01B1]etE[Y1B2] =E[Y01B2]

Donc, on en déduit(YY0)1B1= 0p.s. et(Y0Y)1B2= 0p.s. ce qui entraîne queY=Y0p.s.

3. Propriétés de l"espérance conditionnelle analogues à celles de l"espérance

SoitXune variable aléatoire dansL1(

;A;P). On noteBune sous-tribu deA. -a)Pour tous réelsaetbet toute variable aléatoire réelleXintégrable,

E[aX+bjB] =aE[XjB] +b;

et pour toutes variables aléatoires réellesX1; X2intégrables

E[X1+X2jB] =E[X1jB] +E[X2jB]

-b)SiX1X2p.s. alorsE[X1jB]E[X2jB].Démonstration.Le pointa)est une conséquence de l"unicité de l"espérance conditionnelle.

Pour le dernier point, on commence par montrer que siX0alorsE[XjB]0:C"est un corollaire de la preuve précédente : siY=E[XjB]vérifieP(Y <0)>0, alorsE[Y1Y <0]<0; mais1Y <0estBmesurable, donc cette quantité est aussi égale àE[X1Y <0]qui est positive, d"où la contradiction.

Esp. cond.

4.Propriétés spécifiques à l"espérance conditionnelle9

-c)SiXetXnsont des variables aléatoires réelles dansL1( ;A;P)alors X n"X)E[XnjB]"E[XjB]: -d)SiXnsont des variables aléatoires positives, alors

E[liminfXnjB]liminfE[XnjB]

-e)SiXn!Xp.s. avec pour toutn,jXnj Z2L1( ;A;P), alors limE[XnjB] =E[XjB]: -f)Soitfune fonction continue et convexe etXune variable aléatoire réelle telle queXetf(X) sont intégrables, alors f(E[XjB])E[f(X)jB];

-g)En particulierjE[XjB]j E[jXjjB], et par conséquentE[jE[XjB]j]E[jXj].Démonstration.Pour le pointc): on poseY= limE[XnjB] = limsupE[XnjB](d"après la

croissance) qui estB-mesurable. On a pour toutB2 B

E[Y1B] = limE[E[XnjB]1B]par convergence monotone

= limE[Xn1B] =E[X1B]par convergence monotone Pour le pointd): On a d"après le résultat précédent

E[liminfXnjB] = limn!+1E[infknXkjB]

limn!+1infknE[XkjB] = liminfE[XnjB]:

Pour les derniers points (convergence dominée conditionnelle et inégalité de Jensen conditionnelle) il suffit

de reprendre les démonstrations faites dans le cas de l"espérance classique.

4. Propriétés spécifiques à l"espérance conditionnelle

-a)SiXest intégrable alorsE[XjB]l"est aussi etE[E[XjB]] =E[X]. -b)SiXest une variable aléatoire réelleB-mesurable alors

E[XjB] =Xp.s.

en particulierE[1jB] = 1. Donc si est une fonction mesurable telle que (Y)est intégrable,

E[ (Y)jY] = (Y).

-c)SoientXetZdeux variables aléatoires réelles intégrables telles queXZsoit aussi intégrable.

SupposonsZB-mesurable alors

E[XZjB] =ZE[XjB]p.s.;

En particulier si est une fonction mesurable telle que (Y)etX (Y)soient intégrables,

E[X (Y)jY] = (Y)E[XjY]

-d)SiB1etB2sont deux sous-tribus deAtelles queB1 B2alors

E[E[XjB1]jB2] =E[XjB1]etE[E[XjB2]jB1] =E[XjB1]:

-e)SoitBune sous-tribus deA. SiXest une variable aléatoire dansL1( ;A;P), telle que(X)et

Bsont indépendantes, alors

E[XjB] =E[X];

en particulier siXetYsont deux variables aléatoires réelles indépendantes telles queX2 L 1( ;A;P)alors

E[XjY] =E[X]

la réciproque de ce dernier point étant fausse.

J.-J. Ruch et M.-L. Chabanol

10Chapitre I. Espérance conditionnelle

Démonstration.Les pointsa)etb)se déduisent de la définition.

LorsqueZest bornée, le pointc)se déduit de la définition de l"espérance conditionnelle et de son unicité.

Puis on applique la machine standard, qui montre que la propriété est vérifiée siZest une indicatrice,

ensuite une fonction en escalier positive, puis une fonction positiveB-mesurable et enfin une fonction,Z,

B-mesurable telle queXZsoit intégrable.

Le point suivant est laissé en exercice. Enfin pour le dernier point on a pour toutB2 B:

E[E[XjB]1B] =E[X1B] =E[X]E[1B] =E[E[X]1B]

d"où par unicité de l"espérance conditionnelle on obtient le résultat.

5. Calculs d"espérance conditionnelle

B=f;; gest la tribu triviale. Une variable aléatoire réelle estB-mesurable si elle est constante sur . Dans ce cas,E[XjB]est l"unique variable aléatoire réelle constante sur et égale àE[X]. Best engendré par une partition finie ou dénombrable de (cela correspond au cas oùB=(Y) lorsqueYest une variable aléatoire discrète) On notefAi; i2Jg, avecJdénombrable, une partition de qui engendreB. On définitLcomme étant l"ensemble des indices dansJtels queP(Ai)>0. Alors on a

E[XjB] =X

i2LE[1AiX]P(Ai)1Ai: On retrouve bien la formule donnée au début du chapitre. En particulier siXetYsont toutes les deux discrètes, avecP(X=xk;Y=yl) =pkletP(Y=yl) =ql, on a

P(X=xkjY=yl) =pklq

l Silest fixée, la loi de probabilité sur les(xk)donnée par(xk) =pklq lest appelée "loi conditionnelle de XsachantY=yl". En particulier, si est une fonction bornée,

E[ (X)jY=yl] =X

k (xk)pklq l et

E[ (X)jY] =X

l1

Y=ylE[ (X)jY=yl]

Cas particulier d"une somme aléatoire de variables aléatoires.

Soit(Xi)i1une suite de variables aléatoires indépendantes intégrables identiquement distribuées.

SoitNune variable aléatoire à valeurs dansNindépendante desXi. On poseSN=NX i=1X i. Alors

E[SNjN] =NE[X1]. En effet on a pour tout entierk

E[SNjN=k] =E[SN1N=k]P(N=k)=E[(Pk

i=1Xi)1N=k]P(N=k)=kE[X1].

On en déduit entre autresE[SN] =E[N]E[X1]. On peut calculer de manière analogue la variance deSN.

En particulier, si lesXisont des variables de Bernoulli de paramètrep, on dira que la loi conditionnelle

deSNsachantNest une loi binomiale de paramètres(N;p). Best la tribu engendré par une variable aléatoire à densité à valeurs dansRd.

Pour simplifier les écritures on suppose queXetYsont des variables aléatoires à densité à valeurs

dansR. On notef(X;Y)(x;y)la densité jointe et les densités marginalesfX(x) =Rf(X;Y)(x;y)dyet f

Y(y) =Rf(X;Y)(x;y)dx. On pose alors

f

XjY(xjy) =f(X;Y)(x;y)f

Y(y)1fY(y)6=0:

Esp. cond.

5.Calculs d"espérance conditionnelle11

On a alors :

E[XjY](!) ='(Y)(!) =Z

R xf

XjY(xjY(!))dx:

f XjY(xjy)est appelée "densité conditionnelle deXsachantY=y" : sifY(y)6= 0,x7!fXjY(xjy)est

bien une densité. Ainsi on a une famille de densités (indexées pary). Cette famille de densités permet en

fait de définir la "loi conditionnelle deXsachantY" : en effet on a bien, si est une fonction borélienne

bornée, l"égalité presque sûre :

E[ (X)jY] =Z

R (x)fXjY(xjY)dx:

Réciproquement, si on connaît la densité deyet la loi conditionnelle deXsachantY=y, on retrouve la

densité du couple f (X;Y)(x;y) =fXjY(xjy)fY(y)

Exemple des vecteurs gaussiens

Soit(X1;X2)un vecteur gaussien de loiN(M;). Alors il existe des constantes réellesaetbtelles que X

1bX2est indépendant deX2et

E[X1jX2] =a+bX2.

En effet il suffit de choisirbtels que Cov(X1bX2;X2) = 0, c"est-à-dire Cov(X1;X2)bVar(X2) = 0.

PuisE[X1jX2] =E[X1bX2+bX2jX2] =E[X1bX2] +bX2.

J.-J. Ruch et M.-L. Chabanol

CHAPITRE II

Martingales

1. Introduction

Définition 1.Sous le nom deprocessus aléatoireouprocessus stochastiqueon entend un modèle

permettant d"étudier un phénomêne aléatoire évoluant au cours du temps. Pour le décrire, on se

donne :quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13